导函数微专题4 - 6距离与隐零点专项训练-2027届高三数学一轮复习

导函数微专题系列4-6 导函数微专题4 数形结合 导函数微专题5 函数中的距离问题 导函数微专题6 隐零点 导函数微专题4 数形结合 数形结合是函数非常重要的思想方法，把代数表达式翻译成几何图形含义，将代数最值、范围问题转化为图像上距离、斜率、截距等几何量求解。本专题题型涵盖：函数最值、分式几何意义、圆与动点、函数零点个数等小题。 学习要点：读懂代数式背后几何模型；区分代数法与几何法各自优劣；几何方法多用于选择填空题提速，解答题一般仍需要代数推导。部分零点问题需要画出函数草图，结合单调性、极值分析交点数量。 解题小口诀：见式想图形，几何助解题；小题可速算，大题要推导。 例1、的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为， 则 ． 故选：C 例2、已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故. 例3、设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 例4、已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 练习： 1．已知实数满足：，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】方法一、设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 方法二： 2．已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意得，半径为， 由垂径定理得⊥，则，解得， 故点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 故点的轨迹方程为 可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 设线段的中点为， 故可看作点到直线的距离， 点的轨迹方程为， 故点到直线的距离最大值为圆心到的距离加上半径， 即，故， 所以，故最大值为， 故答案为： 3．已知函数（为常数），函数． (1)若函数有两个零点，求实数的取值的范围； (2)当，设函数，若在上有零点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，再根据函数有2个零点建立不等式求解即可. （2）由在上有零点可得方程，据此可看作在直线上，可转化为点到原点距离的平方的最小值，利用导数求最小值即可. 【解析】（1），， ①时，，则在上单调递增，至多有一个零点． ②时，令得，则在上单调递增； 令得，则在上单调递减； 若有2个零点，则需满足，则， 又，且， 令，则， 令，得，故在上单调递增； 令，得，故在上单调递减； ∴，则，即， 则． 故在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意， 所以为所求． （2）设函数在上的零点为，则， 所以在直线上， 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 所以， 又，∴，令，则， ，∴在上单调递减， ，即， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中关键在于利用函数在上的零点为，得到方程后转化为点在直线上，再利用的几何意义求解. 导函数微专题5 函数中的距离问题 函数距离问题是数形结合思想的一类专项题型。 主要模型：①两点分别在两条已知曲线上，求两点间距离的最值； ②定点到曲线上动点距离的最值； ③两条曲线在相同横坐标处纵向距离 | y₁y₂| 的最值。 常用解法：几何直观 + 导数求最值。 两点距离最小经常转化为：两点连线与两条曲线各自切线同时平行；定点到曲线距离，设出动点写出距离表达式，平方之后求导简化运算；纵向距离问题构造 h (x)=f (x)-g (x)，转化为新函数的最值。 小题可以直接用上述模型，大题需要严谨写求导过程。 解题小口诀：点点求距离，平方再求导；同纵看差值，构造新函数。 例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　． 【解析】∵， 函数可看作动点与动点之间距离的平方， 动点在的图像上，在的图像上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由，得，则， 故曲线上的点，到直线距离的最小值是， 则，根据题意若存在，使得， 则，此时恰为垂足， 由，故，解得：， 故答案为：． 例2．若实数，，，满足，则的最小值为　　． 【解析】实数，，，满足， ，． 分别设，． 设直线与曲线相切于点，． 则，，解得，． ． 点到直线的距离． 则的最小值为． 故答案为：． 练习： 1．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是　　． 【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则， 根据题意，要使，则，此时恰好为垂足， 由可得 ，实数的值是5 故答案为：5 2．已知函数的最小值是，则的值是 【解析】函数 ， 可得表示两点，的距离的平方， 即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为， 设直线与函数的图象相切， 设切点为，可得，解得， 即有切点为， 则， 解得， 则的值为0.3． 3. 已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】， ， 又对任意的正实数，在上都是增函数， 在上恒成立， 即在上恒成立， 的几何意义为动点到直线，即上点的距离的平方， 其最小值为． 令，， 当时，，当时，， （1），则的最小值为． 实数的取值范围是． 故选：． 4．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　 A． 2 B． C． 2 D． 【解析】，该函数的定义域为，值域为，， 函数与互为反函数， 其图象关于直线对称， 两曲线上点之间的最小距离就是与上点的最小距离的2倍． 设上点，处的切线与直线平行， 则， ，， 点，到的距离为， 则的最小值为． 故选：． 5．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称； 又，由直线的斜率，得，， 所以曲线上斜率为1的切线方程为， 则原点到切线的距离为， 的最小值为． 故选：． 例3．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为　　 A． B． C． D． 【解析】设点坐标为，，其中， ，过点的切线斜率为， 当直线与过点的切线垂直时，点与点间的距离最小，此时，， 点与点间的距离最小值， 即，解得：，又，， ， 故选：． 练习： 6．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】由圆的对称性可得只需考虑圆心， 到函数图象上一点的距离的最小值． 设图象上一点， 由的导数为， 即有切线的斜率为， 可得， 即有， 由，可得， 当时，，递增． 又（e）， 可得处点到点的距离最小，且为， 则线段的长度的最小值为，即． 故选：． 7．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【解析】由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值． 设图象上一点， 由的导数为， 即有切线的斜率为， 可得， 即有， 由，可得，递增． 又， 可得处点到点的距离最小，且为， 则线段的长度的最小值为， 故选：． 例4．设，，当，变化时的最小值为　　． 【解析】设，则表示函数上一点与函数上一点之间的距离， 又函数表示焦点为，准线为的抛物线，由抛物线的定义可得， ，的几何意义即为， 作出示意图如下， 由图观察可知，当点运动至点，且垂直于过点的函数的切线，点为线段与函数的交点时，最小， 设，，，则，解得，即， 的最小值为． 故答案为：． 练习8．设．，则的最小值为　　 A． B．1 C． D．2 【解析】，其几何意义为： 两点．，的距离的平方， 由的导数为， 点在曲线上， ，， 令，， 则， 而是抛物线上的点到准线的距离， 即抛物线上的点到焦点的距离， 则可以看作抛物线上的点，到焦点距离和到上的点的距离的和， 即， 由两点之间线段最短，得的最小值是点到上的点的距离的最小值， 由点到直线上垂线段最短，这样就最小， 即取，， 则，垂直， 则，解得， 到的距离就是点到上的点的距离的最小值， 的最小值为． 故选：． 例5．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则　　． 【解析】设，，，，可设， 则， ， ， 令， 则， 由的最小值为2， 可得， 函数在上单调递减，在，上单调递增， 时，函数取得极小值，且为最小值2， 即有， 解得， 由， 则， 可得． 故答案为：2． 例6．直线分别与直线，曲线交于、两点，则最小值为　　． 【解析】令， 则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，即时，取得最小值（1）， 的最小值为4． 故答案为：4． 练习： 9．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则　　． 【解析】设，，，，， 则， 则， 则， 设，， 则， 的最小值为3， 的根为，且函数在，上递增，则上递减， 则函数的最小值为 即即，则得，， 此时，则， 即， 故答案为：1 10．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】直线直线与函数，的图象分别交于，两点， ，，，其中，且， ，设函数（a）， （a），， 令（a），解得， 当（a），即时，函数在，单调递增， 当（a），即时，函数在单调递减， 故时，函数有最小值，最小值为， 故线段的长度的最小值为． 故选：． 11．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为　　 A．3 B．2 C． D． 【解析】令， 则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，即时，取得最小值（1）， 的最小值为3． 故选：． 导函数微专题6 隐零点 隐零点是导数解答题的核心难点。 特征：导函数 f'(x)=0 存在零点 x₀，但是这个零点无法精确求解出来，只能确定零点所在区间。 核心处理手段：隐零点代换，利用 f'(x₀)=0 建立等式，把指数、对数项消去，实现对原函数 f (x₀) 化简，进而求出最值或者证明不等式。 常见考向：恒成立求参数范围、求整数参数最大值、极值范围证明、零点个数判断。 注意：书写格式上，必须说明零点存在性（零点存在定理），不能直接设零点而不说明存在；隐零点本身不能解出，只能做整体代换。 解题小口诀：导有零点求不出，零点定理证存在；等式代换消超越，整体化简求最值。 例1．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【解析】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 【点睛】（2）利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 例2 已知函数f(x)＝＋，若f(x)>在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 【解析】由于f(x)>⇔(x＋1)f(x)＝>k. 令h(x)＝＋， 则由题意得，k<h(x)min，其中x>0. h′(x)＝. 令g(x)＝－ln(x＋1)＋x－1， 其中x>0. 由于g′(x)＝－＋1＝>0， 故g(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，又由于g(0)＝－1<0， g(1)＝－ln 2<0，g(2)＝－ln 3＋1<0，g(3)＝－ln 4＋2>0， 故g(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，设为x0，并且x0∈(2，3). 由此当x∈(0，x0)时，g(x)<0，h′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，h′(x)>0. 故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，从而h(x)的最小值为h(x0). 考虑到x0∈(2，3)为g(x)的零点， 故ln(x0＋1)＝x0－1 故h(x)min＝h(x0)＝＝ ＝＝x0＋1∈(3，4).又k<h(x)min＝x0＋1， 故满足条件的整数k的最大值为3. 练习： 1．已知函数，当且时, 不等式在上恒成立, 求的最大值. 【解析】依题分离参数得: , 令 , 则 , 令 . 则 在 上递增, , 存在 , 使 . 即 , 当 时,单调递减； 当单调递增. 所以： 又且，所以的最大值为3. 2．已知函数对任意的 恒成立, 其中实数 , 求的取值范围. 【解析】由已知得 由 得 在 上递增, 又 , 而 , 所以 存在 , 使得 得 . 当 时, 递减; 当 时, 递增: 故 得 , 又因为 在 上递增, 且 , , 由 得 . 3．已知函数， 且. (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令且，讨论、研究单调性，求其最小值，结合恒成立，利用导数研究恒成立求参数即可； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【解析】（1）由恒成立， 令且， ①当时，（舍）； ②当时， ， 在上，递减，在上，递增， 令，， 在上，递增，在上，递减， 所以，则. （2）由（1）知：，所以，则， 令，则， 在上，则递减，在上，则递增， ，， 有两个根，图象如下，      ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴存在唯一极大值为，又， 所以， 令，在上，故单调递增. ，故，且为极大值， 所以， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围. 4. 若x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】∵x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，且x＞0， ∴k≥－ex＋2恒成立， 令φ(x)＝－ex＋2， 则φ′(x)＝－ex＝. 令μ(x)＝－ln x－x2ex， 则μ′(x)＝－－(2xex＋x2ex)＝－－xex(2＋x)＜0(x＞0)， ∴μ(x)在(0，＋∞)上单调递减. 又μ＝1－e－2＞0，μ(1)＝－e＜0， 由函数零点存在定理知，存在唯一零点x0∈，使μ(x0)＝0， 即－ln x0＝xex0， 两边取对数可得ln(－ln x0)＝2ln x0＋x0， 即ln(－ln x0)＋(－ln x0)＝x0＋ln x0， 由函数y＝x＋ln x为增函数， 可得x0＝－ln x0. 又当0＜x＜x0时，μ(x)＞0，φ′(x)＞0； 当x＞x0时，μ(x)＜0，φ′(x)＜0， ∴φ(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)≤φ(x0)＝－ex0＋2＝－＋2＝1， ∴k≥φ(x0)＝1， 即k的取值范围为k≥1. 5. 已知f(x)＝(x－1)2ex－x3＋ax(x>0)(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋ln x－x2零点的个数，并说明理由． 【解析】(1)由题知，f′(x)＝(x2－1)ex－a(x2－1) ＝(x－1)(x＋1)(ex－a)． 若a≤1，当0<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0， ∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增； 若1<a<e，即0<ln a<1， 当0<x<ln a或x>1时，f′(x)>0； 当ln a<x<1时，f′(x)<0； ∴f(x)在区间(0，ln a)上单调递增，在区间(ln a,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增； 若a＝e，f′(x)≥0， ∴f(x)在定义域上是增函数； 若a>e，即ln a>1， 当0<x<1或x>ln a时，f′(x)>0； 当1<x<ln a时，f′(x)<0； ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增． (2)当a＝0时，g(x)＝ln x－x2＋(x－1)2ex，定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝－x＋(x2－1)ex ＝(x＋1)(x－1)， 设h(x)＝ex－(x>0)， ∴h′(x)＝ex＋>0， ∴h(x)在定义域上是增函数， ∵h＝－2<0，h(1)＝e－1>0， ∴存在唯一x0∈，使h(x0)＝0， 即－＝0，＝，－x0＝ln x0， 当0<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)>0； 当x0<x<1时，h(x)>0，即g′(x)<0； 当x>1时，h(x)>0，即g′(x)>0， ∴g(x)在区间(0，x0)上单调递增，在区间(x0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝x0时，g(x)取极大值g(x0)＝ln x0－x＋(x0－1)2＝－x＋－2， 设F(x)＝－x2＋－2，易知F(x)在区间上单调递减． ∴g(x0)<g＝－<0， ∴g(x)在(0,1)内无零点， ∵g(1)＝－<0，g(2)＝e2－2＋ln 2>0， ∴g(x)在(1，＋∞)内有且只有一个零点， 综上所述，g(x)有且只有一个零点． 6.已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，g(x)＝x(ex－x)． (1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切，求实数a的值； (2)当a＝－1时，求证：f(x)≤g(x)＋x2. 【解析】(1)　设切点坐标为(x0，f(x0))， 由f′(x)＝－a，得f′(x0)＝－a， 所以切线方程为y－(ln x0－ax0＋1)＝(x－x0)，即y＝x＋ln x0. 因为直线y＝2x与函数f(x)的图象相切， 所以解得a＝－1. (2)证明　当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋1， 令F(x)＝g(x)－f(x)＋x2 ＝xex－ln x－x－1(x>0)， 则F′(x)＝(x＋1)ex－－1＝， 令G(x)＝xex－1(x>0)，则G′(x)＝(x＋1)ex>0， 所以函数G(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 又G(0)＝－1<0，G(1)＝e－1>0， 所以函数G(x)存在唯一的零点x0∈(0,1)， 且当x∈(0，x0)时，G(x)<0，F′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，G(x)>0，F′(x)>0. 所以函数F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 故F(x)min＝F(x0)＝x0－ln x0－x0－1， 由G(x0)＝0得x0－1＝0， 两边取对数得ln x0＋x0＝0，故F(x0)＝0， 所以g(x)－f(x)＋x2≥0，即f(x)≤g(x)＋x2. 7.已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积； (2)证明：当a>1时，f(x)没有零点． 【解析】(1)　当a＝e时，f(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－1， f(0)＝e－1.f′(x)＝ex＋1－，f′(0)＝e－1， 故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)x，即y＝(e－1)x＋e－1. 因为该切线在x，y轴上的截距分别为－1和e－1， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝×|－1|×(e－1)＝. (2)证明　当a>1时， 因为f(x)＝aex－ln(x＋1)－1， 所以f′(x)＝aex－＝(x>－1)， 令g(x)＝aex(x＋1)－1(x>－1)， 则g′(x)＝aex(x＋2)， 因为a>1，x>－1，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 又g(－1)＝－1<0，g(0)＝a－1>0， 故g(x)在(－1,0)上有唯一的零点β，即g(β)＝0， 因此有aeβ(β＋1)＝1. 当x∈(－1，β)时，g(x)<0，即f′(x)<0； 当x∈(β，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0. 所以f(x)在(－1，β)上单调递减，在(β，＋∞)上单调递增，故f(β)为最小值． 由aeβ(β＋1)＝1，得－ln(β＋1)＝ln a＋β， 所以当－1<β<0时， f(β)＝aeβ－ln(β＋1)－1＝＋β－1＋ln a ＝ln a＋， 因为a>1，所以ln a>0， 又因为－1<β<0，所以>0，所以f(β)>0. 所以f(x)≥f(β)>0. 因此当a>1时，f(x)没有零点． 规律方法　已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关． 8. 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出的定义域和导函数，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）由（1）可知当时，才有两个不相等的实根，即可得到，根据函数的单调性与零点存在性定理可得在上有唯一零点，即可得到，从而得到，则要证，即证，再根据（1）的结论即可得证； 【解析】（1）解：的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）解：由（1）可知： ①当时，在上单调递增. 所以至多有一个实根，不符合题意. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 若，则， 所以至多有一个实根，不符合题意 若，即，得. 又，且在上单调递减， 所以在上有唯一零点. 因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为， 所以在上的唯一零点就是. 所以. 所以. 所以“”等价于“”，即. 由（1）可知当时，的最小值为. 又因为，所以. 所以. 9. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求，根据导数的几何意义求解斜率，求得切点坐标后，再根据直线方程求解方法即可得切线方程； （2）构造函数，确定函数的单调性，得函数的最值，根据函数的图像与的图像最多有一个公共点，列不等式求解实数的取值范围即可. 【解析】（1）解：依题，，又 则在点处的切线方程为：， 即. （2）解：令， 则 设，则，又，所以恒成立，即函数在上单调递增， 又时，；时，； 则存在唯一的正实数使得，则，则， 故当）时，，）时，， 所以==. 又，则，所以=， 若函数的图像与的图像最多有一个公共点，则， 即，于是有，且，所以， 当且仅当的时，等号成立，故，所以 解得. 【点睛】本题考查了函数切线方程、函数方程的根与导数的综合应用，属于难题.解决本题函数方程的根的问题的关键是构造差函数确定函数单调性，但是由于导函数的零点无法直接求解，故涉及“隐零点”问题的应用，从而设隐零点使得，从而确定函数的单调性得最值=，于是可得参数不等式，求得结果. 学科网（北京）股份有限公司 $ 导函数微专题系列4-6 导函数微专题4 数形结合 导函数微专题5 函数中的距离问题 导函数微专题6 隐零点 导函数微专题4 数形结合 数形结合是函数非常重要的思想方法，把代数表达式翻译成几何图形含义，将代数最值、范围问题转化为图像上距离、斜率、截距等几何量求解。本专题题型涵盖：函数最值、分式几何意义、圆与动点、函数零点个数等小题。 