单元过关(二) 一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 2 3 6 7 8 答案 1.已知a<b<0,c∈R,则 A.ac2<bc2 C.ab<62 D.a2>62 2.若不等式1<a一b≤2,2≤a十b<4,则4a一2b的取值范围是 A.[3,12] B.(3,12) C.[5,10] D.(5,10) a b 2xx-2 3.若规定 =ad-bc,则不等式 ≤0的解集为 -2 A.{x|x≤-2或x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-1<x<2} 4.一个大于60小于70的两位数，其个位数字比十位数字大2，则这个两位数的两位数字 之和为 ( A.12 B.13 C.14 D.15 单元过关（二）数学第1页（共8页） 乾神未定，你我皆是黑马 5.从直角坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数 班级 的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则 姓名 A.第一象限点比第二象限点多 ------------- B.第二象限点比第三象限点多 得分 C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少 6.已知不等式ax2-6x+a+2<0的解集为{x|1<x<2},且不等式(m2-5m-6)x2+ (m十1)x十a>0对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 () A.(-∞，-1]U(7,+∞) B.(-∞，-1)U[7,+∞) C.(-∞，-1)U(7,+∞) D.(-∞，-1]U[7,+∞) 7若a>06>0,则下列能成为”2。半的最小值为16”的充要条件的是《) A.3a+5b=1 B.3a+5b=2 C.3a+5b=3 D.3a+5b=2 8.定义区间m,n)(m<n)的长度为n一m.设k>0,若对于Va≠1，不等式1十2 x-a'x-1 >k的解集所包含区间的长度之和恒为6，则k的值为 () 1 A.1 B.2 C.2 D.3 单元过关（二）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.17世纪，英国数学家哈利奥特在《实用分析术》一书中首先使用了“>”和“<”符号，但是 直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“>”和“<”符号是1631年才开 始使用的，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今 若非零实数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是 1 1 aba b B. C.a3>63 D.a(a-b)>0 10.若关于x的不等式在(0,1)上恒成立，则称该不等式为单位区间不等式.下列不等式是 单位区间不等式的是 A.2x2-x<0 Bx+>2 C.x2-2x<0 D.x+2>22 11.已知b>1,若对Hx∈(1，+∞)，不等式ax3+4x2-abx-4b≤0恒成立，则() A.a<0 B.a2b=16 C.a2+16b的最小值为32 D.a2+ab+4a+b的最小值为一8 A 单元过关（二）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13 12.已知a>3,b>2,且a-3)6-2)=1,则。3十62的最小值为 13.生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用a>b>0,c>0表示为一个不 等式 14.已知不等式ax2十bx十c>0的解集为{x|一1<x<2}.若不存在整数x满足不等式 (akx+bk2+2c)(2c一bx)<0,则k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)已知a>1,证明：a+2>,3 1-a (2)已知a=x3+y3,b=x2y十xy2,其中x>0,y>0且x≠y,试比较a,b的大小. 单元过关（二）数学第4页（共8页） 16.(15分)某校东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动是该校劳动教育的 特色项目.已知该劳动园地为如图所示的矩形AMPN,C点在对角线MN上，CD⊥ AN,CB⊥AM.经测量AB=10米，AD=8米. (1)设DN的长为x米，试用x表示劳动园地的面积S. (2)某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划 能否实现？并说明理由. 单元过关（二）数学第5页（共8页） 17.(15分)设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,且对Hx∈[0，a+2],f(x)≤5恒成立，求a的取值范围； (2)若对Ht∈[0,2]，f(x)≥7恒成立，求x的取值范围； (3)若对Hx1,x2∈[0,4幻，f(x1)一f(x2)≤8恒成立，求t的取值范围. 单元过关（二）数学第6页（共8页） A 18.17分)若a>06,>0G=1,2,m),m>0,则不等式a b≥ (a1十a2十…十am)m+1 亿子，十…十b)当且仅当_…时，等号成立.这个不等式叫做权方 61 62 和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权 方和不等式是数学中一个重要的不等式. 1)若a,>0,b,>0=1,2),证明：二维形式的权方和不等式2+二≥a1+a) 61+62>b1+b2 (2)已知x:>0(i=1,2,…,5),x1+2x2十3x3+4x4+5x5=30,求x7十2x十3x3十 4x十5x号的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，请指出这种解法是否正确？并说明理由. 已知正数xy满足x2+y2-3x+2=0,求红+2) 3x-2的最大值. 