精品解析：黑龙江齐齐哈尔市龙江县十校联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试卷

2026～2027学年度上学期八年级9月考 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．总分120分． 一、单选题(每小题3分，共30分) 1. 下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ） A. B. C. D. 2. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 3. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 4. 下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是( ) A. 4cm，5cm，6cm B. 5cm，6cm，12cm C. 5cm，7cm，7cm D. 6cm，8cm，10cm 5. 将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 8. 将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 重心是一个物体受力的平衡点，“探究学习小组”在专题课探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，甲、乙的重心分别为，，若原整个图形的重心坐标为，则有，． 知识应用：如图，有一块“L”形的图案，，，，，以点B为坐标原点，BC为x轴，“1”为单位长度，建立平面直角坐标系，则此时此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题(每小题3分，共21分) 11. 如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 12. 如果实数a、b满足，且a，b恰好是等腰的两边长，则的周长是______． 13. 如图，的两内角平分线相交于点D，，则______. 14. 如图所示，，则的度数为__度． 15. 学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 16. 如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 17. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 三、解答题(7个小题，共69分) 18. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 19. 如图，已知，，．求证：． 20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 21. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： （1）． （2）． 22. 如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 23. 如图，已知 （1）小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） （2）连接，求证：． （3）设与相交于点．若，，求的度数． 24. 【探究】 （1）如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度上学期八年级9月考 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．总分120分． 一、单选题(每小题3分，共30分) 1. 下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 3. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 4. 下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是( ) A. 4cm，5cm，6cm B. 5cm，6cm，12cm C. 5cm，7cm，7cm D. 6cm，8cm，10cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【详解】解：A、∵4+5＞6，∴能构成三角形，不符合题意； B、∵5+6＜12，∴不能构成三角形，符合题意； C、∵5+7＞7，∴能构成三角形，不符合题意； D、∵6+8＞10，∴能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5. 将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 6. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 7. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线，与相交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 重心是一个物体受力的平衡点，“探究学习小组”在专题课探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，甲、乙的重心分别为，，若原整个图形的重心坐标为，则有，． 知识应用：如图，有一块“L”形的图案，，，，，以点B为坐标原点，BC为x轴，“1”为单位长度，建立平面直角坐标系，则此时此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图，连接，交点为，连接，交点为，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：A． 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题(每小题3分，共21分) 11. 如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【解析】 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 12. 如果实数a、b满足，且a，b恰好是等腰的两边长，则的周长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再分两种情况：腰长为a和腰长为b，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵a，b恰好是等腰的两边长， ∴该等腰三角形的腰长为3或腰长为7， 当腰长为3时，则该三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长是； 综上所述，的周长是17． 13. 如图，的两内角平分线相交于点D，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠DBC+∠DCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵△ABC中，∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠D=180°-50°=130°， ∵△ABC的两内角平分线相交于点D， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°， ∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-65°=115°． 故答案为115． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 14. 如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【解析】 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 15. 学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 17. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 三、解答题(7个小题，共69分) 18. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 19. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据角的关系，准备条件，再根据证明，即可证明． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】略 21. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： （1）． （2）． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 又， ， ． （2）证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中点， 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 是的中点， 在和中， ． 23. 如图，已知 （1）小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） （2）连接，求证：． （3）设与相交于点．若，，求的度数． 【答案】（1） 解：如图， （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴，， 在和中 ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作边等于已知边，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）由可得，，再由共用可得，由全等三角形对应角相等即可求解； （3）根据可得，根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 24. 【探究】 （1）如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， 【小问2详解】 解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $