单元过关(一) 集合与常用逻辑用语-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（B版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2026一2027学年度单元过关（一）】 数学·集合与常用逻辑用语 一、选择题 组合二：{1,5,6}，{2,3,7}，{4,8}； 1.B【解析】命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5, 组合三：{1,2,3,6}，{4,8}，{5,7}. 7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a,数 共3种不同的分法. 据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数”. 8.D【解析】对于A,因为x十ay十2a=0表示过定 2.C【解析】设集合A表示语文成绩在90分以上的 点(0，一2)且斜率不为0的直线， 学生，则A中有45个元素，集合B表示数学成绩在 所以集合A表示直线x十ay十2a=0上所有的 90分以上的学生，则B中有48个元素，A∩B表示 点，所以A≠⑦，故A错误； 两科成绩均在90分以上的学生，则集合A∩B中有 对于B,当a=-1时，A={(xy)x一y-2=0}, 40个元素，AUB表示至少有一科成绩在90分以 B={(x,y)|-x-y-1=0}, 上的学生，由题意可知AUB中有45+48一40= 1 53个元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在 -y-2=0,得 =2' 由 -x-y-1=0, 90分以上，所以高二1班共有53人. 、3 2 3.D【解析】由集合A={12,a2+4a,a-2),且-3 ∈A,可得a2十4a=-3或a-2=-3,解得a= 所以AnB=《合，-)》，藏B蜡送： -1或a=-3.当a=-1时，A={12,-3,-3}, 对于C,当a=0时，B=☑，满足A∩B=☑； 不符合元素的互异性，舍去；当a=一3时，A= 当B≠☑，即a≠0时，直线x十ay十2a=0与ax {12,-3,-5},符合题意，综上，a=-3. +ay-1=0平行， 4D【熊折】动装衣A=女5<=0< 所以a-a2, 解得a=1. -1≠2a2, <5},CuB={x|x≤2}，则阴影部分为A∩CuB 综上所述，当A∩B=☑时，a=0或a=l,故C ={x0<x≤2}. 错误； 5A【阳】不等式0的部华爷价于不等式 对于D,若A=B,则a≠0且直线x十ay十2a=0 与ax十ay-1=0重合， 组/-3)+1)≤ x+1≠0 0的解条，即z≠-1， 1-1x3, a=a2, 所以 -1=2a2, 方程组无解， 得-1<x≤3，即M={x|-1<x≤3}， 所以A≠B,故D正确. Q={x∈N-2≤x≤2}={0,1,2}， 二、选择题 则M∩Q={0,1,2). 9.AB【解析】对于A,当x∈A时，有x∈AUB; 6.A【解析】ab+1≠a十b台(a-1)(b-1)≠0台a 反之，当x∈AUB时，不一定有x∈A,故“x∈ ≠1且b≠1，即a,b都不为1. A”是“x∈AUB”的充分不必要条件，故A正确； 7.D【解析】集合M中元素的总和为1+2+3+4 对于B,当x∈A时，不一定有x∈A∩B,因为有 +5+6+7十8=36，故每个子集的和应为36÷3= 可能x∈A,但xB;反之，当x∈A∩B时，必有 12,列举所有和为12且满足“三分划”条件的子集 x∈A,故“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条 组合.组合一：{1,3,8}，{2,4,6}，{5,7}； 件，故B正确； 。1。 B 2027 单元过关 对于C,因为a>b羚a>|b台a2>b2,所以不 13.(-∞，3]【解析】由题意得“Hx∈(1，十∞)， 是充分条件，故C错误； 2x一m十1≠0”是真命题，故m≠2x十1，因为2x 对于D,a>bac2>bc2,依据为c2可能为0，故D 十1∈(3，十∞)，所以m的取值范围是(-∞，3]. 错误。 14.必要不充分【解析】根据新定义可知，若a⊙b 10.ABD【解析】对于A,当Q=6=2时，A =0,则a⊙b-x1x2十x1y1y2+x1x号十y1x2y2 =(x1+x2)(x1x2十y1y2)=0,则x1十x2=0或 2B-1,2，此时AnB-2 x1x2十y1y2=0.当a⊥b时，a·b=x1x2十 y1y2=0,所以由“a⊥b”可以推导出“a⊙b=0”, A正确； 但是由“a⊙b=0”不可以推导出“a⊥b”.所以“a 对于B,令a=2,b=3,则A={2,3,6},B= ⊙b=0”是“a⊥b”的必要不充分条件. 行l,2此时AUB=行1,23，女B正确： 四、解答题 15.解：当x∈R时，(x-2)2-1≥-1，当且仅当x 对于C,令a=6,b=3,则A={2,3,18),B =2时取等号， 因为命题力是真命题，所以a<-1. (4分) 行1,6，故AnB=⑦，包此时号-2，放C错送； 命题g的否定：Hx∈R,x2-4x-a≠0，(7分) 对于D,当a=0时A=0,26,B=0.1}林 因为命题q的否定是真命题， 所以△=16十4a<0,解得a<一4. (11分) 据集合元素的互异性，必有b≠1，若A=B,则两集 综上，a的取值范围是(-∞，一4). (13分) 合除0外的元素心应和同，即2,6}-h,这秀 16.解：(1)已知集合P={x|-2<x<3}, 且Q={x|3a<x≤a+1}. 要满足2=1且6=}”（不成立）减2-名且6=1” P∩Q=☑，可分为Q=⑦和Q≠☑两种情况进 行讨论： (不成立)，故假设A=B不成立，因此A≠B,故D 当Q=☑时，可得3a≥a十1， 正确。 解得a≥2，此时满足PnQ=☑， (2分) 11.ABC【解析】对于A,由X={-1,1},Y= {0,b},可得△(X)=2,△(Y)=b,因为△(X)= 当Q≠☑时，因为P∩Q=☑， △(Y),所以b=2,即b=士2，故A错误； 3a<a+1,3a<a+1, 则满足 或 解得a≤一3. 对于B,例如f(x)=|x|,g(x)=1,满足△(X)=2, a+1≤-2l3a≥3， 但是f(x)并不都大于等于g(x),故B错误； (6分) 对于C,由X=[a,a十2]，Y={yy-x2,x∈X},当 综上可得，实数a的取值范围为（一∞，一3]U a+2≤0，即a≤-2时，△(Y)=a2-(a+2)2= 「1 +∞ (7分) -4a-4≥4；当-2<a≤-1时，△(Y)=a2≥1； (2)PUQ=P,可分为Q=☑和Q≠⑦两种情况 当-1<a<0时，△(Y)=(a+2)2>1;当a≥0 进行讨论： 时，△(Y)=(a+2)2-a2=4a+4≥4，所以不存 在实数a,使得△(Y)<1,故C错误； 当Q=⑦时，可得30≥a十1，解得a≥7此时满 对于D,由X=[a,a+2],Y=[b,b+3],取b= 足PUQ=P; (10分) a,可得△(XUY)=△([a,a十3])=3，对任意实 f3a<a+1, 数a,总存在b使之成立，故D正确. 当Q≠☑时，因为PUQ=P,则满足a+1<3, 三、填空题 3a≥-2， 12.15【解析】因为{0,1,2}二M{0,1,2,3,4,5, 2 解得-3≤a<2 (14分) 6},所以M中含有元素0,1,2，故符合条件的集 合M的个数等价于集合{3,4,5,6}的真子集的 综上，实数口的取值范国为[号十∞小 个数，即24-1=15个. (15分) B ·2· ·数学· 参考答案及解析 17.解：(1)选①，当m=0时， 当n=11时，不存在A二S,A=5, B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0}={x|0<x<1, 使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11 又因为A=女>1=-1x<3 时，结论成立； (15分) 当n=10时，若A={1,3,6,9,10},则不存在T, 所以AB={x|1≤x<3或-1<x≤0).(6分) 所以n的最小值为11. (17分) 选②，当m=0时， 19.(1)解：因为A={1,3,5},B={2,4},所以A+B B={xl(x-2m)(x-m2-1)<0}={xl0<x<1}, =3,5,7,9}, 又因为A={xx2-2x-3<0)={x|-1<x<3), 所以D(A+B)={2},D(A)={2},D(B)={2, 所以CAB={x|1≤x<3或-1<x≤0}.(6分) 所以|D(A+B)=1,D(A)UD(B)|=1. 选③，当m=0时， (4分) B={xl(x-2m)(x-m2-1)<0}={xl0<x<1), (2)解：考虑2十4=2十4(*)，不妨设j<t, 又因为A={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}, 则i>s, 所以CAB={x1≤x<3或-1<x≤0).(6分) ①当t≥51时，4-(4+2)≥4-4-1-2= (2)若g是p的充分不必要条件，则BA, 3·4-1一2≥3×450-2100>0，此时（￥）式不成立： (8分) (6分) 当m≠1时，B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0}》 ②当t≤50时，若i>2t,则2-(2+4)≥2- ={x|2m<x<m2+1}, 2-1-4'=2-1-4≥22-22“=0，此时（￥）式不 2m>-1,s/2m≥-1， 所以 或 (11分) 成立； m2+1≤3m2+1<3, 若i<2t,则4-(4+2)≥3·4-1-2≥3· 解得-名<m<包， (13分) 203-2=号·201-21>0，此时()式 又m≠1， 也不成立； 所以m的取值范围为一2≤m<1或1< 若i=2t,则取s=2j,此时(*)式成立. m<2: (15分) 由上述分析可知，和集中重复的元素共有50X49 2 18.解：(1)若A1∩A2=☑， 1225个， 则t1一t2≠a一b,其中a,b∈A, 所以A+B|=100×100-1225=8775.(9分) 否则t1十b=t2十a,A1∩A2≠☑， (2分) (3)证明：充分性的证明： 又n=5,A={1,2,5},2-1=1, 当|D(A)UD(B)|=1时，不妨设D(A)= 5-2=3,5-1=4,则t1,t2相差2， (4分) D(B)={d}, 所以T=1,3}或T={2,4}或T={3,5}. 设集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bm},其 (6分) 中a1<a2<…<am,b1<b2<…<bm,且{an}, (2)不一定存在。 (7分) {bn}(n=1,2,…m)均是公差为d的等差数列， 当A={1,2,5,7}时，2-1=1,5-1=4,5-2= 则A+B={a1+b1,a1+b1+d,…,a1+b1+ 3,7-1=6,7-2=5,7-5=2, 2(m-1)d},A+B里面的元素也是公差为d的 则t1,t2相差不可能为1,2,3,4,5,6， (9分) 等差数列，所以A+B=2m-1. (12分) 这与T={t1,t2}二{1,2,3,4,5,6,7}矛盾， 必要性的证明： 故不一定存在T. (10分) 设集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bm）,其 (3)因为C?=10,故集合A中元素的差的绝对值 中a1<a2<<am,b1<b2<…<bm, 至多有10种， (11分) 则a1+b1<a2十b1<…<am十b1<am十b2< 当n≥12时，结论都成立； (13分) <am十bm,这里共2m一1个不同元素， ·3 B 2027 单元过关 又A+B|=2m-1,所以上面为和集A+B中 a1+b1<a1+b2<…<a1+bk<a1+bk+1<a2+ 的所有元素， (14分) b+1<…<am十bk+1<…<am十bm, 又a1+b1<a1+b2<…<a1+bm<a2+bm<… 可得a2十b。=a1十b+1,即a2一a1=bs+1一bs <am十bm,这里共2m一-1个不同元素，也为和集 (1≤k≤m-1),同理可得b2-b1=ak+1一a A十B中的所有元素， (1≤k≤m-1),得证. 所以a2十b1=a1十b2,即a?-a1=b2-b1, 一般地，由a1十b1<a1十b2<…<a1十bk<a2十 综上，|A+B|=2m-1的充要条件是|D(A)U bk<<am十bs<am十bk+1<<am十bm, D(B)1=1. (17分) 2026一2027学年度单元过关（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 @十b,a十也都是正数，所以、 a2+b2 1.D【解析】当c=0时，ac2=bc2,故A错误，由a 而2,2 <h<0,不妨取a=-2,b=-1,此时=-号>1 a+b、 a 2>a6>6. -1=66=2>1=6公，故B,C错溪：因为4<6 6.D【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵 坐标为正数的，点有x个，第二象限的，点即横坐标为 <0,所以a-b<0,a十b<0,a2-b2=(a-b)(a 负数且纵坐标为正数的点有y个，第三象限的点即横 十b)>0,即a2>b2,故D正确. 坐标为负数且纵坐标为负数的，点有之个，第四象限的 2.D【解析】4a-2b=3(a-b)+(a十b),因为1< 点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有心个，因 a-b≤2，所以3<3(a-b)≤6，又2≤a+b<4, 为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标 所以5<3(a-b)+(a十b)<10,即4a-2b的取 为正数的点比纵坐标为负数的，点少，所以x十> 值范围是(5,10). y十z①，之十w>x十y②，由①+②，可得>y, 3.C【解析】由题意可知，不等式二2正 2xx-2 ≤0可 即第二象限，点比第四象限点少， 7.A【解析】由题意得，一元二次方程ax2-6x十a 化为2x·x+2(x-2)≤0，即x2+x-2≤0，解得 十2=0的两根分别为1,2，由根与系数的关系可 一2≤x≤1，所以不等式的解集为{x|一2≤x≤1}. 4.C【解析】设十位数字为a,个位数字为b,由题 得，=1十2=3，解得a=2,则不等式(m2-5m 60<10a+b<70, -6)x2+(m+1)x+a>0,即(m2-5m-6)x2+ b-a=2, 3 2 意知 解得51<a<6 (m+1)x十2>0对任意的x∈R恒成立，等价于 0<a9, |m2-5m-6=0, 0≤b≤9， m+1=0 又a∈N,所以a=6,b=8,所以所求的两位数为 |m2-5m-6>0, 68,两位数字之和为14. 或 解得m (m+1)2-4×2(m2-5m-6)<0, 5.D【解析】由题意a>b>0,所以b=√b< 一1或m>7.所以实数m的取值范围为（一∞，一1] V而，由基未不等式可得士≥而，同时注毫到 U(7,+∞). 8.B【解析】不妨设a>1,原不等式等价于 a≠b所以b≥Vab·又因为2名） 2 x-1+2(z-a)-kx-a)(x-1D>0,整理得 (x-a)(x-1) a+b)°-a2+6_a2+2ab+6-a-b)' 2 2 4 >0, kx'-(a+b+3)x+(2a+1+a）<0,因为k>0, 4 (x-a)(x-1) B 42026一2027学年度单元过关（一） 数学·集合与常用逻辑用语 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 1.命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是偶数”的否定为 ( A.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 C.存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 D.不存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 2.某校高二1班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100 分.考试成绩非常优秀，每名同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文成绩在 90分以上的有45人，数学成绩在90分以上的有48人，这两科成绩均在90分以上 的有40人，则高二1班共有 () A.45人 B.48人 C.53人 D.43人 3.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a= ( A.-1 B.-3或-1 C.3 D.-3 4.巴知全架U=K,集合A=二5<0，B=女x>2,则图中阴影部分表示的架 合为 单元过关（一）数学第1页（共8页） 用心学习，用爱生活，为未来辅路 A.{x2<x<5} 班级 B.{x2≤x<5} 姓名 C.{x0<x<2) D.{x0<x≤2} 得分 5.已知集合M= |+0,Q=zN-2≤x≤2，则Mna= A.{0,1,2} B.[0,2] C.(-2,2] D.{1,2} 6.已知a,b∈R,则“ab十1≠a十b”的充要条件是 A.a,b都不为1 B.a,b不都为1 C.a,b不都为0 D.a2+b2=2 7.设集合M={a1,a2,…,am}(n≥3，n∈N*),若集合A,B,C满足AUBUC=M,A∩B =B∩C=A∩C=☑，则称(A,B,C)为集合M的一个“三分划”（不考虑A,B,C的顺 序，即(A,B,C)与(B,A,C)视作同一种情况).对于集合M={1,2,3,4,5,6,7,8},在M 的所有“三分划”(A,B,C)中，满足集合A,B,C中元素之和相等的“三分划”的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知集合A={(x,y)x十ay+2a=0},B={(x,y)ax十ay-1=0},则 () A.]a∈R,使得A=⑦ B.