单元过关(二) 一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（B版）

2026一2027学年度单元过关（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 2 3 6 7 8 答案 1.已知a<b<0,c∈R,则 A.ac2<bc2 C.ab<62 D.a2>62 2.若不等式1<a一b≤2,2≤a十b<4,则4a一2b的取值范围是 A.[3,12] B.(3,12) C.[5,10] D.(5,10) a b 2xx-2 3.若规定 =ad-bc,则不等式 ≤0的解集为 -2 A.{x|x≤-2或x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-1<x<2} 4.一个大于60小于70的两位数，其个位数字比十位数字大2，则这个两位数的两位数字 之和为 ( A.12 B.13 C.14 D.15 单元过关（二）数学第1页（共8页） 乾神未定，你我皆是黑马 5.已知a>b>0,以下四个数中最大的是 班级 A.b B.√ab 姓名 C.&tb a2+b2 2 D.2 ------------- 得分 6.从直角坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数 的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则 A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多 C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少 7.已知不等式ax2一6x+a+2<0的解集为{x|1<x<2},且不等式(m2-5m一6)x2+ (m+1)x十a>0对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 () A.(-∞，-1]U(7,+∞) B.(-∞，-1)U[7,+∞) C.（-∞，-1)U(7,十∞) D.(-∞，-1]U[7,+∞) 8.定义区间(m,n)(m<m)的长度为n-m.设>0，若对于1a≠1，不等式1十2 x-a x-1 >k的解集所包含区间的长度之和恒为6，则k的值为 () 1 A.1 b.2 C.2 D.3 单元过关（二）数学第2页（共8页） B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.17世纪，英国数学家哈利奥特在《实用分析术》一书中首先使用了“>”和“<”符号，但是 直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“>”和“<”符号是1631年才开 始使用的，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今. 若非零实数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是 () A8>1 B,1、1 ·ab2a2b C.a3>63 D.a(a-b)>0 10.若关于x的不等式在(0,1)上恒成立，则称该不等式为单位区间不等式.下列不等式是 单位区间不等式的是 () A.2x2-x<0 1 B.x+->2 C.x2-2x<0 D.x+ 2>2瓦 11.若存在函数g1(x),g2(x)使得函数go(x)满足g1(x)≤go(x)≤g2(x),则称go(x)是 “g1-g2变量函数”.已知函数f(x)=x2十ax十b,f1(x)=x-1,f2(x)=2x2-3x十 1,若f(x)是“f1一f2变量函数”，则下列说法正确的是 () A.f(1)=0 B.a=1 C于：)的最小值为- D.若f(x)+x+1>0恒成立，则-1<m<3 B 单元过关（二）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,已知a>86>2,且a3)02)=1,则。+方产三的绿小值为 13.生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用a>b>0,c>0表示为一个不等式 14.已知方程x2+(2m一1)x+4一2m=0的两根一个比2大，另一个比2小，则m的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)已知a>1,证明：a+2>1=a 3 (2)已知a=x3+y3,b=x2y十xy2,其中x>0,y>0且x≠y,试比较a,b的大小. 单元过关（二）数学第4页（共8页） 16.(15分)某校东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动是该校劳动教育的 特色项目.已知该劳动园地为如图所示的矩形AMPN,C点在对角线MN上，CDL AN,CB⊥AM.经测量AB=10米，AD=8米. B (1)设DN的长为x米，试用x表示劳动园地的面积S. (2)某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划 能否实现？并说明理由. 单元过关（二）数学第5页（共8页） 17.(15分)设函数f(x)=x2-ax十a-1(a>0). (1)求不等式f(x)<f(1)的解集； (2)当x∈[0，m]时，对Ha∈R且a>0,不等式f(x)≤(x+1)2a-1恒成立，求m 的最大值 单元过关（二）数学第6页（共8页） B 18.(17分)设集合M是正实数集上的一个非空子集，定义集合A={x|x=√Jab,a∈M,b∈M}. 在均值不等式a十b≥ab(a≥0，b>0)中，由它的儿何意义知，若a十b为定值，当a,b越接 近时，√ab的值越大；当a=b时，√ab取得最大值. (1)若集合M={1,2,3,…,2023,2024},a∈M,b∈M且a+b=2025,求集合A中 元素的最大值与最小值. ←Wab. 2 (2)证明：1a>0,b>0,1,1 一十 a'b (3)根据上述材料，试估计√6的值（精确到0.01）. B 单元过关（二）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数f(x)=x2十ax+b(a,b∈R). (1)若f(2)=f(4),f(x)的最小值为-1，求a,b; (2)在(1)的条件下，f(x)在[m,m+2]上的最大值为g(m),求g(m)的最小值； (3)若b>0,且关于x的方程f(x2一2x一1)=0恰有4个互不相等的实数根x1,x2, ,且+++=-6求6的写+60的最小值 单元过关（二）数学第8页（共8页）2027 单元过关 又A+B|=2m-1,所以上面为和集A+B中 a1+b1<a1+b2<…<a1+bk<a1+bk+1<a2+ 的所有元素， (14分) b+1<…<am十bk+1<…<am十bm, 又a1+b1<a1+b2<…<a1+bm<a2+bm<… 可得a2十b。=a1十b+1,即a2一a1=bs+1一bs <am十bm,这里共2m一-1个不同元素，也为和集 (1≤k≤m-1),同理可得b2-b1=ak+1一a A十B中的所有元素， (1≤k≤m-1),得证. 所以a2十b1=a1十b2,即a?-a1=b2-b1, 一般地，由a1十b1<a1十b2<…<a1十bk<a2十 综上，|A+B|=2m-1的充要条件是|D(A)U bk<<am十bs<am十bk+1<<am十bm, D(B)1=1. (17分) 2026一2027学年度单元过关（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 @十b,a十也都是正数，所以、 a2+b2 1.D【解析】当c=0时，ac2=bc2,故A错误，由a 而2,2 <h<0,不妨取a=-2,b=-1,此时=-号>1 a+b、 a 2>a6>6. -1=66=2>1=6公，故B,C错溪：因为4<6 6.D【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵 坐标为正数的，点有x个，第二象限的，点即横坐标为 <0,所以a-b<0,a十b<0,a2-b2=(a-b)(a 负数且纵坐标为正数的点有y个，第三象限的点即横 十b)>0,即a2>b2,故D正确. 坐标为负数且纵坐标为负数的，点有之个，第四象限的 2.D【解析】4a-2b=3(a-b)+(a十b),因为1< 点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有心个，因 a-b≤2，所以3<3(a-b)≤6，又2≤a+b<4, 为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标 所以5<3(a-b)+(a十b)<10,即4a-2b的取 为正数的点比纵坐标为负数的，点少，所以x十> 值范围是(5,10). y十z①，之十w>x十y②，由①+②，可得>y, 3.C【解析】由题意可知，不等式二2正 2xx-2 ≤0可 即第二象限，点比第四象限点少， 7.A【解析】由题意得，一元二次方程ax2-6x十a 化为2x·x+2(x-2)≤0，即x2+x-2≤0，解得 十2=0的两根分别为1,2，由根与系数的关系可 一2≤x≤1，所以不等式的解集为{x|一2≤x≤1}. 4.C【解析】设十位数字为a,个位数字为b,由题 得，=1十2=3，解得a=2,则不等式(m2-5m 60<10a+b<70, -6)x2+(m+1)x+a>0,即(m2-5m-6)x2+ b-a=2, 3 2 意知 解得51<a<6 (m+1)x十2>0对任意的x∈R恒成立，等价于 0<a9, |m2-5m-6=0, 0≤b≤9， m+1=0 又a∈N,所以a=6,b=8,所以所求的两位数为 |m2-5m-6>0, 68,两位数字之和为14. 或 解得m (m+1)2-4×2(m2-5m-6)<0, 5.D【解析】由题意a>b>0,所以b=√b< 一1或m>7.所以实数m的取值范围为（一∞，一1] V而，由基未不等式可得士≥而，同时注毫到 U(7,+∞). 8.B【解析】不妨设a>1,原不等式等价于 a≠b所以b≥Vab·又因为2名） 2 x-1+2(z-a)-kx-a)(x-1D>0,整理得 (x-a)(x-1) a+b)°-a2+6_a2+2ab+6-a-b)' 2 2 4 >0, kx'-(a+b+3)x+(2a+1+a）<0,因为k>0, 4 (x-a)(x-1) B 4 ·数学· 参考答案及解析 可设方程kx2-(ka十k+3)x+(2a十1十ka)=0 11.ACD【解析】对于A,由题意可知x-1≤x2十a.x 的两根为x1,x2(x1<x2),令y=f(x)=kx2 十b≤2x2-3x十1在x∈R上恒成立，令x=1,得0 (ka十k+3)x+(2a十1十ka),则f(x)的零点为 ≤1十a十b≤0，故f(1)=a+b十1=0，故A正确； f(x) x1x,原不等式即（红=a)记-D<0. 对于B,由a十b+1=0,可得b=一a-1,代入不等式 因为f(a)=ka2-(ka+k+3)a+(2a+1+ka)= 组整理得任+a-1Dx-a≥0， x2-(a+3)x+a+2≥0， 1-a<0,f(1)=k-(ka+k+3)+(2a+1+ka)= /(a-1)2+4a≤0， 2(a-1)>0,结合二次函数图象，可知1<x1< 所以 (a+3)2-4(a+2)≤0， 得(a+1)2≤0，解得 f(x) a<x,则不等式-a)z-1)<0的解集为 a=-1,故B错误； 对于C,由a=一1，可得b=0,所以f(x)=x2一x (1,x1)U(a,x2),此解集所包含区间的长度之和 为(x2一a)十(x1一l),由韦达定理可得x1十x2= (-》°-行>≥-日所以了)的最小值为 如+6+3-公十1+爱，所以愿不等式的解集所包 3 k 4,故C正确； 含区间的长度之和为(x:一a)十（红1-1）= 3 对于D,f(x)十mx+1>0恒成立，即x2+ (m-1)x+1>0恒成立，所以(m-1)2-4<0, 6,解得k=2 1 即(m-3)(m+1)<0,解得-1<m<3,故D 二、选择题 正确. 9.BC【解析】对于A,若a>0,b<0,显然有行<1， 三、填空题 12.2√3【解析】由题可知a-3>0,b-2>0, 故A错误； 对于B,不等式a>b两边同时除以a2b2(a2b2> 1,3 11 0),可得a6>a产6，故B正确； 当且仅当13 a-36-2,即a=3+ 3b=2+3 对于C,若a>b>0,由不等式的性质可得a3>b 成立；若0>a>b,则0<-a<一b,由不等式的性质 时子号成立，所以。十632的聚小值为2 3 可得，-a3<-b3,所以a3>b成立；若a>0>b,则显 然有a3>b成立，综上，a3>b3,故C正确； 13. 十c>b【解析】设原有汤为a,其中含盐量为 a+c a 对于D,由a>b,可得a-b>0,当a<0时，显然有 b,则汤中盐的浓度为，加入盐为c后可得汤中 a(a一b)<0,故D错误. 10.BCD〖解析】2x2-x<0的解集为0，号)，故A错 为+。此时+66 鼓的浓度为十c, a十ca 误； 理由如下：因为a>b>0,c>0,所以b+c_b a+c a 当x>0时，x+≥2（当且仅当x=1时，等号成 a(b+c)-b(ate)_ac-be-a-b)e>0. a(a+c) a(a+c)a(a+c) ,故x+>2在(0,1)上恒成立，故B正确 +c、b 所以 ,所以题中所述事实用a>b>0,c x2-2x<0的解集为(0,2)，故该不等式在(0,1)上 a+c a 恒成立，故C正确； >0表示为一个不等式，即为+C6 a十ca 当x>0时，x十 ≥22（当且仅当x=2时，等号 14.{mm<-3}【解析】因为方程x2+(2m-1)x 成主)，因为反安(0,1)，所以工十2>22在 十4一2m=0的两根一个比2大，另一个比2小，则 22+2(2m-1)+4-2m=6+2m<0,解得m< (0,1)上恒成立，故D正确. 一3，因此m的取值范围是{mm<一3}. ·5· B 2027 单元过关 四、解答题 17.解：(1)f(x)<f(1),即(x-1)(x+1-a)<0, 15.1)证明：方法一：a+2)-1。 3 当a-1>1,即a>2时，解集为(1，a-1); (2分) =a+2)1-a)-3a2+a+1 当a-1<1,即0<a<2时，解集为(a-1,1)；(4分) 1-a a-1, (2分) 当a-1-1,即a=2时，解集为⑦. (5分) 由于+a+1-(+}+ 4>0, 综上所述，当a>2时，f(x)<f(1)的解集为 (1,a-1);当0<a<2时，f(x)<f(1)的解集为 a2+a+1、 所以当a>1时，a一1>0 >0, (a一1,1)；当a=2时，f(x)<f(1)的解集为⑦. a-1 (6分) 即a+2>1-a 3 (6分) (2)①当2a≥1，即a>≥时， 方法二：因为a>1,所以a+2>0,1-a<0, 不等式即为x2-ax十a-1≤(x十1)(2a-1), 则12。<0，故a+2>13。 3 (6分) 整理得x2-(3a-1)x-a≤0， 即(3x+1)a-x2-x≥0， (8分) 方法三：因为a>1,要证a+2>1-a 3 1 由题意，对Va≥2，不等式恒成立，而3x十1>0， 即证(a+2)(a-1)>-3, 即证a2+a+1>0, (3分) 所以只要a一2时不等式成立即可， 由于a+a+1=a+》°+ 3、 4>0, 所以0，解得日≤1，而G [0,m],所以0<m≤1； (11分) 所以原不等式成立. (6分) (2)解：因为a=x3+y3,b=x2y十xy2, ②当2a<1,即0<a<2时，同理，不等式可整理 所以a-b=x3+y3-(x2y+xy2) 为x2-(1-a)x-2+3a≤0， =x3+y3-x2y-xy2=(x-y)2(x+y), 即(x十3)a十x2-x-2≤0， (9分) 由题意，对V0<a<分，不等式恒成立， 因为x>0,y>0且x≠y, 所以x+y>0,(x-y)>0, 1 而x十3>0，所以只要a=2时不等式成立即可， 所以a-b>0,即a>b. (13分) (13分) 16.解：(1)因为DN的长为x(x>0)米， 则AN=(x+8)米， 所以x-子-1 212≤0，解得- 2≤x≤1，而x∈ 由三角形相似可得DN：AN=DC:AM,即 [0,m],所以0<m≤1. AM=10(z+8) 综上，m的最大值为1. (15分) (4分) 18.(1)解：因为集合M={1,2,3,…,2023,2024), 所以S=AN·AM=10(z+8)2 a∈M,b∈M且a+b=2025, (6分) A={x|x=√ab,a∈M,b∈M}, 2)易知5=10+8》-10(+64+10)≥ x 所以v历<专-22 2 102…+16-820,当且仅当x- 由题意得当=1012， .a=1013, 首6-1013或6-1012 时，√ab取得 x=8时取等号， (10分) 最大值/1012×1013=√/1025156=2√256289； 故当DN的长为8米时，劳动园地面积最小，最 当a=1，或 a=2024, 时，√ab取得最小值 小值为320平方米. 6=2024 b=1 显然S>300,所以计划能够实现. (15分) √1×2024=2√/506， B ·6 ·数学· 参考答案及解析 所以集合A中元素的最大值为2√256289，最小 当m+1>3,即m>2时，f(x)在[m,m+2]上 值为2√506. (5分) 的最大值g(m)=f(m+2)=(m十2)2-6(m十 1+1 2)+8=m2-2m=(m-1)2-1, 1 所以g(m)在(2，+∞)上单调递增，则g(m)的 (2)证明：因为a>0,b>0,所以“26≥， 之·b a 最小值为g(2)=0, 1 综上，g(m)的最小值为0. (10分) ab (3)令t=x2-2x-1=(x-1)2-2>≥-2， 2 所以11≤va6,当且仅当。 当-即a=6时 设f(t)=0的两根为t1,t2, 由韦达定理得t1十t2=一a,tt2=b, 取等号 (10分) 由题意得x2-2x-1=t1与x2-2x-1=t2各 有两个不同的根， (3)解：由题意及(2)可得， 1,1 ≤vab≤a十b 2 对于x2-2x-(1十t1)=0,由韦达定理得x1+ x2=2,x1x2=-(1+t1), (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号， 对于x2-2x-(1十t2)=0,由韦达定理得x3十 所以2.4126<2 =2.5, x4=2,x3x4=-(1十t2), (12分) 2+3 所以1+1+1+1=+x+十x✉ T1X2 3X4 120 2 49 <6<2.425=2.45,（14分) 2 2 T1+t1+1+t2 1 1 2 -2 2.4T2.5 -(1+t1)-(1+t2) (1+t1)(1+t2) = 2+t1+t2 又49≈2.449，所以2.449<6<2.45 -2(1+i+1:t11t 0=-2(1246-6 2-a 所以√6≈2.45. (17分) 即1一a+ =3,化简得2a=1+3b, 19.解：(1)函数f(x)=x2+ax十b(a,b∈R), 169 169 若f2)=f).则-8-2告4-3. 故a十3+6=6十5+66 66+5+(66+5)- 169 2 169 解得a=-6, 5≥2√66+5·(6b+5)-5=21, 又f(x)的最小值为一1，则有f(3)=32-6×3 +b=-1,解得b=8. (4分) 十566十5，即6=时等号成 当且仅当169 (2)由(1)知f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1, 其对称轴为x=3, 此时a=2 当m+1≤3，即m≤2时，f(x)在[m,m+2]上 5 经橙验，当a=26一膏时，满足题设条件，放最 的最大值g(m)=f(m)=m2-6m十8， 小值21可以取得， 所以g(m)在(-∞，2]上单调递减，则g(m)的 最小值为g(2)=0; (7分) 所以十3十6b的最小值为21 (17分) 2026一2027学年度单元过关（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 2.A【解析】集合P到集合Q的函数即集合P中 3一x0,解得x≤3且 1.C【解析】由题意得，工-2≠0， 的任意元素，按照某种确定的对应关系，在集合Q 中都有唯一元素与之对应. x≠2，所以f(x)的定义域是(-∞，2)U(2,3]. 对于A,由图象可知符合函数的定义，故A正确； 7 B