学习要点：读懂代数式背后几何模型；区分代数法与几何法各自优劣；几何方法多用于选择填空题提速，解答题一般仍需要代数推导。部分零点问题需要画出函数草图，结合单调性、极值分析交点数量。 解题小口诀：见式想图形，几何助解题；小题可速算，大题要推导。 例1、的最小值为(    ) A．5 B． C．6 D． 例2、已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 A． B． C． D． 例3、设，其中，则的最小值为( ) A． B． C． D． 例4、已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为(    ) A． B． C． D．5 练习： 1．已知实数满足：，则的最大值是 ． 2．已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为 . 3．已知函数(为常数)，函数． (1)若函数有两个零点，求实数的取值的范围； (2)当，设函数，若在上有零点，求的最小值． 导函数微专题5 函数中的距离问题 函数距离问题是数形结合思想的一类专项题型。 主要模型：①两点分别在两条已知曲线上，求两点间距离的最值； ②定点到曲线上动点距离的最值； ③两条曲线在相同横坐标处纵向距离 | y₁y₂| 的最值。 常用解法：几何直观 + 导数求最值。 两点距离最小经常转化为：两点连线与两条曲线各自切线同时平行；定点到曲线距离，设出动点写出距离表达式，平方之后求导简化运算；纵向距离问题构造 h (x)=f (x)-g (x)，转化为新函数的最值。 小题可以直接用上述模型，大题需要严谨写求导过程。 解题小口诀：点点求距离，平方再求导；同纵看差值，构造新函数。 例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　． 例2．若实数，，，满足，则的最小值为　　． 练习： 1．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是　　． 2．已知函数的最小值是，则的值是 3. 已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 4．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　 A． 2 B． C． 2 D． 5．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　 A． B． C． D． 例3．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为　　 A． B． C． D． 练习： 6．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为　　 A． B． C． D． 7．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为　　 A． B．1 C． D． 例4．设，，当，变化时的最小值为　　． 练习8．设．，则的最小值为　　 A． B．1 C． D．2 例5．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则　　． 例6．直线分别与直线，曲线交于、两点，则最小值为　　． 练习： 9．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则　　． 10．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 11．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为　　 A．3 B．2 C． D． 导函数微专题6 隐零点 隐零点是导数解答题的核心难点。 特征：导函数 f'(x)=0 存在零点 x₀，但是这个零点无法精确求解出来，只能确定零点所在区间。 核心处理手段：隐零点代换，利用 f'(x₀)=0 建立等式，把指数、对数项消去，实现对原函数 f (x₀) 化简，进而求出最值或者证明不等式。 常见考向：恒成立求参数范围、求整数参数最大值、极值范围证明、零点个数判断。 注意：书写格式上，必须说明零点存在性（零点存在定理），不能直接设零点而不说明存在；隐零点本身不能解出，只能做整体代换。 解题小口诀：导有零点求不出，零点定理证存在；等式代换消超越，整体化简求最值。 例1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围． 例2 已知函数f(x)＝＋，若f(x)>在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 练习： 1．已知函数，当且时, 不等式在上恒成立, 求的最大值. 2．已知函数对任意的 恒成立, 其中实数 , 求的取值范围. 3．已知函数， 且. (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 4. 若x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，求实数k的取值范围. 5. 已知f(x)＝(x－1)2ex－x3＋ax(x>0)(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋ln x－x2零点的个数，并说明理由． 6.已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，g(x)＝x(ex－x)． (1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切，求实数a的值； (2)当a＝－1时，求证：f(x)≤g(x)＋x2. 7.已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积； (2)证明：当a>1时，f(x)没有零点． 8. 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 9. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $