导数 专项测试卷（基础）-2027届高三数学一轮复习

导数章节测试卷（基础版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 在 处可导，则 等于 A． B． C． D． 【答案】D 导数的定义是 ， 即「函数值的改变量除以自变量的改变量」的极限。 现在待求式分母是 ，而分子里自变量的改变量是 ，两者不匹配。 办法是「凑」：在分子、分母上同乘同除 ， 。 令 ，则当 时 ，上式右边就是 。 故选 D。 2．已知直线 是函数 图象的一条切线，则 A． B． C． D． 【答案】A 先求导数：，（）。 直线 的斜率为 。设切点横坐标为 ， 由「切线斜率等于切点处的导数值」得 ，解得 。 把 代入 求切点纵坐标：，切点为 。 切点在切线上，代入 ：，解得 。 所以 。故选 A。 3．已知 是函数 的极值点，则 A． B． C． D． 【答案】B 定义域为 。求导得 。 因为 是极值点，而 在定义域内，且 在 处可导， 所以必有 ：，即 ， 解得 。 还要检验：把 代回， 。 当 时 、，故 的符号完全由 决定： 时 ， 递减； 时 ， 递增。 于是 确实是极小值点，符合题意。 所以 。故选 B。 4．曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 先确认所给点确实在曲线上：把 代入，，与点的纵坐标一致， 所以题中的「在点 处」就是「切点就是它」。 求导：。 切点处的斜率 等于 处的导数值：。 由点斜式写出切线：，即 。 化为一般式：。 故选 C。 5．曲线 在 处的切线方程是 A． B． C． D． 【答案】C 定义域为 。先求切点的纵坐标： ，切点为 。 再求导。 的导数是 ； 是复合函数，外层是 、内层 ， 由复合函数求导法则，其导数为 。 所以 。 切线斜率 。 由点斜式：。 两边同乘 ：， 即 ，移项得 。 故选 C。 6．设 ，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 三个数都是「对数除以幂」的形状，自然想到构造同一个函数来比较。 令 （），求导： 。 令 得 ，即 。 当 时 ，， 递减。 现在把三个数都写成 在某个点的值： ； ； 。 三个自变量 、、 都大于 ， 落在 的递减区间上；而 ，由递减得 ， 即 ，也就是 。 故选 B。 7．若 是函数 的极小值点，则函数 的极大值为 A． B． C． D． 【答案】C 定义域为 。求导： ，，， 所以 。 因 是极值点，故 ： ，即 ，解得 。 把 代回并通分： 。 分母 ，故 的符号由 决定： 时 ， 递增； 时 ， 递减； 时 ， 递增。 于是 是极大值点（也说明 确是极小值点，与题设相符）， 极大值 。 故选 C。 8．已知 是函数 的一个极值点，则 的极大值为 A． B． C． D． 【答案】D 先把函数展开成便于求导的形式： 。 求导：。 因 是极值点，故 ： ，解得 。 此时 ，。 由 的符号： 时 ， 递增； 时 ， 递减； 时 ， 递增。 故 处取极大值， 处取极小值，与题设相符， 极大值 。 故选 D。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】AC A： 是复合函数，外层是 、内层 。 由复合函数求导法则，，A 正确。 B：把 写成幂的形式 ， 则 ，而题给结果是 ，相差 倍，B 错误。 C：把 写成 ， 则 ，C 正确。 D：用商的求导法则， 。 由辅助角公式 ， 它与选项中的 并不相等（相差系数与相位的变形）， 故 D 错误。 综上选 AC。 10．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，则 A． B． 的零点个数为 C． 的极值点个数为 D．若方程 有三个实数根，则 的取值范围是 【答案】BC 先写出 时的解析式。设 ，则 ， 由奇函数性质 。 A：，而 ， 故 ，A 错误。 B：当 时令 ，因 恒成立， 只需 ，得 （舍去负根），正半轴有 个零点； 是奇函数，其图象以原点为对称中心，故负半轴上的零点为 ； 又奇函数在原点处有定义时 ，故共 个零点，B 正确。 C：当 时， 。 因 时 、，故 的符号由 决定： 在 上递减、在 上递增， 是极小值点。 由奇函数图象的对称性， 是极大值点。 而在 处，当 时 ， 所以 处取不到极值。合起来极值点共 个，C 正确。 D：先看清 的图象形状。 在 上， 从 时的 递减到 ， 再递增到 ，值域为 。 在 上， 从 时的 递增到 ， 再递减到 时的 ，值域为 。 于是当 时： 段有 个根， 段有 个根，共 个根； 当 时：、、 都是根，也是 个根。 而当 时， 段只有 个根、 段无根，只有 个根。 所以 D 给出的范围既多写了 、又漏掉了 ，D 错误。 综上选 BC。 11．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 都有 ，且 ，则 A．曲线 在点 处的切线方程为 B．函数 为偶函数 C．不等式 的解集为 D．若方程 有两个根 ，（），则 【答案】AD 条件 的左端与 的导数只差一个因子，所以先把它凑成积的导数。 两边同乘 ，得 ， 而 ， 所以 ，即 的导数为 。 于是 。把 代入： 左端为 ，右端为 ，故 。 所以 ，两边同除以 ，得 。 A：对 求导得 ， 所以 ；又 ，切点为 ， 切线方程是 ，A 正确。 B：把 代入得 。 因为 ，所以 是奇函数，B 错误。 C：不等式左端 。 于是原不等式等价于 ，即 ，解得 ， 解集为 ，与选项中的 不符，C 错误。 D：记 。 先看形状：， 所以 的图象是上凸的，它与 轴的交点至多两个。 设这两个零点为 ，则 在 内， 而 或 时 。 另一方面， 说明 严格递增，于是对任意 ， ， 也就是说：关于直线 对称的两点中，右边那个点的函数值更大。 反设 ，取 。 由 且 可知 ，故 。 于是 。 另一方面 ，而 在 时为负、在 时为零， 所以 ，与 矛盾。 因此必有 ，D 正确。 综上选 AD。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 存在两个极值点 ，，则 ______． 【答案】 求导得 。 存在两个极值点，说明 有两个不相等的实根， 所以 ，且 、 就是方程 的两根。 由韦达定理：，。 于是 。 其中 。 又 ， 所以 。 故填 。 13．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 求导：。 在 上单调递减， 等价于 在区间内每一点都成立。 注意：当 时， 从 变到 ， 始终为负，所以可以放心地用它作除数。 把不等式两边同除以 ，不等号方向改变： ， 所以只需 。 正切函数 在 上单调递增， 而 ， 故最大值在右端点 处取得： 。 于是 ，即 的取值范围是 。 14．已知函数 ，，则 的最大值为 ______．（参考数据：） 【答案】 定义域为 。求导： 。 在 上 、， 故 的符号由 决定： 时 ， 递减； 时 ， 递增。 所以 是极小值点，函数的最大值只能在两个端点取得。 算右端点：。 算左端点：。 两者作差： 。 把参考数据代进去：，， 所以 ，即左端点函数值更小。 所以最大值为 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 ，．（13分） (1)讨论 的单调性； 定义域为 。求导得 。 下面按 的符号分类讨论。 ① 当 时， 中 、， 故 在 上恒成立， 单调递增。 ② 当 时，令 得 。 当 时 ，， 递增； 当 时 ，， 递减。 合并两种情形： 时 在 上递增； 当 时 的增区间是 ，减区间是 。 (2)若 在区间 内存在零点，求 的取值范围． 先算一个特殊值：， 即 恒为 的零点（但它不在开区间 内）。 ① 当 时，由 (1) 知 在 上单调递增， 零点唯一，就是 ，不在 内，不合题意。 ② 当 时， 先增后减：在 上递增，到了 便转为递减。 若 ，则 ， 在 上递减， 由 得 时 ， 内无零点。 若 ，则 ， 在 上递增， 所以 ，即 在 上恒正。 要在 内有零点，必须在递减段 上出现负值， 而 在 上递减， 所以只需 。 由 得 。 又需要极值点落在区间内，即 ，也就是 。 而 ，故后一条件自动满足。 结合 ，得 。 所以 的取值范围是 。 16．已知函数 ，其中 ．（15分） (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； 当 时，，定义域为 。 先算切点纵坐标：，切点为 。 求导：， 故切线斜率 。 由点斜式写出切线：， 即 。 (2)讨论 的单调区间； 定义域为 。求导： 。 因 ，分母为正，故 的符号由 决定。 ① 当 时， 恒成立，符号只由 决定： 时 ， 递减； 时 ， 递增。 所以 的减区间是 ，增区间是 。 ② 当 时， 恒成立，符号只由 决定： 时 ， 递减； 时 ， 递增。 所以 的减区间是 ，增区间是 。 (3)若 恒成立，求 的取值范围． 对一切 恒成立，等价于「 的最小值大于 」。 ① 当 时，由 (2) 知最小值在 处取得： 。 要求 ，因 ，故 ， 即 ，解得 。 ② 当 时，最小值在 处取得： 。 要求 ，因 ，故 ，即 ， 所以 ，解得 ， 结合 得 。 综上， 的取值范围是 。 17．已知函数 ．（15分） (1)当 时，求函数的单调区间和最值． 当 时，，定义域为 。 用商的求导法则（也可写成 再用积的法则）： 。 因 恒成立，故 的符号由 决定： 时 ， 递增； 时 ， 递减。 所以 的增区间是 ，减区间是 。 于是最大值在 处取得： 。 再看最小值是否存在：当 时 、， 故 ；当 时 。 由于 只能趋近而取不到，所以 没有最小值。 (2)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围． ① 若 ：当 时 、， 故 ；又 ，， 所以 恒成立， 上无零点，舍去。 ② 若 ：求导得 。 两边同乘正数 ，令 。 因乘的是正数， 与 同号。 求导：。 当 时， 使 ，又 ， 故 ，即 在 上严格递减。 而 ，且当 时 （因 占主导，）。 情形一：（即 ）。此时 对一切 成立， 所以 ， 在 上严格递减。 又 ，故 时 ，无零点，舍去。 情形二：（即 ）。此时 ， 又 ，由 严格递减知存在唯一 使 。 于是 在 上成立、 在 上成立， 先增后减，在 处取最大值，故 。 又当 时， 而 ， 所以 。 于是 从 连续地降到 ，在 上恰有一个零点， 符合题意。 综上， 的取值范围是 。 18．已知函数 ．（17分） （1）若 有两个零点，求 的取值范围； 等价于 ， 所以问题转化为「直线 与曲线 有两个不同的交点」。 记 （），求导： 。 令 得 ，即 。 当 时 ， 递增； 当 时 ， 递减， 故 在 处取得最大值 。 再看两端：当 时 ，； 当 时 。 所以 的值域为 ， 要使水平直线 与曲线有两个交点，需 ，解得 。 所以 的取值范围是 。 （2）设 ，若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 把 写开：。 于是 恒成立，即 恒成立， 记 ， 则只需 。 求导： 。 记 ，则 （）， 所以 在 上单调递增。 再看两点处的值： ， 因 ，故 ，即 ； 而 。 所以由零点存在定理及 的单调性，存在唯一 使 ，即 。 于是当 时 ，， 递减； 当 时 ， 递增， 故 。 下面把 算成一个确定的数。由 得 ， 两边除以 ：。 把右边改写：。 于是 。 令 ，则 （）， 在 上单调递增且是单射， 故由 得 ，即 ， 从而 ，。 把 代入 ： 。 所以 ，从而 ， 即 的取值范围是 。 19．已知函数 ．（17分） (1)若 ，，证明：； 当 、 时，。 求导得 。 令 得 。 当 时 ，， 递减； 当 时 ，， 递增。 所以 在 处取得最小值 。 因此对一切 都有 ，得证。 (2)若 ，且对任意 ，，求 的取值范围； 此时 ，注意 。 求导：。 记 ，则 。 当 时 ，故 ， 即 在 上单调递增， 所以 对一切 成立。 ① 当 时，， 在 上递增， 于是 ，符合题意。 ② 当 时，； 又当 时 ， 由 单调递增知存在唯一 使 ， 且在 上 ， 递减。 于是 时 ，不符合题意。 综上， 的取值范围是 。 (3)若 在 上单调递增，求 的最大值． 在 上单调递增，等价于 对一切实数 成立。 记 ，则 。 ① 当 时， 恒成立， 在 上递增。 而当 时 、（因 而 ）， 故 ，不可能满足 ，舍去。 ② 当 时，条件化为 对一切 成立。 因 的下确界为 （取不到），故 。 此时 ，最大值为 。 ③ 当 时，令 得 。 当 时 ，当 时 ， 所以 在 处取得最小值 。 由 恒成立得 。 于是 ， 且当 时等号可以取到。 记 （），求导： 。 令 得 ，即 ，。 当 时 ， 递增； 当 时 ， 递减。 所以 的最大值为 。 比较三种情形： 无解， 时最大值为 ， 时最大值为 。 所以 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数章节测试卷（基础版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 在 处可导，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知直线 是函数 图象的一条切线，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是函数 的极值点，则 （　　） A． B． C． D． 4．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 5．曲线 在 处的切线方程是（　　） A． B． C． D． 6．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 7．若 是函数 的极小值点，则函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 8．已知 是函数 的一个极值点，则 的极大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，则（　　） A． B． 的零点个数为 C． 的极值点个数为 D．若方程 有三个实数根，则 的取值范围是 11．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 都有 ，且 ，则（　　） A．曲线 在点 处的切线方程为 B．函数 为偶函数 C．不等式 的解集为 D．若方程 有两个根 ，（），则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 存在两个极值点 ，，则 ______． 13．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 ______． 14．已知函数 ，，则 的最大值为 ______．（参考数据：） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 ，．（13分） (1)讨论 的单调性； (2)若 在区间 内存在零点，求 的取值范围． 16．已知函数 ，其中 ．（15分） (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调区间； (3)若 恒成立，求 的取值范围． 17．已知函数 ．（15分） (1)当 时，求函数的单调区间和最值． (2)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围． 18．已知函数 ．（17分） （1）若 有两个零点，求 的取值范围； （2）设 ，若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 19．已知函数 ．（17分） (1)若 ，，证明：； (2)若 ，且对任意 ，，求 的取值范围； (3)若 在 上单调递增，求 的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $