单元过关(八) 平面向量及其应用、复数-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（八） 数学·平面向量及其应用、复数 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 10i 1.在复平面内，3一对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA- sinB),则C= () A.6 B. 3 π c.3 π D.6 3.设向量a=(2,2-x),b=(1十x,1),则“a∥b”是“x=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a十√3b,则sina,c〉= 3 A 2 b.2 3 1 C. D.4 单元过关（八）数学第1页（共8页） 你未来的样子，藏在视在的学力里 5.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=e1一2e2,b=2e1十ke2.若a与b是共线向量，则实 班级 数k= A.2 B.4 姓名 C.-2 D.-4 得分 6.如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任意一点，若MB=3,MC=2,则MN· (MB-MC)= ( A号 号 7 C.2 7.向量OA与OB在i=(1,0)上的投影向量均为(4,0)，AB=4,则当∠AOB最大 时，OA·OB () A.23 B.6 C.12 D.16 8.密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼 此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌. 皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.在平面凹四 边形ABCD(图2)中，测得AD=1,AB=CD=2,BC=3,凹四边形ABCD的面积为 √3，则∠ADC-∠ABC的余弦值为 () A D 图1 图2 c号 √3 A.2 4 D.2 单元过关（八）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 答案 9.已知虚数之1，之2是方程之2+4之十8=0的两个不同的根，则 A.=z2 B.21十z2=4 C.z1z2=8 D.z7十z=32 10.已知点A(0,2),B(2,0),C(1,y),其中y∈R,则下列结论正确的是 A.若A,B,C三点共线，则y=1 B.若AB⊥AC,则y=3 C.若AB=AC,则y=2-7 D.当y=2时，A店与AC的夹角为买 11.已知△ABC不是直角三角形，若sinA+simB sin B sin A=4cosC,则 A.sin2A+sin2B=sin2C B.C的最大值为 1 1 C.sin Asin(C-B)=sin Bsin(A-C) 2 D.tan A tan B tan C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知2o25=a一bi(i为虚数单位，a,b∈R),则a十b= 13.在平行四边形ABCD中，E,F分别为CD和BC的中点，AC=入AE+AF,其中入，∈R,则 λ十以= 14.瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条 直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线.已知 在△ABC中，AB=6,AC=2,B=T,设△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,若 λOG=OA+OB+0心，则实数入= ,o= A 单元过关（八）数学第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知复数之=3+mi(m∈R),之1=(1+3i)之，且之1为纯虚数. (1)求复数之； (2)设之，之2在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求向量OA在向量OB 上的数量投影. 单元过关（八）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a. (1)求a+b|; (2)求a一b与a的夹角. 单元过关（八）数学第5页（共8页） 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C+√3 asin C-b一 c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√3，求b,c的值. 单元过关（八）数学第6页（共8页） A 18.(17分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(c,2b十a),q= (cosA,cosC),且p+q=p-q|,点D为边AB上一点. (1)求C的大小； (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度； (3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=tAD,求实数t的取值范围. 冈 单元过关（八）数学第7页（共8页） 19.(17分)对于一组向量a1,a2,a3,…,am(n∈N且n≥3)，令sm=a1十a2十a3十…十am, 如果存在ap(p∈1,2,3，…，n}),使得ap|≥sm一ap,那么称ap是该向量组的“长 向量”. (1)设am=(n,x十2n),n∈N且n>0,若a3是向量组a1,a2,a3的“长向量”，求实数x 的取值范围. nπ n (2)若am=(sin2,cos2 ,n∈N且n>0,向量组a1,a2,a3,…,a7是否存在“长向 量”？给出你的结论并说明理由. (3)已知a1,a2,a3均是向量组a1,a2,a3的“长向量”，其中a1=(sinx,cosx),a2= (2cosx,2sinx).设在平面直角坐标系中有一点列P1,P2,P3,…,Pn,满足P1为 坐标原点，P2为a3的位置向量的终点，且P2.+1与P2%关于点P1对称，P2k+2与 P2+1(k∈N且>0)关于点P2对称，求P1o15P1o16的最小值. 单元过关（八）数学第8页（共8页）2027 单元过关 (3)因为H∈N*,f(0)=0,所以若f(x)是常数 =sin 2xcos xsin3x+cos2xsin'x-sinx)+ 函数，则f(x)=0. (cosx sin'xcos'x sin 2xsin xcosx)- ①当k=1时，由(1)知，f(x)=1-cos2x不是 cos32x 常数函数； (11分) =3cos xsin'x -sin x+cos x-3sinxcos'x- ②当k=2时，f(x)=sin2x·sinx+cos2x· cos2x cosx一cos2x,此时f(）--1≠0，故f(x)不是 =(cos2x-sin2x)3-cos32x =c0s32x-c0s32x=0, 常数函数； (13分) 所以f(x)是常数函数； (15分) ③当k=3时，f(x)=sin3x·sin3x+cos3x· cosx-cos 2x ④当≥4时，/（）=-os-s2经<0， =(sin 2xcos xsinx+cos 2xsinx)+(cos 2xcosx 故f(x)不是常数函数， -sin 2xsin xcosx)-cos2x 综上，k=3. (17分) 2026一2027学年度单元过关（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 又因为D是△MBC的边BC上的中，点，所以M心= 10i10i(3+i) 1.B【解析】设z-3一3一D3十D=i(3+i) 号cMi+Md,所以Mi.ci=号cMi+Mc)· 一1十3i,则之在复平面内对应的，点为(-1,3)，位 -d-[r-d1-8 于第二象限. 2.B【解析】由正弦定理可得(a+c)(a-c)= 方法二：以D为原，点，DC,DA所在直线分别为 b(a-b),即a2+b2-c2=ab,故cosC= x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. a2+b2-c21 A 906bC=,周为C∈0，)，故C=5 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1十x,1),若 a∥b,则(2-x)(1十x)=2,解得x=0或x=1, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. D C 4.A【解析】由单位向量a,b,得a=1,b=1, 设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0).则M 又a·b=0,所以c|2=(a+3b)2=a2+23a· =(-x,n-y),MB=(-a-x,-y),MC=(a b+3b2=a2+3b2=4,所以c=2,又a·c x,-y),CB=(-2a,0).所以MN·(MB-M元) =a·(a+√3b)=a2+√3a·b=|a2=1, =MN.CB=2ax.又因为MB=3,MC=2,所以 所以ae=日治-所以ae ,两式作差，得4ax=5,故MN· 2 有 5.D【解析】由已知得a≠0，因为a与b是共线向量， 随-d)-2ar- 所以3入∈R,使b=λa,即2e1十ke2=λ(e1-2e2),所 7.C【解析】设OA=(4,m),OB=(4,n),所以AB 以2e1+be2=ae1-2ae2, =OB-0A=(0,n-m),因为|AB|=4,即|n-m 即2=X,解得 λ=2， k=-2λ， k=-4, 即k的值为一4， =4.设0A=(4,m),OB=(4,m-4),设0A与OB的 夹角为0，由0A·OB=16+m2-4m=(m-2)2+12 6.D【解析】方法一：因为△ABC为等边三角形，点D 是边BC的中点，所以AD⊥BC,故DN·C克= ≥12>0，可知0(0，引又Ss=2×4X4=8 o,M.(M-M心)=(M心+DN)·CB=MD· CB+DN.CB=M而.C. 专oi1·6i1血，所以10-=。 A ·30· ·数学· 参考答案及解析 i店-a耐cs0-品ge6,》, 对于D,当y=2时，AC=(1,0),则cos(AB,AC)= AB.AC 22 则当∠AOB最大时，tan0最大，即OA.OB最 A店1AC222,因为0≤A店，4C≤，故 小，此时OA·OB=(m-2)2+12=12,当且仅当 m=2时等号成立 店，AC=,故D正确。 8.A【解析】如图，连接AC, 1.BCD【解折】对于A,因为DA+血B=4cosC sin B sin A D =4×02+b2-c2-2a+62-c2) 2ab ab 所以后+ 2(a2十b2-c2) ,整理得a2十b2=2c2,即sinA十sinB 因为AD=1,AB=CD=2,BC=3, ab 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2 =2sinC,故A错误； 2AB·BC·cos∠ABC=4+9-2X2X3cos∠ABC= 对于B,因为sinA>0,sinB>0,所以n月>0， 13-12cos∠ABC, 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2十DC2 sin B sin A >0,所以4cosC= 如合+员≥ 2AD·DC·cos∠ADC=1+4-2X1X2cos∠ADC =5-4cos∠ADC,所以13-12cos∠ABC=5 sinA=2,当且仅当sin Asin B /sinA、,sinB 4cos∠ADC,即3cos∠ABC-cos∠ADC=2①， 2 sin B sin B sinA,即A 又因为SMm=号AD·DC∠ADC=号X1X =B时，等号成立，所以cosC≥ 2,又因为C∈(0， 2n∠ADC=m∠ADC,SAe-号AB·B· m,所以C∈(0，，所以C的最大值为，故B 正确； sinABC-X2xinAC-3sinA, 对于C,由A可知，sinA+sinB=2sinC,即 所以Sg边形ABcD=S△ABC一S△ADc=3sin∠ABC sinA-sinC=sinC-sinB,又因为sin(A+C)· sin(A-C)=(sin Acos C+cos Asin C). sin∠ADC=√3②， (sin Acos C-cos Asin C)=sin2Acos'C-cos2A. 则①式和②式分别平方并相加，可得10一 sin2C=sin2A(1-sin2C)-(1-sin2A)sin2C=sin2A 6(cos∠ABCcos∠ADC+sin∠ABCsin∠ADC)=7, -sin2C,p sin2A-sin2C=sin(A+C)sin(A-C), 所以s(∠ADC-∠A0)=即∠AC-∠ABC 同理，sinC-sinB=sin(C+B)sin(C-B),所以 sin(A+C)sin(A-C)=sin(C++B)sin(C-B), 的余纹值为分》 sin(x-B)sin(A-C)=sin(x-A)sin(C-B),所以 二、选择题 sin Bsin(A-C)=sin Asin(C-B),故C正确； 9.AC【解析】由之2十4z十8=0，得(x+2)2=一4，解得 对子，周为+用=器会+台 z=-2士2i,则|x1=之2|=2W2,之1十x2=-4,1x2 sin Acos B+cos Asin B sin(A+B)sin C =8,27十z2=0. sin Asin B sin Asin B sin Asin B' 10.ABD【解析】因为A(0,2),B(2,0),C(1,y),其中 y∈R,则AB=(2,-2),AC=(1,y-2). 又因为a2+6=2,所以cosC-02+b2-c2c2 2ab 2ab 对于A,若A,B,C三点共线，则AB∥AC,则 sinC 2(y-2)=-2,解得y=1,故A正确； sinC 22cos C 2X 2sin Asin B 对于B,若AB⊥AC,则AB·AC=2-2(y-2)=6 2 sin Asin B,又anC-nC= sin C 一2y=0,解得y=3,故B正确； sin C 对于C,若AB|=AC|,则√22+(-2)？= sin Asin B,所以 1 12 tan A tan B一anC,故D正确. 三、填空题 √1+(y-2),可得(y-2)2=7,解得y=2+√7或 12.一1【解析】因为i2025=i4x506+1=i,由复数相等 y=2-√7，故C错误； 的充要条件得a=0,b=一1，所以a十b=一1. ·31· A 2027 单元过关 13.3【解析】如图， 4 BC>AC=2.由余弦定理可知，AC2=BC2+ E AB-2AB·BCc0s于，代入可得，4=BC2+6 2√6X2BC=BC2-23BC+6,整理可得BCA -2√3BC+2=0,解得BC=√3+1(3-1<2， 舍去).如图1所示，O1A=O1C=1,BK⊥AC, 由平面向量的加法法则可得AC=AB+AD, 又CK=BCos号-2>1，BK=BC日 A萨-A弦+晾=A+?A市， =3+3 .建立直角坐标系， 2 AE=A市+D-号A+A市， 则C(-1,0,A,0,K2oB52 因为A衣=AA应+uA萨=A(?A店+A币)十 r馆+A)-收+2)A市+（分A+), 3)不设H侣到丽-（侣动 +2=1, ,) 所以 4 2+=1, 因为AH⊥BC,所以Ai.C馆=3-3X 2 14.3;√3-1或√3+1【解析】如图1所示，设BC +。=0,解得6=，所以 2 2 的中点为E,AD⊥BC,垂足为D,则OE⊥ BC,A正-A+Ad. H5,又c(-1o,Aa,o. B,+)所以G。,3+ 则厨-1，。) =+ 2(W3-1) 3 又由欧拉定理可知，G可-21G1=1, 31 图1 所以|oi1=Gi1+1Gd1=3-1. 根据重心的性质可如AG=成=号证- 当C=行时，∠BAC=经无=臣<行，则 }+A0,所以有0-0-}OiO+ BC<AC=2.因此易得BC=√3-1，如图2所 0心-0i),整理可得0心-子0i+0+0心)，所 示，01A=0,C=1,BKLAC,CK=BCcos 以3GG=OA+Oi+O心，即A=3.由题在△ABC 1,K=RC7-3 2 中，AB-6,AC-2,且B-至，报据王孩定理 建立直角坐标系， snC=snB,可得sinC=ABsin B6X2 AB AC AC 2 5 又C∈0，x),所以有C=了或C 2π 3 当C=音时，∠BAC=-音-音-经>对 3 图2 风 ·32· ·数学· 参考答案及解析 c-1. 17.解：(1)由acos C+√3 asin C-b-c=0及正弦 定理得sin Acos C+√3 sin Asin C-sinB-sinC 。不妨设 ) 则A =0. 因为sinB=sin(x-A-C)=sin(A+C) --8+, =sin Acos C+cos Asin C, 所以W3 sin Asin C-cos Asin C-sinC=0. 