05三角函数的图象与性质专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以周期、对称性、奇偶性为核心，通过方法总结与分层题型构建三角函数图象与性质的系统性训练，强化数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期计算|提示1-5+第3题|不同三角函数（含绝对值）周期公式|从基础周期到复合形式的推导拓展| |对称性应用|第1、5题|对称中心/对称轴与周期关系|几何直观与数量关系的转化| |奇偶性判断|第2、4题|奇偶性充要条件（φ值确定）|概念属性与代数表达的对应| |图象综合|第6、9、15题|由图象求解析式及变换|数形结合的模型构建与应用|

2027届高三数学复习专项练习——三角函数篇 05 三角函数的图象与性质 提示： 1.（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝， （2）函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. （3）函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|， （4）函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝. （5）函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 专项练习： 1．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图像关于点中心对称，所以， 即，所以的最小值为. 2. 【人教A版必修一习题5.4第3题改编】 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D.. 【答案】C 【详解】定义域为R,且，所以是偶函数，故A项不是；定义域为R,且，所以是偶函数，故B项不是；定义域为R,且，所以是奇函数，故C项是；定义域为,但，所以既不是奇函数，也不是偶函数，故D项不合题意. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2026·四川巴中·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项,当时,,故,在上单调递增, 所以A选项错误;对于B选项, 的定义域为关于原点对称, 且,所以是奇函数, 所以B选项错误; 对于C选项, 定义域为R，且,所以是偶函数,且最小正周期为π;当时,,故,在上单调递减, 所以C选项正确; 对于D选项, ,最小正周期为,所以D选项错误. 4．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以．由于为偶函数，所以对任意x， 均有．取，得，从而．结合，得． 5．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的范围可知函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，从而可得，根据正切函数的对称中心，求出的值即可得答案. 【详解】因为，所以，所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，又因为函数的对称中心为， 由题意可得，令，得， 将代入得，从而得，所以. 6．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，定义域为，为偶函数，不符合题意；对于选项B，，定义域为，为偶函数，不符合题意；对于选项C，，定义域为，函数是奇函数，当时，，则，不符合题意； 对于选项D，，定义域为，函数是奇函数，符合条件. 7．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得，再根据单调性结合周期性特征可得，代入检验可得，即可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数的图象关于原点对称， 则，且，可得，即，又因为在区间上单调递减，则，可得，且，则，解得，可得，若，则在区间上单调递减，符合题意； 若，则在区间上单调递增，不符合题意； 综上所述：，，所以. 8．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用转化与化归的思想，将函数化归为函数，结合函数的图象即可解决问题． 【详解】 因为且，所以，即， 因为函数在区间上恰有条对称轴，由函数的图象可知，化简得，所以正整数的取值集合为． 9．（多选）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B．函数图象的对称中心为（） C． D．不等式的解集为（） 【答案】BCD 【详解】由图象知相邻渐近线为和，间距为，故周期，. 时，有，又，解得， 由，得，因此. A选项： 由可知，A选项错误； B选项：正切函数的对称中心为，令，得，即函数图象的对称中心为，B选项正确. C选项：， ， 故，C选项正确. D选项：当时，；当时，. 不等式等价于，即， 解得，即，D选项正确. 10．（多选）（26-27高三上·山西朔州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以对于都有，即恒成立，所以，因为，所以，A正确； 对于B，，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，由A选项可知，将其图象向右平移个单位长度后所得函数为，与的图象不重合，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 因为关于轴对称，所以，解得，因为，所以当时，的最小值为. 11．（多选）（2026·云南·三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，，因为的图象与的图象关于轴对称，所以，即， 可得或，因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时，而当时，，此时，所以，故D正确. 12．（2026·陕西·三模）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以， 所以，所以 因为，所以不恒为0，所以，解得. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 【答案】 2 【分析】根据偶函数的定义可得或，结合可得，再根据可得，，结合单调性分析求解. 【详解】函数为偶函数，要求对任意成立.即. 展开得.因此对任意成立. 由于，所以不可能恒有，故，且，于是或. 又，即，所以.此时.由得. 所以，，即，，又，故可能为， 且，因为，则，因为在上单调递减， 则，解得，只有满足.因此，. 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，因为函数在上单调递增，则，即，可得，解得，且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且，则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为，若函数为偶函数，则，即，且，则，若，则，， 即或在内恒成立，可知函数在上单调递减，不符合题意，若，则，， 即或在内恒成立，可知函数在上单调递增，符合题意，且或；综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 15．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，递增区间为，递减区间为 【分析】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可； （2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得的值域与单调区间. 【详解】（1）函数，当时，，则当，即时，，即，解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4． （2）依题意，，因此函数的值域为； 由，，解得，， 由，，解得，， 所以函数的递增区间为， 递减区间为． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)详细见解析 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【详解】（1）根据题意知 ，根据正弦函数的周期公式，所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，函数的值域为 （3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象；再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 17．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)时，，或时， 【分析】（1）本题考查正弦型三角函数解析式、单调区间、图像平移变换以及闭区间上最值，由的最小值得到半周期，求出，代入最高点坐标求，利用整体代换求单调递增区间； （2）按照 “左加右减” 得到平移后，再换元求指定区间最值. 【详解】（1）因为对任意恒成立，且的最小值为， 所以，根据，得到，又因为的图象经过点，所以， 即，解得， 即，又因为，所以取可得，所以， 因为正弦函数的单调递增区间为，令， 所以，解得， 所以单调递增区间为； （2），因为，所以， 当时，即时，， 当或时，即或时，. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 【答案】(1)，单调递增区间，； (2)选①，最小正周期；选②，此时不唯一，故不符合题意；选③，最小正周期． 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【详解】（1） ； 因为，则；； 令，解得； 故的单调递增区间为，； （2）由（1）知，，令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即，解得，因为， 则，故，解得；，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上，则，即，，解得， 综上，，；，；此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为，则，解得， 因为，故，；，的最小正周期． 19．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式、对称中心、单调增区间； (2)若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）由正弦型函数性质及给定值域列出方程求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）的结论求出函数在上的最小值，再利用给定不等式列式求解. 【详解】（1）由，得，则，又，于是，即有，解得，所以函数的解析式为； 由，解得，函数的对称中心为； 由，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，得，则，因此； 由任意，存在使得，得当时，， 即，由，得， 因此，解得，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学复习专项练习——三角函数篇 05 三角函数的图象与性质 提示： 1.（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝， （2）函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. （3）函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|， （4）函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝. （5）函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 专项练习： 1．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2. 【人教A版必修一习题5.4第3题改编】 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D.. 3．（2026·四川巴中·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B．函数图象的对称中心为（） C． D．不等式的解集为（） 10．（多选）（26-27高三上·山西朔州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 11．（多选）（2026·云南·三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 12．（2026·陕西·三模）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为_____________． 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 15．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 17．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 19．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式、对称中心、单调增区间； (2)若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $