单元过关(七) 三角恒等变换-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（七） 数学·三角恒等变换 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 1.若sina-2c0sa sin a+3cos a 3,则tana= A.-12 B.12 C.-6 D.6 cos a 2.若tana+x)=2,则2sina-3cosa A-4 B.1 c-日 3.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°的三角函数值，部分5°的奇数 倍锐角的正切值（用字母代替）如表所示，则sin2200°= () 5° 15 25° 35 tan a m 卫 9 1-p2 2p A.1+p B.1+p 1-92 1-m2 C.1 g2 D.1+m2 单元过关（七）数学第1页（共8页） 没有航向的船，任何风都是遂风 4.已知第二象限角0满足cos0+2cos0+3）sing+3）=0,则sn0= 班级 A 1 C.2 姓名 ------------- 5.已知，2sina=sine-）,则cos2a十cos2a 得分 B.2 c-4 n日 6.某参考书中有这样一道题：“在△ABC中，tanA与tanB是方程x2一3x-1=0的两 根，则tanC= .”对于这道题目，评价最恰当的是 () A.这道题将三角与一元二次方程相结合，考查了韦达定理的应用，是一道好题 B.这道题先求出tan(A+B)的值，再利用诱导公式求得tanC的值，是一道好题 3 C.通过计算，可得tanC= 2 D.这道题数据有误，是一道错题 7.已知函数f(x)=sin受+)sin(否-2）w>0)在0，)上恰有1个零点，则如的取 值范围是 () A得哥 R(9 c.) 8.已知tan atan3=tan(a十B),则有关下列三个结论的说法正确的是 ①存在α在第一象限，B在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； ③存在α在第一象限，β在第四象限. A.①②均正确 B.①③均正确 C.②③均正确 D.①②③均不正确 单元过关（七）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.关于函数y=sinx(sinx十cosx)的描述正确的是 A.最小正周期是2π B.最大值是2+1 2 C.一条对称轴是x=3π 8 D.一个对称中心是(，1) 8’2 10.已知函数f(x)=asin x十cos22x一acos x,则 A.Ha∈R,f(x)的最小正周期为2π B.3a∈R,使得f(x)的图象关于某条直线对称 C.Ya∈R,f(e-)是偶函数 D.当a=3时，f(x)的最小值为-32 11.黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例黄金分割比= w5-1 ,这一此例在自然界、艺术及建筑设计中有着广泛的应用，它象征着和谐与完 2 美.已知在顶角为∠BAC的黄金三角形ABC中，它的底角正好是顶角的两倍，D为 BC边上的中点，则 () A,cos18°= CD AC B.2sin18°=5-1 2 1+tan27°AD C.1-tan27°-CD D.os∠BAC=5+1 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ana+11 tana-i-2,则sin2a-2 sin acosa十3cos'a= A 单元过关（七）数学第3页（共8页） 13.若tana=2,tan(a-)=2,则sin2g= 14.设f(a)=sina十cosa,x∈{nn=2k,k∈N*},利用三角变换，计算当x=4时， f(a)的取值范围是 ,根据f(α)在x=2,4,6时的取值情况，猜想当x= 2k(k∈N*)时，f(a)的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f)=6 coin(+）-5csz+ (1)求f(x)的最小正周期； 2)若xE0,,解不等式f)< 单元过关（七）数学第4页（共8页） 16.(15分)I已知a,9都是锐角，若sna-号c0s(a+B)=求sin9的值： 8 (2已知sna-6osa=写e∈0，求snba若}的值 单元过关（七）数学第5页（共8页） 17.（15分)某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值为同一个常数：①sin13°+ sin273°-cos77°cos17°；②cos275°+cos215°-sin15°sin75°；③sin2(-23)+cos253°+ cos67°sin37°；④sin2(-26°)+cos256°+sin26°cos56°. (1)试从上述4个式子中选择一个或两个，求出这个常数； (2)根据(1)的结果，将该同学的发现推广为一个关于变量x的三角恒等式，并证明你 的结论 单元过关（七）数学第6页（共8页） A 18.(17分)已知函数f(x)=Asin wxcos wx(A>0,w>0).从下列四个条件中选择两个作 为已知条件，使f(x)存在且唯一确定. 条件①：/（经 =1;条件②：f(x)为偶函数； 条件③：fx)的最大值为1；条件④：f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为， (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)=f(x)一2cos2ωx+1,求g(x)的单调递增区间以及g(x)在区间 上的最大值 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分. A 单元过关（七）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数f(x)=sin ka·sinx十cos kx·cosx一cos2x,其中k∈N*. ①)当=1时，求方程)=1的解集 (2)若f(x)是偶函数，当&取最小值时，求函数g)=f(x) 十sinx十cosx的取值 tan x 范围； (3)若f(x)是常数函数，求k的取值. 单元过关（七）数学第8页（共8页）2027 单元过关 2026一2027学年度单元过关（七） 数学·三角恒等变换 一、选择题 13 1B折】尚品十后号温名号 5π，解得 ∠w231 tan a+3 3' 8.C【解析】因为tan atan B=tan(a十B),tan(a十B)= 解得tana=12. tana十tanB 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, -tan gtan所以tan atan=1--tan atan'令 cos a 1 1 则2sma-3cos2-2an&-32x2-3-1. m8y=m8,则一多基理得y十 3.A【解析】sin2200°=sin(6X360°+40°)=sin40° (1-x)y十x=0,且方程有解，则有△=(1-x)2 =0s50°=coc258-sim25°1-tam25°_1-p2 4x·x2≥0，即(x-1)2≥4x3,作出函数y=(x-1)2, cos225°+sin25°1+tan225°1+p2 y=4x3的图象，如图所示： 4.D【解析】由意意可得cas9+sin(20+}-0, =(x-1)2 即cos0-c0s20=0,根据二倍角公式，得c0s0一 ②c0s9-三0，解得c0s9=7或c0s9=1,包 o I 因为日为第二象限角，所以c0s日三一7，则0= =4x3 2张x+行AEZ.放sn0- 由图象可知，存在x0∈(0,1)，使得(x。-1)2= 21 4x,所以当x<0时，△≥0恒成立，则y1十y2= 5.B【解析】由2sina=sin(e-）得2sin& x-1 0,y1y210,因此y1y2一正一负，所 √2 (sina一c0sa),化简得cosa=-sina,所以cos'a 以当a在第二象限时，B在四个象限均可；当x∈ 1 (0,xo)时，4≥0成立，此时y1十y2=2<0, ,故os2a+cos2a=2cos2g=1十c0sa 6.D【解析】由题意得△=(-3)2+4>0，则tanA十 >0,因此yy:皆为负，所以当a在第 yiy:=x tanB=3,tan Atan B=-1<0,则A,B一个为 一象限时，B只能在第二象限或第四象限. 钝角，一个为锐角，又C=π-(A十B),则tanC= 综上，②③正确，①错误. -tan(A+B)= tan A+tan B 3 1-tan Atan B=-2<0,所 二、选择题 以C是一个钝角，而在三角形中不可能存在两个 9.BCD【解析】对于A,y=sinx(sinx十cosx)= 钝角，所以该题数据有误，为错题」 s2TCos I2 sin 2x= 2 .A【解祈】国为f)=sn(受+）m(行受) n2x一）十日藏高数的最小王周期为贸 √2 -i(受+g）a臣（倍-受】 =π，故A错误； =sin(管+g）os受+）-2in(ar+）, 对于B.当2红-景-受+2论，k∈Z即x-智十 因为x∈D所以o+行∈臣十）根 t∈7时g-号n:)+取#接大 2∠ 据∫(x)的函教图象及题意可得4π<wr十 位，展大位为该B正： A ·26· ·数学· 参考答案及解析 对于B,2sin18°-2sin∠CAD=2CD-BC AC-AC 厂是函数的一条对称轴，故C正确； W5-1 2,故B正确； 2 对千D.当x=时，y-in(2X一十号 1+tan 27 tan45°+tan27° 对于C,因为-tan27=1-tam45an27 =2故画数的一个对黎中心是（低，》：截D tan(45+27)=tan 72"-tanACD=AD D故C 正确。 正确； l0.BCD【解析】f(x)=asin x-acos十2cos4z 对于D,设AC=AB=2,则BC=√5-1，因为 +日对于A,当a=0时，fx)=2c0s4k+号 a∠BAC-6os36=2os318-1=2C）° 1=2(AC-CD*)-AC* 的最小正周期为经-子故A铅误 AC2 代入边长，得cos∠BAC 对于B.当a=0时，x)=70s4红+号的图象 AC2-2CD2 42X6-2w5 4 W5+1 AC 4 4,故D 关于直线x-(E2)对轮，故B正确， 正确」 三、填空题 对于C,f(x)=/Zasin(x-F）+2cos4x+2 【解析】由ana十1_1 ana-12,可得tana=-3,sina 到fe-）-am-)+m(-】 -2sin acoscsina2sin acosac sin'a+cos a =一2aesx-2as4z+2f(-x-4） tan'a-2tan a+3 9+6+3 9 tan2a+1 9+159 2am-x）+74-x】+号 24 13.25【解析】因为tana=2,tana-)=2,所以 Zacox-2cos4虹十2，所以f(e-） tan a-tan(a-B) tan B-tan [o-(a-B)]-1+tan atan(a-B) (-x一牙)，所以f-)为偶函数，故C正确； 1 22 3 1 ,由二倍角的正弦公式，得sin2卵= 对于D当a=3时，fx)=32sn(c-)+2s红 1十2×2 2sin Bcos B 十当z=-时，画数y=3n(e一）和y 2tan B 24 2sin Bcos B= sin2B+cos2B 1+tan2B 25 1 20s4红十2同时取到最小值，分别为-32和 14. 合品小eN)【指】多-2时， 0,所以f(x)的最小值为一3√2，故D正确. f (a)=sin2a+cos2a=1; 当x=4时，f(a)=sina十cosa=(sin2a十cos2a)2 11.BCD【解析】对于A,由题意可知2∠BAC= ∠ACB-∠A8CrgC-5又周为∠BAC+ -2 o1-含na-+cs4a, 1 ∠ACB+∠ABC=180°，所以∠ACB=∠ABC 由于-1≤cos4a≤1，所以2S7大人 4cos4a≤1， =72°，∠BAC=36°，又因为D为等腰三角形底 边上中，点，由三线合一可知，AD⊥BC,∠CAD= 所以fo)∈[1： ∠BAD=18,所以cos18°=cs∠CAD=AP 当x=6时，f(a)=sina十cosa AC' =(sin2a+cos2a)(sin'a-sin2acosa+cos'a) 故A错误； =(sina++cosa)2-3sinacos a ·27· A 2027 单元过关 3 5,3 1 =1-3 sin2a cosa=1- (2)因为sina-cosa=3, 由于-1≤cos4a≤1，所以4 g+ma≤ 3 所以(sina=cosa)2三即1-2 sin aco9ap 1,所以f(a)∈ [小 g,所以n=专，又a∈0，)，所以sina 4 由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N*)时， >0,sa>0,即ae(0,》, f(a)的取值范围是 1 2-7,1 (∈N*). (sin a+cos a)2=1+2sin acos a= 17 9’ 四、解答题 (10分) 15解：f)=msk+）一-csx十9 所以sina十cosa= W17 3 3 cos 2a=cos2a-sin2a=-(sin a+cos a)(sin a =cos x 1 2cos x -+4 -cos a)=-V17 (12分) 2 cos 1 2 cos'x3 4 又sin2a=2- 放ae-) m2x-5.1+egs2z+5 1 2 2 4 m2am音-m2sn音-号×号+gx号 9 1 9cos2z=7 sinx-5）.4分) 83+√17 18 (15分) 故了x)的最小正周期T-否=元 17.