因为AH L BC,所以Ai.C馆=二5-3 2 (5分) -二8+1+8。=0，解得c= 1+√3 因为sinC≠0，所以W3sinA-cosA-1=0, 2 ，所以 所以mA-君》-安 -1,又c-1w.Aao. 又0<A<x放A=子 (8分) 3+13-3 6 6 (2)由题得△ABC的面积S=2 inA=5,故 则Gi=(3+13+3 bc=4①. (10分) 3,1 3 又a2=b2+c2-2 bccos A,且a=2,故b2+c2= 2(3+1) 8②， (13分) 3 3 联立①②，得b=c=2. (15分) 又由欧拉定理可知，Gd=-21G丽=5+1， 18.解：(1)因为p=(c,2b十a),q=(cosA,cosC), 3 且p+q=|p-9, 所以|Oi|=|Gi+|G01=3+1. 所以p·q=0,即ccos A+(2b十a)cosC=0, 四、解答题 所以sin Ccos A+2 sin Bcos C+sin Acos C=-0, 15.解：(1)z1=(1+3i)(3+mi)=3-3m+(9+m)i, 即sinB(2cosC+1)=0. (2分) 因为之1是纯虚数， 又血B>0,所以csC=结合C∈00，所 所以3-3m=0且9十m≠0，解得m=1.(4分) 所以之=3+i. (5分) 以c-餐 (4分) (2)由(1)可得之=3+i,x2=8+6i,即A(3,1), (2)因为c2=a2十b2+ab=81,且a+b+c-19, B(8,6),所以OA=(3,1),OB=(8,6),(8分) 所以(a十b)2-ab=81,a十b=10,所以ab=19. 所以向量OA在向量OB上的数量投影为 因为CD为C的角平分线，SAACD+S△BCD=SAACB, 0A.0i_3×8+1×6=3. (13分) OB√82+62 则2(+·ò血吾-· 16.解：(1)因为向量a=(-1,3),b=(x,2),所以a G血 -2b=(-1-2x,-1), 由(a-2b)⊥a,得1+2x-3=0, 即b=a+)⑦，所以币-贵 (9分) 解得x=1,所以b=(1,2), (5分) 又a十b=(0,5),所以|a+b|=√02+5=5. (7分) B (2)设a一b与a的夹角为0， 因为a=(-1,3),a-b=(-2,1), (3)方法一：设∠ACD=0,则∠BCD 2-0,设 所以a:9-日8070x行 5 √2 AD=,CD=tx,BD|=2x. 2, (10分) 在△ACD中，由正弦定理得C市-IAd sin A sina,即 又0≤0≤π，所以0= sin A=tsin 0. (11分) 4 在△BCD中，由正弦定理得 2x 即向量a6与向量a的夹角是至 (15分) n2x-0 ·33· A 2027 单元过关 即snB=2n-)=n(任-A) tx 19.解：(1)由题意得a3≥|s3-a3,即|a3|≥ a1十a2, 3 1 2 cos A-2sin A, 又am=(n,x+2n),故a1=(1,x+2),a2= (2,x+4),a3=(3,x+6), 则吃s红-+h9- 2 cos A, 故√9+(x+6)≥√9+(2x十6)下， 解得-4≤x≤0， 即sn(+)-casA, 故实数x的取值范围为[一4,0]. (4分) (2)存在“长向量”，且“长向量”为a2,a6.(5分) 所以cosA=isim(g+9） 理由如下： 又sinA=tsin0, 由题意可得1a-9in受+cos受=1， 所以1=sinA+osA=t[sr(+君）十sn0 若存在“长向量”ap,只需使sm一ap≤1， -1-7ws(0+5）-5os20, 又s7=a1+a2十a3+…+a7=(1+0-1+0十 1+0-1,0-1+0+1+0-1+0)=(0,-1), 由和差化积公式可得2o(2g+）+2cs20 1s-a,=sim+(s+i =m+》-g》.s分 1sinp 十1 +cos2+2os27 2 1 则t2= -+ 2+2cos ∠1： 2 因为0∈6,2）， 即02+2os2≤1，即-1长os≤- 所以os(0+)1,》, 当=2或6时，符合要求， 故存在“长向量”，且“长向量”为a2,a6.(9分) 所以t∈[4-23,4)，所以t∈[3-1,2). (3)由题意，得a1≥a2十a3,则|a11≥a2十a312, (17分) 即a≥(a2十a3)2, 方法二：因为D是边AB上靠近点A的一个三 即a≥a+a?十2a2·a3,同理a≥a?