当a=-1时，A∩B=（ -》 C.当A∩B=⑦时，a=1 D.对Ha∈R,都有A≠B 单元过关（一）数学第2页（共8页） B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.下列判断正确的是 () A.“x∈A”是“x∈AUB”的充分不必要条件 B.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件 10.已知架合A-26ab1,B-{1a,则 () A.当a=b=2时，集合A∩B含有2个元素 B.集合AUB中的元素个数可能为5 C.当AnB=⑦时，分≠2 D.当a=0时，A≠B 11.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则定义△(X)=M一m.据此，下列 命题中错误的是 () A.若X={-1,1},Y={0,b},且△(X)=△Y),则b=2 B.若X={x|f(x)≥g(x),x∈[-1,1]}，且△(X)=2,则对任意x∈[-1,1]，都有 f(x)≥g(x) C.若X=[a,a+2],Y={yy=x2,x∈X},则存在实数a,使得△(Y)<1 D.若X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XUY)=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若{0,1,2}二M{0,1,2,3,4,5,6},则符合条件的集合M的个数为 13.已知命题“3x∈(1，+∞)，2x一m+1=0”是假命题，则m的取值范围是 B 单元过关（一）数学第3页（共8页） 14.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)都是非零向量，定义新运算a⊙b=xx2十x1y1y2 十x1x?十y1x2y2,则“a⊙b=0”是“a⊥b”的 条件（填：充分不必要，必要不 充分，充要，既不充分也不必要). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知命题p:Hx∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q:3x∈R,x2-4x- a=0.若命题p是真命题，且命题g的否定是真命题，求a的取值范围. 单元过关（一）数学第4页（共8页） 16.(15分)设集合P={x|-2<x<3},Q={x|3a<x≤a+1}. (1)若P∩Q=☑，求实数a的取值范围； (2)若PUQ=P,求实数a的取值范围. 单元过关（一）数学第5页（共8页） 1.15分)在DA-z>l@A=22x3<0:@A=ax<2这三 个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 设集合，集合B={x(x-2m)(x-m2-1)<0,m≠1}. (1)当m=0时.求CAB; (2)设p:x∈A;q:x∈B,若q是p的充分不必要条件，求m的取值范围. 单元过关（一）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知S={1,2,…,n},A二S,T={t1,t2}二S,记A:={xx=a十t:,a∈A}(i=1,2), 用X表示有限集合X的元素个数 (1)若n=5,A={1,2,5},A1∩A2=⑦，求T. (2)若n=7,A=4,则对于任意的A,是否都存在T,使得A1∩A2=⑦？请说明 理由. (3)若A=5,对于任意的A,都存在T,使得A1∩A2=⑦，求n的最小值. B 单元过关（一）数学第7页（共8页） 19.(17分)用符号|A表示集合A中元素的个数.对于实数集合A和B,且A≥2， B≥2，定义两个集合：①和集A+B={a十ba∈A,b∈B};②邻差集D(A)= {ak+1一ak=1,2,…,A一1}，其中a1,a2,…,a1A1为集合A中的元素按照从小到 大排列. (1)已知集合A=1,3,5},B={2,4},求D(A+B),D(A)UD(B)的值. (2)已知集合A={2mn=1,2,…,100},B={4"n=1,2,…,100},求A十B的值. (3)若A与B都是由m(m≥3，m∈N*)个实数构成的集合，证明：A+B=2m-1的 充要条件是D(A)UD(B)=1. 单元过关（一）数学第8页（共8页）