单元过关(九) 立体几何初步-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（B版）

·数学· 参考答案及解析 2026一2027学年度单元过关（九） 数学·立体几何初步 一、选择题 1 1 可得VP-EFCH= 1.C【解析】由已知可得选项C绕对称轴旋转可形成 8 VAD,所以VERGH=7X 充满气的车轮内胎。 2.D【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，所 Vm,说茶水的商为从，可程伦法}广= 以AB∥A1B1∥C1D1,故A错误； 因为ABCD-A1B1CD1的侧棱延长线交于一点，所 -1. 以AA1与CC1相交，故B错误； 7.B【解析】由题意得，圆台上底圆的直径为3m,下底 同理BB1与DD1也相交，所以B,B1,D1,D四点共 圆的直径为4.6m,高为0.6m,过点A,B作AE⊥ 面，所以BD1与B1D相交，故C错误； A1D1与AB是异面直线，故D正确. CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F,则DE=CF= 3.C【解析】三面涂色的小立方体是位于棱长为4cm 4.6-3 2 =0.8m,故AD=BC=√0.82+0.62-1m, 的立方体的顶点处的小立方体，因为立方体共有8个 顶，点，所以三面涂色的小立方体有8个，每个小立方 故该圆台部分的侧面积为 (3m+4.6m)×1=3.8xm. 2 体的表面积为6cm,则表面积之和为8×6=48cm2. 3 B 81 10.6 4.B【解析】由题意可知，这些细沙的体积 27×3× D0.8E 3 6X元X3=16 8.B【解析】当平面a与四面体ABCD的三条棱相 3cm3. 交时，不妨设平面a过棱AB,AC,AD的中点E, 5.B【解析】还原四边形OACB,如图所示： M,N,如图(1)所示， 依题意可得，OA⊥OB,OA∥BC,OA=2,BC=4,OB =2√2.取BC的中，点D,连接AD,则AD⊥BC,且 图() 此时点A,B到平面a的距离相等，且平面a∥平 CD=2,故AC=√22+(2√2)=23. 面BCD,因此A,B,C,D到平面a的距离相同， 6.D【解析】如图所示，延长正四棱台的各条侧棱，交 故d:有1个不同的值； 于一点P, 不妨设平面a过棱AB的中点E,且过AC,AD的 三等分点M,N,如图(2)所示， H 设正四棱台的下底面边长为a,高为h,则上底面边长 为2a,四棱锥P-EFGH的高为h, 图(2) ·35· B 2027 单元过关 此时点A,B到平面a的距离相等，点C,D到平 斜二测画法中，直角坐标系xOy变成x'Oy',且 面a的距离相等，且A,B到平面a的距离与C,D ∠x'O'y'=45°，角度有变化，另外平行于y轴的 到平面α的距离不相等，故d:有2个不同的值； 线段长度变为原来的一半，平行x轴的线段长度 不妨设平面a过棱AB,AD的中点E,N,且过 不变，因此正方形的直观图是正方形不正确，故D AC的三等分点M,如图(3)所示， 错误. 10.ABD【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 易证△ACD1为正三角形，AB⊥AD1,∠BAC= 四面体ABCD,中，点A的曲车 在正方体ABCD-A1B1CD1中，∠ADB=∠BD1C, 图(3) 因为tan∠AD,B=tan∠BD,C=】 2 <1,所以0< 此时点A,B,D到平面a的距离相等，且A,B,D 到平面α的距离与C到平面a的距离不相等，故 ∠AD,B=∠BD,C<开，故在四面体ABCD,中，点 d:有2个不同的值； 不妨设平面a过棱AB的中，点E,过AC的靠近C D的由率为2m-(∠AD,B+∠BD,C+）>2x 的三等分，点M,过AD靠近A的三等分点N,如 （任×2+）故B正随： 图(4)所示， 因为四面体ABCD1外接球的半径即为正方体 ABCD A B1CD1外接球的半径为X6号 3√2 2 ,所以四面体ABCD1外接球的表面积为4π ×2) =18π，故C错误； 图(4) 四面体ABCD,的体软V-君×名×U后)户X后 此时A,B到平面a的距离相同，C,D到平面&的 距离不同，且A,B和C,D到平面α的距离两两 =6,四西体ABCD,的表面积S=号X(5) 之间都可能不同，故d:有3个不同的值；又因为 A,B,C,D四个，点均不在平面a上，也不在平面a ×6xV厘x2+xp)=3+8E 1 的同侧，所以d:不能有4个不同的值（若有4个 33,所以四面体ABCD,内切球的半径，=3Y 不同的值，则四个点必然在平面α的同侧)，所以 d:的所有不同值的个数组成的集合为{1,2,3}. 3√6 √6 6 3+62+3√31+2√2+√3√6+43+3√2 二、选择题 9.AB【解析】对于A,由斜二测画法规则可知，水 即1-6+43+3W2 故D正确. 6 平放置的三角形的直观图还是三角形，故A正确； 11.ABD【解析】对于A,B,如图所示， 对于B,斜二测画法是一种平行投影，水平放置的 平行四边形的两组对边在水平面上的直观图上仍 然保持平行，故B正确；对于C,菱形的四条边相 等，但相等的线段在直观图中不一定相等，因此菱 形的直观图是菱形不正确，故C错误；对于D,在 6 B ·36· ·数学· 参考答案及解析 当平面A1A2A3与直线1：(i=1,2,3)垂直时，因 14.60°；垂直【解析】连接A1B,A1C1,A1D, 为A1A2=A2A3=4,A1A3=6,由余弦定理可得 因为四边形ABB1A1为正方形，所以E既是AB c08∠A1A2A,=4+42-6 2×4×4 <0,所以∠A1A2A3 的中点，又是A1B的中点，所以EF∥A1C1,所以 EF与C1D所成的角即为∠A1C1D,又△A1C1D 为钝角，固定A1,A3的位置不动，令A2沿L2向 上移动，移动过程中，∠A1A2A3逐渐变小，故 为等边三角形，所以∠A1C1D=60°. A,B正确； 因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以AC1⊥ 对于D,不妨令A2A4⊥A1A3,让A2,A4均在l2 B1D1,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,AC1C平 上移动，移动的过程中可以实现A1A4⊥A2A3, 面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩ 由对称性可知A1A2⊥A3A4,故D正确； B1D1=B1,BB1,BD1C平面BDD1B1, 对于C,如图所示， 所以A1C1⊥平面BDD1B1,又因为EF∥A1C1, 所以EF⊥平面BDD1B1,又EFC平面B1EF, 所以平面B1EF⊥平面BDD1B1. D 4 为方便书写，称三条两两垂直的棱的公共顶点为 共垂点。 (1)如图，假设A2∈l2是共垂点，不妨令A1∈11， A3∈13，显然A4庄12，若A4∈11，则A2A3⊥平面 四、解答题 A1A2A4,有|A2A3|=4;过A2作A2D⊥A1A4 15.(1)证明：因为平面ABE与直线PC相交于点F, 于点D,连接A3D,可得|A2D=4,A3D= 所以平面ABE∩平面PCD=EF. 4√2≠6，不符合题意； 因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,(2分) (2)同理，不存在任意一点A,()=1,2,3,4),使 因为AB￠平面PCD,CDC平面PCD, 得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱 所以AB∥平面PCD, (4分) 两两垂直的四面体，故C错误. 因为ABC平面ABE,平面ABE∩平面PCD= 三、填空题 EF,所以AB∥EF,故EF∥CD (6分) 12.12π【解析】将该几何体利用对称性补成一个母 (2)解：因为底面ABCD为菱形，∠ADC=120°， 线长为6的圆柱，则所求几何体的体积为该圆柱 1 所以∠BAD=60°，△ABD为正三角形， 体积的一半，所以V=2元×22X6=12元 √3 13.1【解析】由已知得，圆锥的高为3，体积为3× 又AB=4,所以SAA0=X4型=4W3，(8分) 因为E为PD的中点，所以P到平面EAB的距 1 2 π(2)2×3=2π，正三棱台的体积为3X7 离与D到平面EAB的距离相等， 又PD⊥底面ABCD,即DE⊥底面ABCD,DE 5×1+2+1×2)=3,设铁块的密度为p, 4 =2PD=3, (10分) 则甲、乙对地面的压强分别为1= 2πp π·（√2） 所以三棱锥E-PAB的体积VEPAB=VP-EAB= 1 D,p2= =p,所以=1 VD-EAB-VEAND-3SMAWDE-3X43X3- 4 ×22 4√3. (13分) ·37· B 2027 单元过关 16.解：(1)依题意，AA1⊥平面APB,由∠BOP=90°， 所以GE∥BD, 得Sas=号AB0P=号X4X2=4,8分) 1 所以B,D,E,G四点共面. (6分) (2)如图，延长AF,BG交于点S, 所以三棱锥A-PBA1的体积VA-PBA,=VA,PAB s(O) 吉Sae·AA:=号X4X8=4 (7分) (2)过点P作圆柱OO1的母线PP1,连接A1P1, BP1,则PP1∥AA1,PP1=AA1,所以四边形 B APP1A1为平行四边形，所以A1P1∥AP, 因为AB∥FG,且AB=2FG, 因此∠P1A1B是异面直线A1B与AP所成的角 SF FG 1 或其补角， (10分) 所以△SFGD△SAB,SA-AB=2' (9分) 由∠BOP=60°，得∠AOP=120°，AP=2 DAcos30° 同理，延长AF,DE交于点Q, =2√3，PB=OB=2, 因为四边形ABCD和四边形EFGH均为正方 则A1P1=AP=2√3，A1B=√AA+AB2= 形，且AB=2FG,所以AD=2EF, √32+42=5， (12分) 又AD∥EF, 由于PP1⊥平面APB, 所以△QEF∽△QDA QF EF 1 'QAAD=2,(12分) 则P1B=√PP+PB=√32+22=√13， 故S和Q是同一个点， 在△A1P1B中，cos∠P1A1B 所以AF,BG,DE三条直线交于一点.(15分) A1P+A1B2-P1B212+25-132√3 18.(1)证明：因为F是BP的中点，H是PC的中 2A1P1·A1B 2×2W3×5 5 点，所以FH∥BC, (14分) 又BC∥AD,所以FH∥AD, 所以异面直线A1B与AP所成角的余弦值为 又FH￠平面AEPD,ADC平面AEPD,所以 2V3 (15分) FH∥平面AEPD, 5 同理FG∥平面AEPD, 01. 又FH∩FG=F,FH,FGC平面FGH, 所以平面FGH∥平面AEPD. (3分) 连接CE,DE. 17.证明：(1)如图，取AB,AD的中点分别为S,T, 连接GS,ET,ST,GE,BD,则ST∥BD, 因为CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩AD=D,AD, 因为四边形ABCD和四边形EFGH均为正方 PDC平面AEPD, 形，AB=2FG,且AB∥FG,AD∥EF, 所以CD⊥平面AEPD,则∠CED即为直线CE 所以四边形FGSA,FETA均为平行四边形，即 与平面AEPD所成的角， GS∥FA∥ET,GS=FA=ET, 又平面FGH∥平面AEPD,所以∠CED即为直 所以四边形GETS为平行四边形，所以GE∥TS, 线CE与平面FGH所成的角. B ·38· ·数学· 参考答案及解析 因为在直角梯形AEPD中，AD=PD=2EA=2, (2)证明：由(1)知，∠BMN为二面角B-AC-N 所以DE=√JAD2+AE7=√5， (6分) 的平面角，过点D作DP⊥AC于点P,则 在Rt△CDE中，CD=2,CE=√DE2+CD2= DP∥NM,连接NP,BP. V5+4=3,所以sin∠CED=CD_2 CE=3’ 2 即直线CE与平面FGH所成角的正弦值为 B (8分) (2)解：延长PE交DA的延长线于点Q,连接 在等腰梯形ACFD中，DN= 2DF= 2,AP= BQ,延长FG与BQ交于点R, aa AM-PM=a-2=2,所以DN=AP, 又DN∥AP,所以四边形APND为平行四边 形，所以NP∥DA, 所以∠PNB即为直线BN与AD所成角（或其 补角)， 所以tan∠PNB=士5，cos∠PNB=士V2E 26 因为F,G分别为BP,BE的中点， (7分) 所以FG∥PE,所以FR∥PQ, 所以R是BQ的中点， 在△NPB中，NP=AD= 24,PB=/MP FMB 取CD中点M,则RM就是所求的直线l. (12分) +(3a)'- 2a. 理由如下：由以上作图过程可知，R是BQ的中 由余弦定理得，PB2=PN2+BN2-2PN· 点，M是CD的中点， BN·os∠PNB,即Ta=32】 13 所以RM∥DQ,即RM∥AD, 2a/ +BN2-2X 又FH∥AD,所以RM∥FH,所以R,M,F,H 2 四点共面，所以R,M∈平面FGH, 2 aXBNX(±V26)】 26/ 又R,M∈平面ABCD,所以平面FGH∩平面 2a或BN=111 1 解得BN= 26 a<3a(舍去)， ABCD=RM,所以RM即为所求的直线L. (17分) 在△NMB中，M=2,MB=5a,所以NMr+ 19.(1)证明：过点N作NM⊥AC于点M,连接 MB2=BN2,所以∠BMN=90°， MB. 所以二面角BACN为直二面角， 因为BN⊥AC,MN∩BN=N,MN,BNC平面 所以平面ABC⊥平面ACFD. (10分) NBM, (3)解：设N,E在底面的投影分别为N',E',N 所以AC⊥平面NBM, 到平面ABC的距离为h, 又MBC平面NBM,所以AC⊥MB, 则∠EBE为直线BE与平面ABC所成角，即 又因为AB=BC,所以M为AC的中点. ∠EBE'=B. 因为在梯形ACFD中，AD=FC, 由(1)知，∠NMB=a. 所以梯形ACFD为等腰梯形. 又MN⊥AC,所以N为线段DF的中点.(4分) 故h=NMsin a=g 2 sin a. ·39· B 2027 单元过关 当a为钝角时，N'在△ABC的外部，N'B=N'M+ BM-3a-cos. E BE'=BN'-NE=-4 2 cos a+ 2a= A EE 当a为直角时，也符合tanB= sin a 3 a 2a-2cosa, √3-cosa sin a 2 sin a 综上，tanB= (0<a<π). (15分) 所以tanB- EE' sin a √3-cosa BE=5a √3-cosa 设H(cosa,sina)(0<a<π)是x2+y2=1(上 半圆，不包括与x轴的交点)上任意一点， (12分) 则sina 可看作是半圆x2+y2=1上一点与 cos a-3 点K(3,0)连线的斜率. 当直线HK与半圆相切时，直线斜率最小，最小 B OH√2 当a为锐角时，N'在△ABC的内部，N'B=MB 值为一HK 2, -N'M-J5a-c0 所以H(cosa,sina)与K(3,0)连线的斜率的 BE'=BN'-NE=5。-a 取值范围为 √2 2a-2cos a, 20 EE'sin a 所以tanB=BE-5-cosa (14分) 即tanB的取值范围为o,乞 (17分) 2026一2027学年度单元过关（十） 数学·空间向量与立体几何 一、选择题 因为正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a,点N, 1.B【解析】A京-AD+D京-AD+号DC-AD+ M分别在AC,BC'上，且AN=2CN,BM=2MC', 2DC+c)-A市+号(a店+a)-Ad+ 所以M(台a,3）Ng号o,所以MN 号A店+号A,所以x-y-日所以x+y-1 1 9+9=3· 2.D【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 3B【解析】由1Le得a∥，所以子-“士”- 2 解得a6=一 a-b 2 4 B M 4.C【解析】由图可得，BE=BA+A它=-DC+ }a妒-成+g成-=-6+2e-74 B 1 2a-b+2c. B ·40·2026一2027学年度单元过关（九） 数学·立体几何初步 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 1.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是 A B C D 2.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是() D C A。 A.AB和C1D1 B.AA1和CC1 C.BD1和B1D D.A1D1和AB 3.将一个表面被涂上红色的棱长为4cm的立方体适当分割成棱长为1cm的小立方体， 则三面是红色的小立方体的表面积之和为 () A.12 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.60 cm2 4.沙漏是一种古代计时仪器.如图，某沙漏由上、下两个相同的圆锥组成，圆锥的底面直径 和高均为6cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的3，则这些细沙的体积为 () 8π A.3 cm3 C.8元cm 32π D.3 cm3 单元过关（九）数学第1页（共8页） 优秀是种习惯，不是一次表现 5.如图，四边形O'A'C'B'表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图， 班级 O'A'=2,B'C'=4,OB'=√2，OA'∥B'C',则AC= 姓名 B C 0 A' 得分 A.√6 B.23 C.6 D.42 6.如图所示，茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍， 容积为28mL,厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为 () 31 A.2 B. 391 C.N22 39 D.2 -1 7.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀. 重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合 体.已知某重檐圆亭圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为 () 3m 10.6m D 4.6m 图1 图2 图3 A.3.6πm2 B.3.8πm2 C.4.2πm2 D.5.4πm2 8.给定四面体ABCD,且平面a满足：①A,B,C,D四个点均不在平面a上，也不在平面a 的同侧；②若平面α与四面体ABCD的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两 个三等分点之一.设A,B,C,D四个点到平面a的距离分别为d:(i=1,2,3,4),那么d: 的所有不同值的个数组成的集合为 () A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.1,2 D.1} 单元过关（九）数学第2页（共8页） B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有 A.三角形的直观图是三角形 B.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 C.菱形的直观图是菱形 D.正方形的直观图是正方形 10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫作多面 体的面角，角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 3,故其各个顶点的曲率均为2x-3X智-元如图，在正方体ABCD-A:BCD,中， AB=√6，则 D D A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为12 11π B.在四面体ABCD,中，点D,的曲率大于7 C.四面体ABCD1外接球的表面积为12π D.,四面体ABCD,内切球半径的倒数为5+4,3十3,2 6 11.设11,12，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,4,6的直线，则() A.存在A:∈1：(i=1,2,3),使得△A1A2A3是直角三角形 B.存在A:∈l:(i=1,2,3),使得△A1A2A3是等边三角形 C.存在A,∈l:(G=1,2,3,4;i=1,2,3),使得四面体A1A2A3A4存在一个顶点处的三 条棱两两垂直 D.存在A,∈1：(G=1,2,3,4;i=1,2,3),使得四面体A1A2A3A4对棱互相垂直 单元过关（九）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示部分的几何体是一圆柱被一平面所截，则该几何体的体积为 13.现有甲、乙两个实心铁块，甲是底面半径为√2，母线长为11的圆锥，乙是上、下底面边长 分别为1和2，高为的正三棱台，将甲的底面朝下，乙的下底面朝下放在水平地面上，设 甲、乙对地面的压强分别为p1,p2,则2 (压强等于压力除以受力面积) 2 14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E,F分别是AB1,BC1的中点，则EF与C1D 成的角为 ;平面B1EF与平面BDD1B1的关系为 (填垂直或不垂直). 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD,E为PD 的中点. D (1)设平面ABE与直线PC相交于点F,证明：EF∥CD (2)若AB=4,∠ADC=120°，PD=6,求三棱锥EPAB的体积. 单元过关（九）数学第4页（共8页） 16.(15分)如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，OA=2,母线 为底面圆周上一点 A 0. --- A多B (1)若∠BOP=90°，求三棱锥A-PBA1的体积； (2)若∠BOP=60°，求异面直线A1B与AP所成角的余弦值. 单元过关（九）数学第5页（共8页） AA1长为3，点P 17.(15分)如图，在多面体ABCD-EFGH中，四边形ABCD和四边形EFGH均为正方 形，四边形ABGF和四边形ADEF均为梯形，其中AB∥FG,AD∥EF,且AB= 2FG,回答下列问题. H 41-.. D (1)证明：B,D,E,G四点共面 (2)证明：AF,BG,DE三条直线交于一点. 单元过关（九）数学第6页（共8页） B 18.(17分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形，且PD∥EA, PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H. D G B (1)证明：平面FGH∥平面AEPD,并求直线CE与平面FGH所成角的正弦值. (2)设截面FGH与平面ABCD的交线为l,确定L的位置并说明理由. B 单元过关（九）数学第7页（共8页） 18.17分)如图，在三楼合ABC-DEF中，AB=BC=AC=2a,AD=FC=5。 a,DF=a, N为线段DF上一点，且BN⊥AC F (1)证明：点N为线段DF的中点. (2)若直线BN与AD所成角的正切值为5，BN>3a,证明：平面ABC⊥平面 ACFD. (3)设二面角D-ACB的平面角为a,直线BE与平面ABC所成的角为B,求tanB关 于a的函数关系式，并求tanB的取值范围. 单元过关（九）数学第8页（共8页）