单元过关(五) 一元函数导数及其应用-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（五） 数学·一元函数导数及其应用 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 7 8 答案 1.如图，有一个无盖的盛水容器，高为H,其可看作将两个完全相同的圆台中面积较大的 底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的 体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为f(t),则下列函数图象中最有 可能是f(t)的图象的是 () VA H C D 2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim f(2+h)-f(2-h)1 ,则f(2)=() h0 h 1 A.-1 C.1 D.4 单元过关（五）数学第1页（共8页） 不是看到希望才坚持，是坚持才有希望 3.已知函数f(x)=x3+bx2十cx的图象如图所示，x1,x2是f(x)的极值点，则x+x一 班级 3x1x2= ( 姓名 得分 号 C.-1 4.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=一f'(-1)x3十2x2一2，则f(2)=（) A.20 B.18 C.16 D.14 5.若函数f(x)=ax2一2x十blnx(ab≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是() A.a+6<0 B.a+6>0 C.ab<0 D.ab>0 6.函数y=xcos x一sinx在下列区间上单调递增的是 () A B.(π，2π) c.22 /3π5π D.(2π，3π) 7.微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数入（λ∈ [1017,1),可得系统的能量E=2E:入，若E。=E1=…=En=2,n∈N,n为常数，则 至0 () A.当E取最小值时，nλn+1一1=(n+1)λm B.当E取最大值时，nλm+1+1=(n+1)入” C.E无最小值 D.E无最大值 8.两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于90°的角.若曲线y=er与曲线y =1n工的两条公切线的夹角为30°，则(，3+1)(1十1na)= () a A.3-1)ln3 B.（3+1)1n3 c.3-1)ln3 (w3+1)ln3 D. 2 单元过关（五）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.已知函数f(x)=lnx-1,则 () A直线y-。是f)过原点的一条切线 B.f(x)关于y=x对称的函数是y=ex+1 C.过一点(a,b)可以有3条直线与f(x)相切 D.f(x)≤x-2 10.已知一1为函数f(x)=x3一3x十a的一个零点，则 () A.f(x)的图象关于(0，一2)对称 B.f(x)<0的解集为（一∞，2） C.当x∈(0,1)时，f(x2)<f(x) D.当x∈[m,n]时，f(x)∈[-4,0]，则n一m的最大值为4 11.曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数，f"(x)是f'(x)的导函数，则曲线 1+)则下列说法正确的是（) f"(x)川 y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率k= A.曲线y=cosx上不存在曲率大于1的点 B曲线y-x2+x在点(-2，-)处的曲率最大 线x2士1y>0)在点0,2)处的曲 D.若曲线v=nx在点(Gnc)与znx2)红≠x处曲率相等，则0<x1x< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3一2x2一5x,则曲线y=f(x)在点（一1，f(一1）)处的切线方程 为 A 单元过关（五）数学第3页（共8页） 13.已知函数f(x)=cos2x·sin2x在[a,b]上单调递减，则b一a的最大值为 14.已知f(x)是定义域为（一∞，0）U(0,十∞)的奇函数，记f(x)的导函数为f'(x),且当 0时。>0恒成立.若关于x的方程F1一a)=了W一)有解，则正实数0 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 5.(13分)已知函数f=3x3+21-a)z2+a+2)x+2a,a∈R (1)若f(x)为增函数，求实数a的取值范围； (2)若函数g(x)=f(x)-(2a十2)x,求g(x)的单调区间. 单元过关（五）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=ax2十2x+2. (1)讨论f(x)的最值； (2)当x≥0时，2e≥f(x),求实数a的取值范围. 单元过关（五）数学第5页（共8页） 17.(15分)已知函数f(x)=e- (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间； (3)当x2>x1>1时，判断f(x2)-∫(x1)与2-2的大小，并说明理由. x2 x1 单元过关（五）数学第6页（共8页） A 18.(17分)已知函数f(x)=xln(x+a). (1)当a=0时，求f(x)的极值. (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2). (i)求实数a的取值范围. (i)证明：-。兰<fx1<0. A 单元过关（五）数学第7页（共8页） 19.(17分)定义“下凸函数”：f(x)在区间I上，对任意x1,x2,…,xn∈I,均有 f f(x) 1=1 n 一，当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立.若函数f(x)在区间I上存在二阶 可导函数，则f(x)为区间I上的“下凸函数”的充要条件是f"(x)≥0(f”"(x)为 f'(x)的导函数). (1)若函数f(x)=aex一x2是[0,2]上的“下凸函数”，求a的取值范围. (2)已知函数g(x)=-cosx. ①证明：g(x)在 。元 02 上为“下凸函数”. ②证明：当x∈ 6’3 时，cos3x-3cosx≥-2√2. (3)已知正实数x1,x2,…,xm满足x1十x2十…十xm=1,求(e1一x1)(e2一x2)… (em一xm)的最小值（用n的代数式表示）. 单元过关（五）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 2 (2)由(1)知f(x)= }1十g2其定义域 3x-1 (3)由(2)知，f(x)=1+3-1, 为(-∞，0)U(0,+∞)， 显然f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上均单调递减， 当01时，08-121+322， 所以f(x)在(0,1]上的值域为[2，+∞) 2 且当x∈(-∞，0)时，3∈0,1)，3=-1∈ (12分) -0,-2),所以f(x)=1+3=1 2 又gx)=log:专logs号+m =(1og3x-1)(1og3x-2)+m (-∞，-1)： =(1og3x)2-31og3x十2+m,x∈[3,27]， 同理，当x∈(0，十o∞)时，f(x)∈(1，+∞). 令logx=t,t∈[1,3]， (7分) 若∫(x+1)>f(3-2x),可能满足以下几种 则y=-3+2+m=-》°-是+m, 情况： x+1>0, 所以当：-受计ym=一+： ①3-2x>0, 解得-1<x<3 当t=3时，ymax=2十m, x+1<3-2x, 所以g(x)在[3,2刀上的值域 [号+m2+, @k+1>0, 3 (15分) 3-2x<0, 解得x>2 因为Hx1∈[3,27]，3x2∈(0,1]，使得g(x1) x+1<0, =f(x2)成立， ③3-2x<0,无解. 所以[+m,2+m]=B,to) x+1<3-2x, 9 综上，x的取值范围是(-1，)U(:,+∞）片】 可得- 是十m≥2，解得m≥}， (16分) (10分) 所以实数m的取值范围 [+ (17分) 2026一2027学年度单元过关（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 4.D【解析】由f(x)=-f'(-1)x3十2x2-2,得 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 f'(x)=-3f'(-1)x2+4x,所以f'(-1)= 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 -3f'(-1)-4,解得f'(-1)=-1,所以f(x)= 变慢，后由慢变快 x3+2x2-2,则f(2)=23+2×2-2-14. 2.D【解析】由导数的定义， 5.C【解析】f(x)=ax2-2x+blnx(ab≠0)， f(2+h)-f(2-h) f'(2)=lim(2+h)-(2-h) 2义域为0，+∞)，则f(c)=2ax-2十名 =12+),f2)- 2ax2-2x+b ,且ab≠0，因为f(x)有唯一极值，点， h 4 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)=1十b十c=0, 所以g(x)=2ax2-2x十b=0有唯一正根. f(2)=8+4b十2c=0,解得b=-3,c=2,所以 若△=4一8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 f(x)=x3-3x2+2x,可得f′(x)=3x2-6x十2， 在极值点，舍去； 2 由韦达定理及极值，点的定义得西十x2=2,x12=3, 若△=4-8ab>0,即ab<2,则ga)=2ax2 所以x1十x号-3x1x2=(x1十x2)2-5x1x2=4 2x十b=0必有一正一负两个根，根据韦达定理得 102 33 b<∠0，所以ab<0, ·15· A 2027 单元过关 6.B【解析】由y=xcos x一sinx,得y'=cosx- 由两条切线的夹角是30°，根据对称性知曲线y= xsin x-cos x=-xsin x. er的切线l2的倾斜角为60°，即切线l2的斜率为 对于A,当x∈（行）时，sinx∈0,1)，此时 √3.设直线l2与曲线y=er的切，点坐标为 y=-nx<0:当x∈(，3）时，mxe(-1.0 (x0,eao),由于y'=aeax,所以ae0=√3，则直线 l2的方程为y-e。=√3(x-xo),即y=√3x 此时y=一x咖>0，所以该函数在区间（经上 3+e=3x-3x+ ,设直线12和y= a 单调递减，在区同(，）上单洞选增，故A错误： 对于B,当x∈（π，2π）时，sinx∈（一1,0），此时 的知点复标是）由于y-正所 a y'=一csin x>0,所以该函数在区间(r,2π)上单 =3,则直线2的方程为y 以、 In zi 调递增，故B正确； a 对于C,当x∈(，2m)时，sinx∈(-1,0)，此时 服，即y=3x3x1,于是 y=-xx>0,当x(2,）时，smx∈01 -万，+店-+，即） a 此时y'=一xsin x<0,所以该函数在区间 (受2上单拥道增，在区同(，）上单网道 Ina,(1-axo)=In -az. a 减，故C错误； 对于D,当x∈(2π，3π)时，sinx∈(0,1)，此时 由ae,=3,两边取对数可得lna十axo=2血3， y'=一xsin x<0,所以该函数在区间(2r,3π)上 单调递减，故D错误. 由1=5，得到，3a1=1,两边取对数得2n3十 ax 7.D【解析】由题意可得E=EA=2(1十入十 lna十lnx1=0,分别把上述条件代回原等式，得 =0 2+…+”)=2.1-1 1 1-λ 到5(-2h3+lna）=nx-1=-lha-2n3 令fa)=2.1- 1-A∈0”，1)， -1,整理可得(3+1)(1+lna)= (W3-1)ln3 2 则f'a)=2.-m+1)A"(1-A)+1-A+1 二、选择题 (1-λ)2 =2.1+1-(m+1）x 9.ABD【解析】对于A,设切点(m,lnm一1)， (1-λ)2 则飞=f'(m)=1-nm-1-0 令g(a)=1+n以+1-(n+1)1",λ∈10-17,1)， m m-0 则g'(0)=n(n十1)入"-n(n+1)λ"-1 1 =n(n+1)λ"-1(0-1)<0， 所以lnm一1=m·m,即lnm=2,所以m=e, 所以g()在[10-1”，1)上单调递减，又注意到 切点(e2,1),所以过原点的切线方程为y一1= g(1)=0,所以g(1)>0,从而f'(a)=2· x-e2 )>0,fa)在[10”，1)上单调递增。 g() ,即y=故A正确； 对于B,由反函数的概念可得y+1=lnx,即e+1 则f(101)≤f()<f(1),故E无最大值，有最小 值，取最小值时入=1017，故A,B,C错误，D正确. =x,所以y=e+1,故f(x)关于y=x对称的函 1n工 数为y=e+1,故B正确； 8.C【解析】易知，曲线y=eax与曲线y= 对于C,当点(a,b)在f(x)上方时，如图所示， 于直线y=x对称，如图所示. 结合图象可知，最多有两条切线； v=e y=x (a,b y=Inx- A ·16· ·数学· 参考答案及解析 当点(a,b)在f(x)下方时，没有切线； 当点(a,b)在曲线上时，只有一条切线，故C错误； (2x+1)取最小值，取最大值，且g()- 对于D,由于x∈(0，+o∞)，设g(x)=x-lnx-l, 1 、】=一，所以曲线y=x十x在 则gr)=1,令gx)>0,得x>1令g'(x)< (日，-)处的由率最大，放B正确： 0,得0<x<1. 所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单 时于C,由x+若=10>0，可释y=2. 调递减，所以g(x)≥g(1)=0,即lnx≤x-1,所 √1-x2,令h(x)=2√1-x2,则h'(x)= 以f(x)≤x一2，故D正确. 10.AD【解析】f(-1)=-1+3十a=0,则a=-2, 2V-x+ 2x2 V-x,则h"(x)= 2x √1-x 所以f(x)=x3-3x-2=(x+1)2(x-2), 1-x2 所以f(x)十f(一x)=一4，所以f(x)的图象关 2 于(0，一2)对称，故A正确； 3,所以h'(0)=0,h"(0)=-2,所以 令f(x)=(x+1)(x-2)<0,可得x≠-1且 (1-x2) x<2,故B错误； 曲线x2+y =10y>0)在点(0,2)处的曲率k= 因为当0<x<1时，0<x2<x<1,而f'(x)= |h"(0)l 3x2-3<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减，所以 =2,故C错误； [1+(h'(0)2] f(x2)>f(x),故C错误； 由于f(x)=x3-3x-2,f'(x)=3x2-3= 对于D,设m(x)=1nx,则m'(x)=1 ,m”(x)- 3(x+1)(x-1), 1 所以在区间(-∞，-1)，(1，十∞)上，f'(x)>0, ,则y=m(x)在点(c,m(z)）处的曲率E= f(x)单调递增， 又 在区间(-1,1)上，f'(x)<0,f(x)单调递减， m"(x) x 由f(-1)=0,f(1)=-4,f(-2)=-4,f(2)=0, [1+(m'(x)2]立 + 2+1),因 画出f(x)的大致图象如图所示， 为曲线y=lnx在点(x1,lnx1)与(x2,lnx2) （x1卡x2)处曲率相等，所以工1 (x7+1) x子 a十1)甲中D),鉴理可得 (x-x)[xx(x十x号)十3xx-1=0,因 为x1卡x2且x1,x2均为正数，所以xx号(x十 D选项中，当x∈[m,n]时，f(x)∈[-4,0]， x)十3xx号一1=0，由基本不等式可得xx(x 由图可知，n一m的最大值为4，故D正确. 十x)+3xx-1=0>2x7x·x1x2十3xx 11.ABD【解析】对于A,设f(x)=cosx,则 1,即2(x1x2)3+3(x1x2)2-1<0,令t=x1x2> f'(x)=-sinx,f"(x)=-cosx,所以k= 0,则2t3+3t2-1<0,即(2t-1)(t+1)2<0,由 |f"(x) +(f'(x)22a+sin2x)≤|cosx小≤1， 于>0，解得0<<日：即0<<日故D 所以曲线y=c0sx上不存在曲率大于1的，点， 正确. 故A正确； 三、填空题 对于B,令g(x)=x2+x,则g'(x)=2x+1, 12.2x-y十4=0【解析】由题意得f'(x)=3x2 g"(x)=2,所以k= g"(x) 4x-5,所以切线的斜率为k=f'(一1)=3十4一 [1+(g'(x)2] 5=2,又f(-1)=-1-2+5=2,所以曲线y= 2 0+(2z+1)]故当x=- 2时，1+ f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程为y一2 =2(x+1),即2x-y+4=0. ·17· A 2027 单元过关 13.【解折】f(x)=6osx·sn2z =(x-a)(x+1), (6分) 当a=-1时，g'(x)=(x十1)2≥0，此时g(x) =(分ms2r+）·in2x, 的单调递增区间为R,无单调递减区间；(7分) 当a>-1时，令g'(x)>0,得x<-1或x>a, 由y=名0s2x十号与y=5如2x的周期均为 令g'(x)<0,得-1<x<a, 此时g(x)的单调递增区间为（一∞，一1）， 元，则f(x)的周期为元，不妨设x∈[0，π]， (a,+o∞)，单调递减区间为(-1，a); f'(x)=2cos2xcos 2x-2sin xcos x sin 2x= 当a<-1时，令g'(x)>0,得x<a或x>-1, 2cos2x(cos 2x-2sin2x)=2cos2x(2cos 2x-1), 令g'(x)<0,得a<x<-1, -1 令f'(x)≤0，即cos2x≤2' 此时g(x)的单调递增区间为（一∞，a), (一1，十∞)，单调递减区间为(a,一1)，(11分) 解得xe[吾+，+keeZ。 综上，当a>-1时，g(x)的单调递增区间为 故f(x)的单调递减区间为 晋++ez （-∞，-1)，(a,十∞)，单调递减区间为（一1，a)； 当a=一l时，g(x)的单调递增区间为R,无单调 递减区间； 故b一a≤3 当a<-1时，g(x)的单调递增区间为(-∞，a), f(r)>0恒成立， 1(o,【解折】当x<0时 (-1,+∞)，单调递减区间为(a,-1).(13分) 16.解：(1)当a<0时，f(x)存在最大值，无最小值， 即f'(x)与f(x)同号，当f(x)>0时，可得 f'(x)>0,此时f(x)在(-∞，0)上单调递增； 共最大位为(-)-()”-日+2=2-： 当f(x)<0时，可得f'(x)<0,此时f(x)在 (2分) (一∞，0)上单调递减， 当a=0时，f(x)=2x十2，f(x)在R上单调递 因为f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,十∞)的奇 增，无最大值也无最小值； (3分) 函数，根据奇函数的性质，可得∫(x)在关于原点 当a>0时，f(x)存在最小值，无最大值， 对称的区间上单调性相同，即f（x)在 (一∞，0)和(0，十∞)上的单调性相同，即要么均 其城小值为(-)-(-日)》”-吕+2=2日 递增，要么均递减，又因为f(1一ax)= (5分) f(-x)有解，由-x>0,a>0,可得1-ax>0, 综上，当a<0时，f)的最大值为2-是无最小值， √一x>0,要使得方程f(1一ax)=f(W一x)有 当a=0时，f(x)无最大值也无最小值； 解，则1一a.x=√一x,令t=√一x,t>0,则a 当a>0时x)的最小值为2-日，无最大值。 4≤4，所以正实数a (6分) 的取值范国为(0,4] 1 (2)由2e≥f(x),得2e-ax2-2x-2≥0， 设g(x)=2e*-a.x2-2x-2,x∈[0，十o∞)，得 四、解答题 g(0)=0, 15.解：(1)因为f(x)为增函数， g'(x)=2e-2-2ax,且g'(0)=0,(8分) 所以f'(x)=x2十(1-a)x十a十2≥0在R上恒 设h(x)=g'(x)=2e-2-2ax,x∈[0，+o∞)， 成立， 则h'(x)=2e-2a, 所以△=(1-a)2-4(a+2)≤0，即a2-6a- h'(x)在区间[0，十∞)上单调递增， 7≤0，解得-1≤a≤7，即实数a的取值范围为 当a≤1时，在区间[0，+∞)上，h'(x)≥0， [-1,7]. (4分) g(x)单调递增，所以g'(x)≥g'(0)=0, (2)由于g(x)=f(x)-(2a+2)x (10分) -3+分a-ax2-ax+2a, 所以g(x)在区间[0，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0. (11分) 所以g'(x)=x2+(1-a)x-a 当a>1时，令h'(x)=2e-2a<0,得x<lna, ·18· ·数学· 参考答案及解析 所以当x∈(0，lna)时，h'(x)<0,g'(x)单调递 设g(x)=(x十a)ln(x十a)十x, 减，所以g'(x)≤g'(0)=0, (14分) 可知g(x)在(-a,十∞)上有两个变号零点， 所以g(x)在区间(0，lna)上单调递减， 则g'(x)=2十ln(x十a), 所以g(x)≤g(0)=0,与题设矛盾. 综上，实数a的取值范围为(-∞，1]. (15分) 当re(-a,-a)时gc)<0,g)单调通减： 1解0油属藏)-兰得fe)仁《心。 x2, 当z∈（日-a,+∞）时gx)>0,gx)单调递增。 则f'(1)=-2,而f(1)=1, (2分) 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 则g)=g(-a）=-a, 为y-1=-2(x-1),即2x十y-3=0.(4分) 且当x趋近于十∞时，g(x)趋近于+∞， (2)函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,+∞)， (10分) 且f'(x)=-x-1)e4 当x趋近于一a时，g(x)趋近于一a, (5分) 1 当x<-1时，f'(x)>0;当-1<x<0或x>0 可得 e2a<0解得二a<o 时，f'(x)<0, -a>0, 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，一1），单调 所以实数a的取值范围为（是，0）小 (13分) 递减区间为（一1,0），(0，十∞). (7分) (3)当x>x>1时，f(x)-f,>2-2 (i)证明：由(1)可知，-a<1<日-a, (8分) 且(x1+a)ln(x1+a)+x1=0,所以f(x1)= 证明如下： ziIn(z1+a)=-(z1+a)In2(x1+a), 令g(x)=fx)2-e-2 ,x>1, 设Ax)=-xlnx(0<x<),显然h(x)<0, 则g'(x)=-x-1)e+2 又h'(x)=-(2+lnx)lnx, x 令h(x)=(-x-1)e-2+2,x>1, 因为x∈(0,3)，则'(x)<0, 则h'(x)=xe1-x>0, (10分) 可知h(x)在(0，。)上单调递减， 故h(x)在(1，十∞)上单调递增， 则h(x)>h(1)=0,即g'(x)>0, (12分) 且（）=-可得-<)<0， 故g(x)在(1，+∞)上单调递增， 则当x2>x1>1时，g(x2)>g(x1), 所以-<f)<0, (17分) 所以fx:)-f(x)>2-2 (15分) 19.(1)解：由函数f(x)=ae-x2,可得f'(x)= x2 x1 18.(1)解：当a=0时，f(x)=xlnx,x∈(0，十∞)， ae*-2x,f"(x)=ae2-2, 且f'(x)=1+lnx, (1分) 因为f(x)=ae-x2是[0,2]上的“下凸函数”， 所以f(x)≥0在[0,2]上恒成立， 当x∈(o,)时，f'(a)<0,fx)单调递减， 即ae-2≥0恒成立， 2 当x(日，十∞)时，f'x)>0,f(x)单调递增。 所以u≥。在[0,2]上恒成立， (2分) (4分) 令A(e)=是则()=-2e, 所以f(x)的极小值为 。,无极大值. 当x∈[0,2]时，h'(x)<0,所以h(x)在[0,2]上单 (5分) 调递减， (2)(①)解：由题意可得，f(x)的定义域为（一a,十∞）， 所以h(x)max=h(0)=2,所以a≥2， (4分) 1 即实数a的取值范围为[2，十∞). (5分) 且f'(x)=ln(x+a)+ ·[(x十a)· (2)证明：①由g(x)=一cosx,可得g'(x)= In(z+a)+z], (6分) sin x,g"(x)=cos x, ·19· A 2027 单元过关 当x∈0，时，8()=c0sz≥0，根据下凸 则h'(x)=e-1 er-x 函数”的充要条件，可知8(x)在0，上为“下 h"(x)= e(e2-x)-(e2-1)2e2(2-x)-1 (e2-x)2 (e-x)2, 凸函数” (8分) (13分) ②因为x∈ ππ 63 ,所以π-3x∈0,2] 因为0<x<1,所以2-x>1,e>1, 所以e*(2-x)-1>0,即h"(x)>0, 又cos3x-3cosx=-cos(元-3x)-cosx 所以h(x)在(0,1)上是“下凸函数”，(14分) cosx-cosx=g(π-3x)+g(x)+g(x)十 所以)+h)++)≥h(+x+…+）, g(x), 根据“下凸函数”的性质有 即ln(ei-x1)十ln(e?-x2)十…十ln(ea-xm)≥ gx-3z)+8e)+8)+8a>≥g(=3x++x+） 4 4 a(分）=ah(e)=n(e信”， (任）- (10分) 即h[e的1-x)(e-x)…(e-x)]≥n(e-）”, 故cos3x-3cosx≥-2√2，当且仅当x=π 所以(e-1)(-x2)…(e,-x)≥(e-）八， 3x,即x=于时，等号成立。 (11分) 当且仅当x1=x2=…=xn=二时，等号成立， (3)解：因为正实数x1,x2,…,xm满足x1十x2十 (16分) …十xn=1, 所以(e1一x1)(e2一x2)…(em一xn)的最小值 所以x1,x2,…,xn∈(0,1)， 令h(x)=ln(e-x),0<x<1, 为(-)” (17分) 2026一2027学年度单元过关（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 4.C【解析】函数y=tan2x的图象平移后得到 1.D【解析】f)的对称描的方程为上=冬十x y=tan(2x十2m)的图象，若其关于点(0,0)对称， b∈Z,当k=-2时，x=-3x 则2.0叶2m经G,解得m-“c∈D, 4 2 2.A【解析】在△ABC中，0<A<π，一方面，若 又m>0,所以m的最小值为子 如A>号则贤<A<所以A>减主：走 4 4 5A【懈指】南因如-径-是-营即T- 3 分性成立； 又T=-智且o>0,明a=8 另-方面，若A>取A-则5血A-日< 6.D【解析】分别作出函数g(x)=(mx-1)2= 所以血A>竖不成立，故必要性不成立，所 √2 m2x-1)与函数h(x)=sinx十m的大致图象， 1 以“snA>是“A>”的充分不必要条件. 分两种情形：当0<m≤1时，一≥1，如图1， 'm 2 =g(x) 3.C【解】当-受+长x<2x-< 4 +kπ，k∈Z y=g(x) 时，y=-a2x一贸）单羽递减， h(x) 01 图1 图2 ·20·