单元过关(七) 三角恒等变换-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（B版）

2026一2027学年度单元过关（七） 数学·三角恒等变换 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 答案 1.若3日号则am8 2 A.-12 B.12 C.-6 D.6 2.若tan(a十x)=2,则2sin&-3cosa cos a ( A-号 B.1 c-日 1 3.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°的三角函数值，部分5°的奇数 倍锐角的正切值（用字母代替）如表所示，则sin2200°= () 0 159 25° 35 tan a m ǒ 9 1-p2 2p A.1+p B.1+p2 1-92 、1-m2 D.1+m2 单元过关（七）数学第1页（共8页） 没有航向的船，任何风都是逆风 。。 4.已知第二象限角0满足cos0+2cslg+）sin0+3）=0,则sin0 班级 A.4 6 B. 姓名 C.2 3 D.2 得分 5.已知 1-sin 2a sin 2a-2cos2a =3,则tan2a= A 4 B.一3 c-a D.24 6.在埃菲尔铁塔旁可以看到一段非常特殊的数学方程一埃菲尔铁塔方程.这个方程不 仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师、建筑师埃菲尔(Gustave Eiffel)对科学和 技术的贡献.方程定义：y=sinx十0.5cos2x,在这个方程中，x代表一个给定的角度，y 则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时 的一个相对值，并非实际物理高度)，则埃菲尔铁塔的最大“高度”值为 () A B. 4 C.3 D.2 7.已知函数f()=sm受+》sin(日受）(。>0)在0，)上恰有4个爹点，则w的取 值范围是 () Ag哥 侣背 1013 c.33 D 8若-】 ,cosa-2sin9=1,sina+2cosB=-E,则cosB+3）=（) &v⑥ c √6 3 D.6 单元过关（七）数学第2页（共8页） B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.关于函数y=sinx(sinx+cosx)的描述正确的是 A.最小正周期是2π √2+1 B.最大值是2 C.一条对称轴是x=3m 8 D.一个对称中心是匹，1》 （8'2/ 10.已知函数f(x)=asin x十cos22x-acos x,则 A.Ha∈R,f(x)的最小正周期为2π B.]a∈R,使得f(x)的图象关于某条直线对称 C.Va∈R,f(c-)是偶函数 D.当a=3时，f(x)的最小值为-3√2 11.黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例黄金分割比= 5-1） ,这一比例在自然界、艺术及建筑设计中有着广泛的应用，它象征着和谐与完 2 美.已知在顶角为∠BAC的黄金三角形ABC中，它的底角正好是顶角的两倍，D为 BC边上的中点，则 () Ao188 B.2sin18°=5-1 2 1+tan27°AD C.1-tan 27CD D.cos∠BAC=V5+1 B 单元过关（七）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知tana+11 tan sin'a-2sin acos a+3cos 3.若tana=2,tan(a-g)=),则sin28 14.设f(a)=sina十cosa,x∈{nn=2k,k∈N*},利用三角变换，计算当x=4时， f(a)的取值范围是 ,根据f(α)在x=2,4,6时的取值情况，猜想当x= 2k(k∈N*)时，f(a)的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 已知函数)=c0s血上士E (1)求f(x)的最小正周期； (2)若x∈0，x),解不等式f)< 4 单元过关（七）数学第4页（共8页） 16.(15分)I已知a,9都是锐角，若sna-号c0s(a+B)=求sin9的值： 8 (2已知sna-6osa=写e∈0，求snba若}的值 单元过关（七）数学第5页（共8页） 17.（15分)某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值为同一个常数：①sin13°+ sin273°-cos77°cos17°；②cos275°+cos215°-sin15°sin75°；③sin2(-23)+cos253°+ cos67°sin37°；④sin2(-26°)+cos256°+sin26°cos56°. (1)试从上述4个式子中选择一个或两个，求出这个常数； (2)根据(1)的结果，将该同学的发现推广为一个关于变量x的三角恒等式，并证明你 的结论 单元过关（七）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知函数f(x)=Asin wxcos wx(A>0,w>0).从下列四个条件中选择两个作 为已知条件，使f(x)存在且唯一确定. 条件①：/（经 =1;条件②：f(x)为偶函数； 条件③：fx)的最大值为1；条件④：f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为， (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)=f(x)一2cos2ωx+1,求g(x)的单调递增区间以及g(x)在区间 上的最大值 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分. B 单元过关（七）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数f(x)=sin ka·sinx十cos kx·cosx一cos2x,其中k∈N*. ①)当=1时，求方程)=1的解集 (2)若f(x)是偶函数，当&取最小值时，求函数g)=f(x) 十sinx十cosx的取值 tan x 范围； (3)若f(x)是常数函数，求k的取值. 单元过关（七）数学第8页（共8页）2027 单元过关 故3xcos(-g）+3sin(-3）=0,且3acos wπ 3 显然，8)在-看处取最大值，不是最小值，不 2w0， +3sin 符合题意； 当aw=4时，g(x)=33cos4x+3sin4x+3 35=6sin(4x+5）+3-38, tan() 显然，g(x)在x= 处既无最大值，也无最小值， 6 则-x-2g即w=∈乙， 不符合题意； 又o>0A>0,所以2=3，am-5, 当w=7时，g(x)=3√5cos7x+3sin7x+3- 3=5simx+g）+3-35, 则-号十nE∈N,得a=1十3，a∈N (13分) 显然gx)在x=晋处取最小值，且y=8一)的 当w=1时，g(x)=3W3cosx+3sinx+3-3W3 图象关于点(83-3)中心对称。 =6sinz+）+3-3v3, 所以入十w的最小值为√3十7. (17分) 2026一2027学年度单元过关（七） 数学·三角恒等变换 一、选择题 5.C【解析】因为sin2a一2cos2a≠0， a+30s&首，得ma二？-2 1,B【解析】由ina-2cosc-2 所以2 sin acos a-2cos2a≠0， tana+33’ 即2cosa(sina-cosa)≠0， 解得tana=12. 所以cosa≠0且sina一cosa≠0，即cosa≠0且 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, tana≠1. 1-sin 2a cos a 1 1 已知 2sin a 3cos a2tan a-3 2X231 sin 2a-2cos'a 3a2sin acos 2sin acos a-2cos a 3.A【解析】sin2200°=sin(6×360°+40)=sin40° -3,所以amat1-2ana-3, 2tan a-2 -0s50-co25-sin25-1-am25°-1-p 所以tana一8tana+7=0,且tana≠1，解得tana cos225°+sin225°1+tan225°-1+p2 2tan a 2X7 7 4D【解析】由题方可得cos9十sin(20+）=0: =7,所以tan2a=1-tana-1-7=24 6.B【解析】y=sinx+0.5cos2x=-sin2x+ 即cos0-cos20=0,根据二倍角公式，得cos0 1 (2cos0-1)=-0,解得cms0=-方或cm0=1,又 3 sinx=2时，有yas=4: 因为0为第二象限角，所以c0s0= 2,则0= 7.A【解析】因为fx)=sng+)n后受) 2kπ十 3k∈Z,故sin9=3 2 2· =sin管+）es臣-（佰-受）】 B ·26· ·数学· 参考答案及解析 -sm(g+）esg+）-(ar+） 故西数的一个对称中心是（低，》，戴D 1 昌为z0,将以or十∈+）根 正确、 1 2∠ 10.BCD【解析】f(x)=asin a-acos+2cos4z 据f(x)的函数图象及题意可得4π<wπ 3 5x,解得9o< 十分时于A,当a=0时，f(x)=2s4红+号 8.A【解析】由cosa一2sinB=1,两边同时取平 的液小正调期为-，故A错提。 方，可得cos2a-4 cos asin B+4sin2B=1①； 对于B,当a=0时f)=cs4z+2的围象 由sina十2cosB=一√2，两边同时取平方， 可得sina+4 sin acos B+4cos2B=2②， 关于直线x-经∈Z)对称，故B正确： 由①+②，得1+4(sin acos B-cos asin B)+4= 3,参显得sna-创=-又-<a-<, 对于C,fx)=Zasimlx--）+2os4红+号 π 解得a一B=-6,即a=B-6,代入cosa-2sinB 则f-）=an(-）+2m4(e-)】 -,可得g若)-2m9=1,净复s月 +2--2ac0sx-20s) 3 an）+g=[4-x-】+} m月=1，整理得6cam(g+）=l,故os(e叶) -acos-3cos4红十号所以f(l-） 1 3 f(-x一)，所以f(e-)为偶函数，故C正确； 二、选择题 9.BCD【解析】对于A,y=sinx(sinx+cosx)= 对于D,当a=3时，fG)=32sme-）+2as4红 1 sin'x+sin xcos x-2 sin 2x= 2 1 2，当x=-时，函数y=3m(-)和y 受：》十日高级的速小正月期为 2π 1 2os4虹十2同时取到最小值，分别为一32和 =π，故A错误； 0,所以f(x)的最小值为一3√2，故D正确. 对于B当2x-营-受+2跳x,k∈Z即x=警十 11.BCD【解析】对于A,由题意可知2∠BAC= 长tez时y-号ner-)+ 取符爱大 -5又国为∠AC- ∠ACB=∠ABC,AC 值，最大值为2+1 ∠ACB+∠ABC=180°，所以∠ACB=∠ABC 2,故B正确； =72°，∠BAC=36°，又因为D为等腰三角形底 对于C,当x-时，m2x晋-）-1，敢x 边上中点，由三线合一可知，AD⊥BC,∠CAD= ∠BAD=18,所以c0s18=cos∠CAD-A把 是西薇的一条对格轴，酸C正病， 故A错误； 对手D.当-音时y-受如ex晋）+号 对于B,2sin18°=2sin∠CAD=2CD-_BC ACAC ·27· B 2027 单元过关 √5-1 =(sin2a++cos2a)(sina-sin acos2a++cosa) 2,故B正确； =(sin2a+cos2a)2-3sin2acos'a 1+tan27°tan45°+tan27° 对于C,因为1一tan27° 3 53 =1-tan45°tan27 -1-3 sin'a cos a-1-sin 2a88 cos 4a, AD tan(45+27)=tan72°-tan∠ACD-CD,故C 由子-1≤cos4a≤1，所以≤5+3cd 4≤8+8cos4a≤ 正确； 1,所以f(a)∈ 对于D,设AC=AB=2,则BC=√5-1，因为 coBAC-co621() 由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N“)时， f(a)的取值范围是 「1， 1=2(AC:-CD)-AC 27,1k∈N). AC ,代入边长，得cos∠BAC 四、解答题 =AC:-2CD: 4-2×6-2v6 4 5+1 15.解：fz)=(e+）-cosz+日 AC2 4 4,故D 正确 三、填空题 1 12号【饼糊】由品}含可释m。=一3 2 cos xsin 2 cos'x+3 4 -2sin assin2sin acs sm2-g,1+c2z+5 1 2 2 4 sin'a+cos a tan2a-2tan a+3 9+6+3 9 1 1 4c0s2= tan'a+1 9+1-5 (2x-,4分) 24 1 13.25【解析】因为tana=2,tan(a-A)=2,所以 故了x)的最小正周期T-暂-=元 (6分) tan a-tan(a-B) tan B-tan [a-(@-B)]-1+tan atan(a-B) (e由fe)9a豆ne:到<停。 22 1 =4,由二倍角的正孩公式，得sin28= 3 即sm2r）<, 1+2×2 则+2x2x-<+2x∈, 2sin Bcos B 2tan B 24 2sin Bcos B= sin2B+cos2B 1+tan2B 25' 解得-一十kx<x<十kx便∈)， (10分) 1[2小：可eNy【标】s=2时， 又xe0,0,所以xe(o,U(经 f (a)=sin2a+cos2a=1; 当x=4时，f(a)=sina+cosa=(sina十cos2a)2 所以不等式的解集为0，)U(受.13分) 1 -2sin'a cos'a-1- 16.解：(1)已知a,8都是锐角，且sina=5, 3 由于-1o≤1，所以≤+1 所以casa=-sna-手，0a十9K元 所以e)e2, (2分) 因为cos(a+)=17' 8 当x=6时，f(a)=sina十cosa B ·28· ·数学· 参考答案及解析 15 所以sin(a+B)=V1-cos(a+D=17' (4分) (2)根据(1)的规律观察，四个式子的统一式 为sina十cos2B-sin acos B,且a+B=30°， 所以sinB=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cosa 设x=a,则B=30°一x,进而得恒等式： 15、48、336 cos(a+)sin a-17X517X5-85 (6分) Sin2x+cos2(30°-x)-sin xcos(30°-x)=3 (2)因为sina-cosa=3 (11分) 证明：sin2x+cos2(30°-x)-sin xcos(30°-x) 所以(sina-cosa)2= Fg,即1-2 sin acosa= =sin2x+(cos30°cosx+sin30°sinx)2- 1 4 g,所以sin acs=g, sinx(cos30°cosx+sin30°sinx) 又a∈(0，π)，所以sina>0,cosa>0,即a∈ -sin 2 cos+ (o, y 2 sin (sin a+cos a)2=1+2sin acos a= 12 9 3 3 以si2十COs2—了 4 (10分) 猜想结论得证， (15分) √17 所以sina十cosa= 3 18.解：(1)f(x)=Asin wxcos wx= 2sin2wx,则 cos 2a=cos2a-sin2a=-(sin a+cos a)(sin a f(x)为奇函数，故②不能选 (2分) -cos a)=- √17 9, (12分) 若选择条件①③： 8 又sin2a=2 sin acos a= ,故sin(2a-） 因为fx)的最大值为1，所以-1，即A=2, π8yW31√17 sin 2acos -cos 2asin 6 69 9 2 因为f(经）=1，所以sina=1,w的值不唯一， 83+√17 故不能选①③（选①③不得分）. (15分) 18 若选择条件①④： 17.解：(1)首先将所给①，②，③，④四个式子等价转 因为∫(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 换为有规律的式子，则： 对于①，等价为sin213°+cos217°-sin13cos17°； 音所以 =元，即w=1, 对于②，等价为sin215°+cos215°-sin15cos15°； A 对于③，等价为sin2(-23)+cos253°-sin(-23)· 所以f(x)=2sin2x, cos53°； 因为（经）-1，所以号如受-1，哪A=2, 对于④，等价为sin(-26)十cos256°-sin(-26)· cos56°， 所以f(x)=sin2x. (8分) 根据题意，所给4个式子的结果都是同一常数， 若选择条件③④： 不妨选择②进行求值， 因为∫(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 sin215°+cos215°-sin15°cos15° 台所以 =元，即w=1, =1-7n30= 3 4 因为fz)的最大值为1，所以 2 =1,即A=2, 所以这个常数为定值 (7分) 所以f(x)=sin2x. (8分) ·29· B 2027 单元过关 (2)因为g(x)=f(x)-2cos2wx+1=sin2x 当k取最小值，即k=1时，f(x)=1-cos2x= 2c0s'+1sin 2x-c0ssin), 2sin2x, (6分) 所以g(x)= f(x) (10分) tan x +sin x+cos x 令2张x-5≤2红-誓≤2张+日：k∈乙，解得k红 2sinsin +cos sin x cos x 37π g≤x≤kr+g,k∈Z, =2 sin cos十sinx十cosc,c≠"π( 2 (m∈Z), 所以g(x)的单调递增区间为 3π kπ 8kπ 8: 令1=mx+osz=Esm(e+》,x≠2 k∈Z (13分) (m∈Z), 当xe[时2x-∈引 则2 sin xcos=t2-1,t∈[-√2，W2],且t≠士1， 所以g(x)的值域转化为函数y=t2十t一1，t∈ (15分) [-√2,2]，且t≠±1的值域， 对称轴为直线t=一 1 所以当2x一4=4，即x= π ,所以函数y=2+t-1在 4 时，g(x)取最大 值，且g(x)mx=1. (17分) [-区，-1)(-1，-引上单调递减在[21小， 19.