解：(1)首先将所给①，②，③，④四个式子等价转 (6分) 换为有规律的式子，则： 对于①，等价为sin213°+cos217°-sin13cos17°； 2由ra<府nlex-}<g， 对于②，等价为sin215°+cos215°-sin15cos15°； 对于③，等价为sin2(-23)+cos253°-sin(-23)· 即snex-》<, cos53°； 对于④，等价为sin2(-26)+cos256°-sin(-26)· 则-行+2<2x-音<+2x∈， cos56°， 根据题意，所给4个式子的结果都是同一常数， 解得-一受十x<z<管+x∈0， (10分) 不妨选择②进行求值， sin215°+cos215°-sin15°cos15° 又xe0,),所以x∈o,智)U(经 1 3 =1-2sin30°= 4 所以不等式的解集为(0，)U(经，).13分) 所以这个常数为定值。 (7分) 16.解：(1)已知a,9都是锐角，且m8- (2)根据(1)的规律观察，四个式子的统一式 为sina+cos2B-sin acos B,且a+B=30°， 设x=α，则B=30°-x,进而得恒等式： 所以cosa=-a-音，0Ka十8<x sinz+cos680”-x)-nz6os60*-z)=是 (2分) (11分) 8 因为cos(a+B)=17 证明：sin2x+cos2(30°-x)-sin xcos(30°-x) =sin2x+(cos30°cosx+sin30°sinx)2 15 所以sin(a+)=√-cos(a+D=17'(4分) sinx(cos30°cosx+sin30°sinx) 3 所以sinB=sin[(a十B)-a]=sin(a+B)cosa (2cos+ cos(a+B)sin a= 15、48、336 i7×5-17×5-85 (6分) 2 sin A ·28· ·数学· 参考答案及解析 3 由f(x)=1- 3 3 4 ,得cos2x=?, 猜想结论得证. (15分) 即2红=2x+名或2x=26x g.hEZ. 18.解：(1)f(x)=Asin wxcos wx= 2sin2wz,则 f(x)为奇函数，故②不能选 (2分) 朝得x=x+5或x=kx一是∈乙， 若选择条件①③： 故所求方程的解集为{x 因为f(x)的最大值为1，所以？ =1,即A=2, -t∈z (4分) 因为f(）-1,所以sn营。1。的值不唯一， (2)f(x)的定义域为R,由f(x)是偶函数，得 故不能选①③（选①③不得分）. Hx∈R,f(-x)=f(x), 即sin(-kx)·sin(-x)十cos(-kx)·cos(-x) 若选择条件①④： -cos(-2x)=sin kx·sinx+cos kx·cosx 因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 cos+2x, 音所以 =元，即w=1, 所以一sin ka·(-l)sinx十cos kx·cosx cos2x=sin ka·sinx+cos ka·cosx A 所以f(x)=2sin2x, -cos®2.x, 从而sin kx·sinx1十(-1)]=0，进而1 因为/（任）=1，所以分=1，师A=2。 十（一1）=0，所以及为正奇数， 当k取最小值，即k=1时，f(x)=1一cos2x= 所以f(x)=sin2x. (8分) 2sin2x, (6分) 若选择条件③④： 所以g(x)=f(z +sin x+cos x 因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 tan x 音所以名-，即。=1， 2sin'a sinx +sin x+cos x cos x 因为f(x)的最大值为1，所以 =1,即A=2, =2 sin cos十sinx十cost,x≠6 2(m∈Z), 所以f(x)=sin2x. (8分) (2)因为g(x)=f(x)-2cos2wx+1=sin2x 令t=mx+osx=Esm(e+》,z≠"2 2cos+1sin cos 2in) (m∈Z), 则2 sin xcos=t2-1,t∈[-√2，w2],且t≠士1， (10分) 所以g(x)的值域转化为函数y=t2十t一1，t∈ 令张x-≤2红-日≤kx+受∈Z,解得x [-2W2],且≠士1的值域， 对称轴为直线=一2，所以函数y=十2-1在 1 -晋<<kx+5∈z 所以g口)的单调递增区间为kx百十， 3π [一2，-).(1，上单调递该，在[2小， (1W2]上单调递增 k∈Z (13分) 所以当1=-名时，取得最小值y咖=是-名-】 2 (15分) 当1=2时，取得最大值ym=2+2-1 =1+2, 所以当2x一4 4,即x= 4时，g(x)取最大 又当t=士1时，y=±1，当t=0时，y=-1, (9分) 值，且g(x)max=1. (17分) 19.解：(1)当k=1时，f(x)=sin2x+cos2x 故g(x)的取值范围为 [ua1+w. cos 2x=1-cos 2x, (10分) ·29· A 2027 单元过关 (3)因为H∈N*,f(0)=0,所以若f(x)是常数 =sin 2xcos xsin3x+cos2xsin'x-sinx)+ 函数，则f(x)=0. (cosx sin'xcos'x sin 2xsin xcosx)- ①当k=1时，由(1)知，f(x)=1-cos2x不是 cos32x 常数函数； (11分) =3cos xsin'x -sin x+cos x-3sinxcos'x- ②当k=2时，f(x)=sin2x·sinx+cos2x· cos2x cosx一cos2x,此时f(）--1≠0，故f(x)不是 =(cos2x-sin2x)3-cos32x =c0s32x-c0s32x=0, 常数函数； (13分) 所以f(x)是常数函数； (15分) ③当k=3时，f(x)=sin3x·sin3x+cos3x· cosx-cos 2x ④当≥4时，/（）=-os-s2经<0， =(sin 2xcos xsinx+cos 2xsinx)+(cos 2xcosx 故f(x)不是常数函数， -sin 2xsin xcosx)-cos2x 综上，k=3. (17分) 2026一2027学年度单元过关（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 又因为D是△MBC的边BC上的中，点，所以M心= 10i10i(3+i) 1.B【解析】设z-3一3一D3十D=i(3+i) 号cMi+Md,所以Mi.ci=号cMi+Mc)· 一1十3i,则之在复平面内对应的，点为(-1,3)，位 -d-[r-d1-8 于第二象限. 2.B【解析】由正弦定理可得(a+c)(a-c)= 方法二：以D为原，点，DC,DA所在直线分别为 b(a-b),即a2+b2-c2=ab,故cosC= x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. a2+b2-c21 A 906bC=,周为C∈0，)，故C=5 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1十x,1),若 a∥b,则(2-x)(1十x)=2,解得x=0或x=1, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. D C 4.A【解析】由单位向量a,b,得a=1,b=1, 设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0).则M 又a·b=0,所以c|2=(a+3b)2=a2+23a· =(-x,n-y),MB=(-a-x,-y),MC=(a b+3b2=a2+3b2=4,所以c=2,又a·c x,-y),CB=(-2a,0).所以MN·(MB-M元) =a·(a+√3b)=a2+√3a·b=|a2=1, =MN.CB=2ax.又因为MB=3,MC=2,所以 所以ae=日治-所以ae ,两式作差，得4ax=5,故MN· 2 有 5.D【解析】由已知得a≠0，因为a与b是共线向量， 随-d)-2ar- 所以3入∈R,使b=λa,即2e1十ke2=λ(e1-2e2),所 7.C【解析】设OA=(4,m),OB=(4,n),所以AB 以2e1+be2=ae1-2ae2, =OB-0A=(0,n-m),因为|AB|=4,即|n-m 即2=X,解得 λ=2， k=-2λ， k=-4, 即k的值为一4， =4.设0A=(4,m),OB=(4,m-4),设0A与OB的 夹角为0，由0A·OB=16+m2-4m=(m-2)2+12 6.D【解析】方法一：因为△ABC为等边三角形，点D 是边BC的中点，所以AD⊥BC,故DN·C克= ≥12>0，可知0(0，引又Ss=2×4X4=8 o,M.(M-M心)=(M心+DN)·CB=MD· CB+DN.CB=M而.C. 专oi1·6i1血，所以10-=。 A ·30·