单元过关(六) 三角函数的图象与性质-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2027 单元过关 当x∈0，时，8()=c0sz≥0，根据下凸 则h'(x)=e-1 er-x 函数”的充要条件，可知8(x)在0，上为“下 h"(x)= e(e2-x)-(e2-1)2e2(2-x)-1 (e2-x)2 (e-x)2, 凸函数” (8分) (13分) ②因为x∈ ππ 63 ,所以π-3x∈0,2] 因为0<x<1,所以2-x>1,e>1, 所以e*(2-x)-1>0,即h"(x)>0, 又cos3x-3cosx=-cos(元-3x)-cosx 所以h(x)在(0,1)上是“下凸函数”，(14分) cosx-cosx=g(π-3x)+g(x)+g(x)十 所以)+h)++)≥h(+x+…+）, g(x), 根据“下凸函数”的性质有 即ln(ei-x1)十ln(e?-x2)十…十ln(ea-xm)≥ gx-3z)+8e)+8)+8a>≥g(=3x++x+） 4 4 a(分）=ah(e)=n(e信”， (任）- (10分) 即h[e的1-x)(e-x)…(e-x)]≥n(e-）”, 故cos3x-3cosx≥-2√2，当且仅当x=π 所以(e-1)(-x2)…(e,-x)≥(e-）八， 3x,即x=于时，等号成立。 (11分) 当且仅当x1=x2=…=xn=二时，等号成立， (3)解：因为正实数x1,x2,…,xm满足x1十x2十 (16分) …十xn=1, 所以(e1一x1)(e2一x2)…(em一xn)的最小值 所以x1,x2,…,xn∈(0,1)， 令h(x)=ln(e-x),0<x<1, 为(-)” (17分) 2026一2027学年度单元过关（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 4.C【解析】函数y=tan2x的图象平移后得到 1.D【解析】f)的对称描的方程为上=冬十x y=tan(2x十2m)的图象，若其关于点(0,0)对称， b∈Z,当k=-2时，x=-3x 则2.0叶2m经G,解得m-“c∈D, 4 2 2.A【解析】在△ABC中，0<A<π，一方面，若 又m>0,所以m的最小值为子 如A>号则贤<A<所以A>减主：走 4 4 5A【懈指】南因如-径-是-营即T- 3 分性成立； 又T=-智且o>0,明a=8 另-方面，若A>取A-则5血A-日< 6.D【解析】分别作出函数g(x)=(mx-1)2= 所以血A>竖不成立，故必要性不成立，所 √2 m2x-1)与函数h(x)=sinx十m的大致图象， 1 以“snA>是“A>”的充分不必要条件. 分两种情形：当0<m≤1时，一≥1，如图1， 'm 2 =g(x) 3.C【解】当-受+长x<2x-< 4 +kπ，k∈Z y=g(x) 时，y=-a2x一贸）单羽递减， h(x) 01 图1 图2 ·20· ·数学· 参考答案及解析 当x∈b,引时g)与A)的图象有-个交 y 点，符合题意； 1 当m>1时，m<1,如图2， 当x∈0，时，要使得g《x)与A)的因象只 2π 有-个交点，只需g()≥h(）,即(-1) 则可得当t<0或t≥2时，y=1+cosx与y=t sin2+m(m>1),解得m≥4(r+1) 的交点个数为0； 线上，压实款的取值克两为0U[,一 当=0或≤<2时y=1十60元与y=1的交 点个数为1； 7.A【解标】令f(x)=0,得sin(ox+）=:由 当0<1<名时y=1十a8x与y=1的交点个数 于x∈o,网，所以ax+骨∈[后x+引又因 为2. 为y=f(x)在[0，元]上有且只有四个零点，所以4π十 10.ABD【解析】对于A,由2<2<3<x,得sin2 >0,cos3<0,则sin2cos3<0,故A正确； 对于B,设扇形的半径为T,由圆心角为于的扇形 8.B【解析】由于r(0)=|2sin20|+|sin40|,则 r(0+）-2sn2(0+）+sm4(0+) 的面表为受得日·行r-经解得=8，因此 扇形的孤长为了=元，故B正确， 2sin20|+|sin40|=r(0),所以r是以为周期的 对于C,终边落在射线y=一x(x≥0)上的角的 周期函数，所以，点P的轨迹在四个象限内应相似，故 排除C,D; 集合为口a=-十2k,k∈Z;终边落在射线 由于A,B项均关于直线y=x对称，所以只需研究 y=红≤0)上的角的类合为a-+2x 0e0,到t时，=2m29+sm40,r=4cos29+ ∈乙-{ea=-至+(2+Dee,因北 cos40),令cos20=t∈[0,1]，则r'=f(t)=4(2t2+ 终边落在直线x十y=0上的角的集合是 1-1D=0,郎得1=言或1=-1（合去）则当 a。=一+∈乙，故C错误： 0引即0e[后引时，0<0r单调远减：当1 对于D,由2一≠ 2 十bπ，k∈乙，得x≠ 3 ∈（号），即0e0,否)时，f)>0,r单调递增，故 经k∈Z,因说面复y=m:-吾》的定义线 排除A注：本题在判断A,B选项时亦可使用特殊值 为≠写+∈Z,故D正流 法，r()>r()故选B 1.ACD【解析】函数fx)的最小正周期T=2红=4 二、选择题 对于A,在图2中，以，点O为坐标原点，O元，AA的方 9.ABC【解析】画出y=1十cosx在x∈(，2)的 向分别为y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系O-x'yx',设点A'(0,t,0),则点A(0,t), 图象，如图所示， B(,t+2,0), ·21· A 2027 单元过关 三、填空题 2 12.10sin60 【解析】设∠AOB=0,过点O作OC 上AB,垂足为C,则AC1=OAm号-5m2 0 B 则|AB=√(A-0)2+(t+2-t)2+(0-λ)2 0 即d=2AC|=10sin2, √22十4=√10，因为λ>0，解得入=√3，故A正确； 当t∈[0,30]时，0=元 对于B,fx)=3sim(g+,则f0)=5sin9 302,=10sin o=1osin 60 咨可得如甲=日又因为了：)在=0附近单 当1∈(80,60]时，0=2x-04,d=10sin8 5π 10 Din(-）=10sin高2， 递减，且0<p<,所以9=6，则f(x)= 综上，d=10si sm受十）故B鳞误： 602,t∈[0,60]. 对于C由f@-5m(侵+）-，可得 m(受+）=1，又因为点A是f)的图象上在y 相左侧斑名台装运的说商点，所以号+警-受， 13.√5【解析】因为y=f(x)-sinx为偶函数，所以 解得1=一3，因为点C是f(x)在y轴右侧的第 f(-x)+sinx=f(x)-sinx①，又y=f(x)+ 2cosx为奇函数，所以f(-x)十2cosx=一f(x)一 个对袋中心，所以受+警=，得6=折后。 2cosx②，①-②，整理得f(x)=sinx一2cosx= 2 √5sin(x-p),其中tanp=2,故当sin(x-p)=l,即x 有Ao,-子oAo,号3B,音o, -受+9十2x∈Z时，f)原得最大位，后。 C0,号，0，所以A店=43,2，-3)，c=01, 14.√3+1【解析】如图，连接CD,OD,作DE垂直x 一3)，所以在图2中，A·AC=0+2×1+ 轴于点E, VA (-3)2=5,故C正确； 对于D,在图2中，设点Q(x,y,0),由AQ= 2+++0≤2，可释+ (+号）≤1，又A心=0,10，Ai=(3,20, 因为BO+BC=BD,所以四边形OBCD为平行四 A'它.AB 边形，所以|OB|=|CD=|OE1,又BC·BD= cos∠BA'C= 2=27> AC AB 1X7 7 (B0+OC)·(BE+ED)=2OB|2+|OC2=10, 又|BD|2=|BE|2+|ED|2=4OB|2+|OC2= 2,易知∠BA'C为锐角，则0<∠BA'C<,所 14,解得|OB|=CD=|OE1=√2，OC=√6， 以区域T是坐标平面x'Oy'内以点A'为圆心， 由对称性得OB|=|EF|,则f(x)的最小正周期 |A'C|=1为半径，且圆心角为∠BA'C的扇形 T=6OB|=6W2. 及共内部，做区战T的面积S:<号××1 若w>0,则祭-由点B(一区0在因象 8,故D正确 上，可得m-哥十p)=0,放-智十9=2张∈Z 1 ·22· ·数学· 参考答案及解析 解倍p=2kx+5A∈Z 5ππ3π 16解：1)(1)由表格得x1=3X9一6=2’ 由f0)=6,得Asn(2x+5）-6,k∈Z,解得 元 3x2一6 =0,解得x2=18' A-2,以)-2mc++2， 3x3一 6 =2元，解得x=8, cz故f慢）=2,2段-=22n(g+） =f(5）=2sm-2 (4分) (ⅱ)用五点法画出f(x)的图象如图所示， 2 若w<0,则w=一不=一6，由点B(一2,0)在图 2π 象上，可得sn(智+9)=0，故写十g=法xk∈Z解 0π7元5元13π -1818 918 得9=2m-A∈Z, -2 (7分) 由f0)=6,得Asim(2k元-）=6，k∈Z,解 (2)当x∈[0，]时，ox- π 得A=-2区，所以f)=-2-1x 当f)在ax- =一T处取得最小值时，元 6 6 音+2=2v2n②x +智-2∈,故 元7π 4 6<6,解得0<u<3; 图）=2区n经-5+1. 当f)在a以一音=wx一吾处取得最小值时， π 四、解答题 15.解：1令2次xr≤2x+至≤20x∈Z,解得 6 x-≤<kx-君k∈D, 元 当f)在r一百-经处取得最小值时，< 8 w元一 <解得<< 所以f(x)的单调递增区间为 kx (k∈Z). (5分) 综上，w的取值范围为0，号)U(停，）-(15分) (2)令：=2z+至由z∈b 5π 17.解：(1)当t=1时，点A绕01转动1弧度，且点 ,可得t∈ A与点B转过的弧长相等， (7分) 则点B绕0，转动的弧度数为X2-2弧度。 3π 所以当1=，即x-8时，y=6X(一1)=一6， (3分) (2)转动时间为t秒，则点A绕O1转动t弧度， (9分) 点B绕O2转动2t弧度， 当1=，即x=0时，y=6X 所以=2simt,y:=5+sin(2:-）,(6分) (12分) 故当x-时，f)取得最小值-6，当x=0 令y:=5+sim2-）≥5.5，解得2kx+石≤ 24-≤2x+, 5π 时，f(x)取得最大值√3. (13分) ·23· 2027 单元过关 由t≥0，得kπ十 3k∈N,(7分) 2 因为x>0,所以f(x)的单调递增区间为 3 所以满足条件的：的集合为kx+了≤Cx+ [+，+]a∈. (7分) e). (8分) 因为zE1,2,所以x-行∈（行智）。 (3)由于g(t)=cos2t+y1-a=cos2t+2sint- 当元x- (行引即e,时单 a=-sin2t+2sint+1-a≥0在t∈ 「元2π 6'3 上 调递增； 恒成立， 当-∈[臣），即xe[后2时，1e谁 3 所以a≤-sin2t+2sint+1在t∈ 2π 6’3 上恒 调递减。 (10分) 成立， (10分) (3)当w=元时，由元x 2m-文+2kπ或一3 36 又当管≤<时，<1 -+20x,6∈N,得x-名+2必或红-+2， 根据二次函数性质可得，当sint= 2时，-sint k∈N, 十2sint+1取得最小值4： (13分) 又a1= ，所以a,)的奇数项传皮以后为首项， 则a≤ 2为公差的等差数列；偶数项构成以。为首项，2 故实数。的取值范围为（一©，引 (15分) 为公差的等差数列 (12分) 所以当n为奇数时， 18解：由smax-）-号-0， S.=u+15 2大 ×2+n-1× 6 2 2 所以a版-行-舌+2kCN成ew-智-日 1 1 1 2 -X2= 22 n 69 +2kπ，k∈N (14分) _3π2kx 解得x三+2kπ或x三200 当n为偶数时， 5 n(n 因为w>0,x>0且a1=6: 5 6+J 2 一2+ 3 2×+ =6,解得w=π或 1 9π w一5 (3分) -X2= 2 2n2+ 6n, (16分) 当w=9 1 1 1 时，f(x)=sin 9元 2r) 1 5x- 3 2 2m++n为奇数， 所以Sn= (17分) 1 1 此时(》 .255 =0,而4<6，不符合题意， 2n2+,n为偶数. 所以ω=元。 (5分) 19.解：1由于fx)=sin(十g(o>0,g<）的 2由①得r)=n(x》-日， 最小正周期为π， 所以2 =元，w=2, 7 +2k≤x≤6+2k,h∈N. 又f(-）=sim2x(）+9=0, A ·24 ·数学· 参考答案及解析 即in(g-）=-0,解得g=x+行k∈Z), 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=sinx的图象. 又<，则9=3： 若当m∈0，）时gm)gm),gm十n)可 以作为△ABC的三边长，则原问题转化为证明 所以f(x)=sin(2x+ 3, (2分) 任意两数之和大于第三个数 (13分) 证明如下： 令2-8≤2x+ ≤2kx (∈Z),解得π 2 先证明：g(m)十g(m十n)>g(n) 5≤x<kπ 由于g(m)+g(m+n)=sinm+sin(m+n)> 1 k∈Z), 12 0,g6m)=sinn>0,m,a∈(0,2}， 所以f(x)的单调递增区间为kπ一 则g(m)+g(m+n)-g(n) (k∈Z). (4分) =sin m+sin(m+n)-sin n （2>F0的值城即为)在区间0,0+上 =sin m(1+cos n)-sin n(1-cos m) 最大值与最小值之差的取值范围. (5分) =sinn2cosg）-snn2sir】 ①若f(x)的对称轴在区间 内，不妨设 2 cos2 n sin o 对称轴x=在0,0+ 内，则f(x)的最大值 m n m n n m -4sin 2 cos 2 cos 2 cos 2sin 2sin 2 为1， =4sin gws2osm）>0， 当f(0+）=f0,即f(任)=f(-)=2 故g(m)+g(m+n)>g(n). 11 时，F(0)的最小值为1-一2=2 (7分) 同理，g(n)十g(m十n)>g(m), g(m)+g (n)=sin m+sin n>sin mcos n+ ②若f(x)的对称轴不在区间0,0+]内，则 sin ncos m=g (m+n). 综上，g(m),g(n),g(m十n)能作为△ABC的 f(x)在区间日，0+内单调，在两端点处取得 三边长 (15分) 最大值与最小值， 设g(m十n)当作边时所对的角为a, 则F0)=r(0+3）-f0) cos a-sinmsinn(sin mcos nsin ncos m) 2sin msin n sin2m+sin2n-sin2m cos2n-sin2n cos2m-2sin mcos nsin ncos m -meo+经+）-sn(2o+5） 2sin msin n 2 sin2m sin2n-2sin msin ncos mcos n sin(20+5）+sin20 2sin msin n =sin msin n-cos mcos n sin(2g+g)≤， (9分) =-c0s(m+n) =cos [x-(m+n)], 故f(x)在区间0,0+ 3 上的最大值与最小值 又因为a∈(0，π)，π-(m十n)∈(0，π)， 所以a=r一(m十n), 之差的取值范围为 ,即F(0)的值域为 sin a=sin [x-(m+n)]=sin(m+n), [2w 由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径为2R (10分)》 g(m+n) sin(m+n) =1, (3)把曲线)=f(x)的图象向右平移需个单位长 sin a sin(m+n) 1 度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2 所以R=2为定值。 (17分) ·25· A2026一2027学年度单元过关（六） 数学·三角函数的图象与性质 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 1.函数f(x)=sinx+ 2 的一条对称轴方程可以为 C.a- 37元 A.x=π B.x=0 D.x=- 2在△AC中.snA安是A的 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数y=-tan2x-3）的单调递减区间是 Akx+kx+）∈Z c+经+ ,k∈Z D管晋经+》∈z 4.将函数y=tan2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象仍然关于原点 对称，则m的最小值为 () A是 B c D 5.已知函数f)=5sin(ox十p)o>0,p<）的部分图象如图所示，则a=() Oπ 单元过关（六）数学第1页（共8页） 与其抱怨黑暗，不她提灯前行 A.3 B.4 班级 c D.2 姓名 6.已知函数fx)=(mx-1)-six一m在0，上只有一-个零点，则正实数m的取值 得分 范围为 A.(0,1] B.(0,1]U C.(0,1]U 4(π+2) D.(0,1]U 4(π+1) 7.已知函数f(x)=2 2sinwx+）-1(w>0),若y=f(x)在[0，]上有且只有四个零点， 则实数ω的取值范围为 () A. 239 6’2 B/397 6’2 c[ 侣 8.已知P是平面直角坐标系xOy内一点，以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角0 ∈[0,2π)，OP的长度r=2sin20|+sin40|,则点P的轨迹可能为 () 单元过关（六）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.函数y=1十c0sx,x∈（行，2m的图象与直线y=4u为常数）的交点可能有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.下列说法正确的是 A.sin 2cos 3<0 B.若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为x C,终边落在直线x十y=0上的角的集合是Qa=士灭十k元，k∈Z 4 D商数y=un2x-看引的定义城为c≠管+E乙 1.已知函数fx)=入sin(2x十)a>0,0<9<x)的部分图象如图1所示，A,B分别为 图象的最高点和最低点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点A',点C为该部分图象与 x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时AB|= √10，则 () 图1 图2 A.λ=√3 B9=月 C.在图2中，AB·AC=5 D.在图2中，S是△A'BC及其内部的点Q构成的集合，设集合T={Q∈S|AQ≤2}，则 T表示的区域的面积小于8 A 单元过关（六）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某时钟的秒针端点A到中心的距离为5cm,秒针匀速绕O点旋转，当时间t=0s时， 点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则 d= ,其中t∈[0,60]. 13.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-sinx为偶函数，y=f(x)十2cosx为奇函 数，则f(x)的最大值为 14.已知函数f(x)=Asin(awx十p)的部分图象如图所示，O为坐标原点，B,C为图象与坐 标轴的交点，D为图象上的点且满足BO+BC=BD,BC·BD=10,|BD1=√I4,则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数fx)=6cos2x+) (1)求f(x)的单调递增区间； (2当∈o,时，求红)的最值 单元过关（六）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数fx)=2sinx-君）>0. 3x-6 0 2 2π 2π 7π 5π T2 9 18 9 f(x) 0 0 -2 0 (1)若ω=3，根据表格回答下列问题. (1)直接写出x1,x2,x3,x4的值； (ⅱ)使用“五点法”画出f(x)在[x2,x3]的图象. (2)若f(x)在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围. 单元过关（六）数学第5页（共8页） 17.(15分)两个齿轮传动的示意图如图所示，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两 齿轮中心O2,O1在同一竖直线上，且O1O2=5,标记初始位置A点为下齿轮的最右 端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心O1为坐标原点，建立如图所示的平面直角 坐标系xOy,已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转 动过程中A,B两点的纵坐标分别为y1,y2,转动时间为t秒(t≥0). (1)当t=1时，求点B绕O2转动的弧度数； (2)分别写出y1,y2关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，y2≥5.5； 8若数ge)-cos:+-a,当：e[后 时，g(t)≥0恒成立，求实数a的取值 范围 单元过关（六）数学第6页（共8页） 又 18.17分)将函数∫)=sin-）2仙>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排 列，得到数列{a.},且a1=6 (1)求w; (2)求f(x)的单调递增区间，并说明f(x)在(1,2)上的单调性； (3)求{am}的前n项和Sm· A 单元过关（六）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数f(x)=sin(十g)(o>0,g<2)的最小正周期为x,(-日，0)为 f(x)的一个对称中心 (1)求f(x)的解析式及单调递增区间. (2)当x1,x2∈ ,9+]0cN)时，设1/）-fc川的最大值为F0求F0)的值蚊 (3)把曲线y=寸α)的图象向右平移。个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到 原米的2倍，纵坐标不变，得到曲线y=gc)的图象.试问当m,n∈0，）时， g(m),g(n),g(m+n)能否作为△ABC的三边长？若能，给出证明，并探究△ABC 的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由. 单元过关（六）数学第8页（共8页）