解：(1)当k=1时，f(x)=sin2x十cos2x-cos2x= (1W2]上单调递增， 1-c0s2x, 所以当t=一 时，取得最小值y血-}号 由f()=1-2,得Cos2z=3 2 5 1=-4;当6=2时，取得最大值ymx=2+ 即2x=2x+g或2x=20x-6,k∈Z, 6 √2-1=1+√2， 解得x=x十5或x=x一克：k∈Z, 又当t=士1时，y=士1，当t=0时，y=-1, (9分) 故所求方程的解袋为女-+是或r 故g(x)的取值范围为 u,1+. kx∈Z, (4分) (10分) (3)因为Hk∈N,f(0)=0,所以若f(x)是常数 (2)f(x)的定义域为R,由f(x)是偶函数，得 函数，则f(x)=0. Vx∈R,f(-x)=f(x), ①当k=1时，由(1)知，f(x)=1一cos2x不是 即sin(一kx)·sin(一x)+cos(-kx)·cos(一x) 常数函数； (11分) -cos(-2x)=sin kx·sinx+cosk.x·cosx ②当k=2时，f(x)=sin2x·sinx十cos2x· cost2x, cosx-cos2x,此时f(2）=-1≠0，故f(x)不是 所以一sin kx·(-l)sinx+cosx·cosx 常数函数； (13分) -cos2x=sin kx·sinx+cos kx·cosx ③当k=3时，f(x)=sin3x·sin3x+cos3x· -cos*2x, cosx-cos2x 从而sin kx·sinx[1+(-1)]=0,进而1 =(sin 2xcos xsin'x++cos 2xsin'x)+(cos 2xcos'x 十（一1）=0，所以飞为正奇数， -sin 2xsin xcosx)-cos2x B ·30· ·数学· 参考答案及解析 =sin 2xcos xsin3x+cos2xsin'x-sinx)+ =c0s32x-c0s32x=0, (coss x-sin2x cos'x-sin 2xsin xcosx)- 所以f(x)是常数函数； (15分) cos32x ①当≥4时，1( )=-cos+ 一c0s 0,故 3cos2xsin'x-sinx cosx-3sin2xcos'x- cos2x f(x)不是常数函数. =(cos2x-sin2x)3-cos32x 综上，k=3. (17分) 2026一2027学年度单元过关（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 10i10i(3+i) Mi-i心)-tWr-Mcy]- 1.B【解析】设z-3-3一D3十D=i(3+iD 方法二：以D为原，点，DC,DA所在直线分别为 -1十3i,则之在复平面内对应的，点为（一1,3），位 x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 于第二象限. 2.A【解析】根据题意，AB=(-1,cosa),BC= (2,0),C元-(2,2sina),则BD-BC+CD= (4,2sina),若A,B,D三点共线，则AB∥BD,则 有4cosa=一2sina,变形可得tana=-2. 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1十x,1),若 a∥b,则(2-x)(1十x)=2,解得x=0或x=1, 设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0).则MN 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. =(-x,n-y),MB=(-a-x,-y),MC=(a 4.A【解析】由单位向量a,b,得a=1,b|=1, x,-y),CB-(-2a,0).所以MN·(MB-MC) =MN.CB=2ax.又因为MB=3,MC=2,所以有 又a·b=0,所以c2=(a+√3b)2=a2+23a· 1(x+a)2+y2=9, b+3b2=a2+3b2=4,所以c=2, (x-a)2+y2=4, 两式作差，得4ax=5,故MN· 又a·c=a·(a+3b)=a2+3a·b=a2=1, 所以osae=日日-所以mae- a·c1 城-d)-2a-8 7.C【解析】设OA=(4,m),OB=(4,n),所以AB 5.D【解析】由已知a≠0，因为a与b是共线向量， =OB-OA=(0,n-m),因为|AB=4,即n-m 所以3入∈R,使b=aa,即2e1+ke2=入(e1一 =4.设0A=(4,m),OB=(4,m-4),设0A与OB的 2e2),所以2e1+e2=Ae1-2λe2, 夹角为0,0A.0B=16+m2-4m=(m一2)2+12 即2=入，解得 入=2， =-2入， k=-4, 即的值为一4。 ≥12>0，可知0e(6,2）又S%w-×4x4=8 6.D【解析】方法一：因为△ABC为等边三角形，点D 是边BC的中点，所以AD⊥BC,故DN·CB= 专，om0.珠以aa=品 o,MN·(M-M)=(Mi+DN)·CB=Mi· Ci+DN.Ci=M心.Ci. mi,i-=9g0e,g》, 又因为D是△MBC的边BC上的中，点，所以M而 则当∠AOB最大时，tan0最大，即OA.OB最 小，此时OA·OB=(m-2)2十12=12，当且仅当 专+M心，所以N.亩-号a店+d)· m=2时等号成立. ·31· B