十a?十 等分点， 2a1·a3,a≥a+a3+2a1·a2, 所以C防-号试+成 三式相加并化简，得a号十a号十a3十2a1·a2十2a1· ag+2a2·a3≤0， 所以9CD2=4CA2+CB2+4CA.CB, 即(a1十a2十a3)2≤0，a1十a2十a3|≤0，所以 因为Ad1-号c⑦1-货 a1十a2十a3=0, 所以t2c2=4b2+a2-2ab, 设a3=(u,),由a1十a2十a3=0, 所以t2sin2C=sinA+4sinB-2 sin Asin B. 得么=-nx-2cosx, (11分) lv=-cos x-2sin x, (12分) 所以子=-w2A-2m-2 设Pn(xnyn),因为P2+1与P2关于点P1对 称，P2+2与P2+1(k∈N且k>0)关于点P2对 2aA停sA-A小 称，则依题意得， (x2k+1,y2+1)=2(x1,y1)-(x2k,y2k)① 所以t2=4-2√3sin2A. (x2+2,y2+2)=2(x2,y2)-(x2+1,y2k+1)②， 因为A∈(0，）所以2A∈(o,2）,sm2Ae 将①代入②，得(x2+2,y2+2)=2[(x2,y2) (x1y1)]+(x2,y2), (0,1],所以4-2√3≤t2<4,所以W3-1≤t<2. 从而(x2y2)=2[(x2,y2)-(x1y1)]+ (17分) (x2-2,y2k-2）,…, ·34· ·数学· 参考答案及解析 (x4,y4)=2[(x2,y2)-(x1,y1)]+(x2y2), 其中P1P2=(u,v)=(-sinx-2cosx,-cosx- 以上个式子相加并化简，得(x2+2y2+2)= 2sin x), 2k·[(x2y2)-(x1,y1)]+(x2y2), P P22=(-sin x-2cos x)2+(-cos x- 由②知，(x2+1y2+1)=2(x2y2)一(x2+2,y2k+2） 2sinx)2=5+8 sin xcos x=5+4sin2x≥1，当且仅 =2(x2,y2)-2k[(x2,y2)-(x1,y1)]-(x2,y2) =-2k[(x2y2)-(x1y1)]+(x2y2), 当x=xue五时等号成立。 所以P2+1P2+2=(x2+2一x2+1,y2+2一y2+1）= 4k[(x2y2)-(x1y1]=4kP1P2, (14分) 1014=2028. 故1P1o5P10is1m=4X (17分) 2026一2027学年度单元过关（九） 数学·立体几何初步 一、选择题 6.D【解析】如图所示，延长正四棱台的各条侧棱， 1,C【解析】由已知可得选项C绕对称轴旋转可形成 交于一点P, 充满气的车轮内胎. 2.A【解析】由题知P￠l,故存在唯一平面β，使得P ∈B,lCB,设a∩B=b,因为l∥a,lCB,故l∥b,而b 二α，故存在一条直线b与l平行，若还有另一条直 线c∥l,则b∥c,而P∈c,与P∈b矛盾，故所求直 线有且只有1条，且在平面α内. 3.C【解析】三面涂色的小立方体是位于棱长为 4cm的立方体的顶，点处的小立方体，因为立方体 设正四棱台的下底面边长为a,高为h,则上底面 共有8个顶点，所以三面涂色的小立方体有8个， 边长为2a,四棱锥P-EFGH的高为h, 每个小立方体的表面积为6cm,则表面积之和为 8×6=48cm2. 可得VPEFGH=8 VRABCD,所以VPEPGH=7X 4.B【解析】设圆锥底面圆半径为r,高为h,依题意 大2rX1 1 Ve0一4设茶水的离为，可得作法产)广- 可得 2×2rXh 1 =2x,解得h= 2,所以r= 1 31π V2 5.C【解析】如图，过点M作PN的垂线，垂足为E 7.B【解析】如图，过点A作AH LBO2,垂足为H, M、E 由题意可知O1A=3,O1O2⊥O2B,O1A∥O2B,所 在△PMN中，MN=2√2，PN=PM=2√3，所以 以四边形AO1O2H为矩形，则O2H=3,所以 cos∠MNP= 8+12-12√6 2X22X23=6,则sin∠MNp BH=3,所以AO2=AB=BO2=6,即△ABO2为 30 等边三角形，所以△ABO,的内切圆半径为3AH ,所以ME=MN·sin∠MNP=2V2X X6sin60°=3，即满足要求的球O30 √302√1 6 3 ,即点M到直线PN的距离为2y⑤ 31 …,On)的半径为√3，过点O3作O3O⊥O1O2,垂足 ·35· A