解，尚汉方不等式滑士-牛》-， ,(2y)2 所以口+2y) 3x-2的最大值是5. A 单元过关（二）数学第7页（共8页） 19.(17分)勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有 勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）的意思是：已知直角三角形两条 直角边长，要求一个与Rt△ABC有公共直角的正方形GFEB的边长.记BC=a, BA=6. G D 图， 图2 (1)若a=5,正方形GFEB的边长不小于d,求b的取值范围. (2)图1中Rt△ABC斜边上的中线记为BM,试比较线段BM与BF长度的大小，并证 明你的结论 (3)事实上，Rt△ABC还有另一个内接正方形D'G'F'E'(图2)，该正方形的一边与 Rt△ABC的斜边AC部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正 方形GFEB与正方形D'GF'E'面积，并比较它们的大小. 单元过关（二）数学第8页（共8页）2027 单元过关 2026一2027学年度单元过关（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 11a+13b 7.A【解析】因为a>0,b>0,又 1.D【解析】当c=0时，ac2=bc2,故A错误；由a a2+6ab+4b2 <<0,不坊取a-一26=1，元时日-> 9(a+b)+2(a+2b)9 1 a 2a+26)a+b)-2a+26+a千6的最小值 -1=6a6=2>1=6,放B,C错送：周为a<万 为16，又 9 12(a十2b)+a+b[(2a+46)+(a <0,所以a-b<0,a+b<0,a2-b2=(a-b)(a 十b)>0,即a2>b2,故D正确. 6]=10+%名+≥16，当且仅专 2.D【解析】4a-2b=3(a-b)+(a+b),因为1< a-b≤2，所以3<3(a-b)≤6，又2≤a+b<4, 2a十4ba+6,即a=b时，等号成立，此时该 9(a+b)_2a+4b 所以5<3(a-b)+(a+b)<10,即4a-2b的取 式子取到最小值16，所以(2a+4b)+(a十b)=1, 值范围是(5,10). 11a+13b 3.C【解析】由题意可知，不等式2xx一2 即3a+5b=1.若3a+56=1,里然2a2+6ab+4b ≤0可 -2x 的最小值为16. 化为2x·x十2(x-2)≤0，即x2十x-2≤0，解得 8.B【解析】不妨设a>1,原不等式等价于 一2≤x≤1，所以不等式的解集为{x-2≤x≤1}. x-1+2(x-a)-b(za)(x-1）>0,整理得 4.C【解析】设十位数字为a,个位数字为b,由题 (x-a)(x-1) 60<10a+b<70, x-(ha+k+3)x+(2a+1十如）<0，因为k>0, b-a=2, 2 (x-a)(x-1) 意知 0<a9, 解得5马<a<6m又 可设方程kx2-(ka十k十3)x十(2a十1十ka)=0 0≤b≤9， 的两根为x1,x2(x1<x2),令y=f(x)=kx2 a∈N*,所以a=6,b=8,所以所求的两位数为 (ka+k+3)x+(2a+1+ka),则f(x)的零点为 68,两位数字之和为14. f(a) 5.D【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵 x1x2,原不等式即x-a)z-1)<0. 坐标为正数的点有x个，第二象限的，点即横坐标为 因为f(a)=ka2-(ka+k+3)a+(2a十1+ka)= 负数且纵坐标为正数的点有y个，第三象限的点即横 1-a<0,f(1)=k-(ka+k+3)+(2a+1+ka)= 坐标为负数且纵坐标为负数的，点有之个，第四象限的 2(a-1)>0,结合二次函数图象，可知1<x1<a< 点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有心个.因 f(x) 为横坐标为正数的点比横坐标为负数的，点多，纵坐标 4,则不等式红a2-)<0的解案为 为正数的，点比纵坐标为负数的点少，所以x十心> (1,x1)U(a,x2),此解集所包含区间的长度之和为 y十之①，之十w>x十y②，由①+②，可得>y, (x2一a)十(x1一1)，由韦达定理可得x1+x2= 即第二象限，点比第四象限点少， ka+k+3 6.A【解析】由题意得，一元二次方程ax2一6x十a k -a+1+3 ，所以原不等式的解集所包 十2=0的两根分别为1,2，由根与系数的关系可 得，6 含区间的长度之和为红-a)+(c1-1)=3= =1+2=3,解得a=2,则不等式(m2-5m 1 -6)x2+(m+1)x+a>0,即(m2-5m-6)x2+ 6,解得k=2 (m十1)x十2>0对任意的x∈R恒成立，等价于 二、选择题 |m2-5m-6=0, m+1=0 9.BC【解析】对于A,若a>0,6<0,显然有号<1， 或/m-5m-6>0, 故A错误； (m+1)2-4×2(m2-5m-6)<0, 解得m≤ 对于B,不等式a>b两边同时除以a2b2(a2b2> 一1或m>7.所以实数m的取值范围为（一∞，一1] U(7,+∞). 0),可得1>1 好ab>a6故B正确； A 。4· ·数学· 参考答案及解析 对于C,若a>b>0,由不等式的性质可得a3>b3 三、填空题 成立；若0>a>b,则0<-a<-b,由不等式的性质 12.2√3【解析】由题可知a-3>0,b-2>0, 可得，-a3<-b3,所以a3>b成立；若a>0>b,则显 故1 3+622220‘62-2, 3 1 3 然有a3>b3成立，综上，a3>b3,故C正确； 对于D,由a>b,可得a一b>0,当a<0时，显然有 a(a一b)<0,故D错误. 当且仅当13 a-36-2,即a=3+ 3b=2+V3 10.BCD【解折】2x-x<0的解集为(0，号)，故A 时，￥号成立，所以。+己的最小值为2。 3 错误； +C>。【解析】设原有汤为a,其中含盐量为 13. 多>0时，x+≥2（当且收当=1时，等号成 a+c a 立)放x十>2在@，上恒成立，kB正魂： 6,则汤中美的浓度为名加入盐为：后可得汤中 x2-2x<0的解集为(0,2)，故该不等式在(0,1)上 的2千此时6十66 盐的浓度为十c, a十ca 恒成立，故C正确； 当x>0时，z十2≥22（当且仅当工=2时，等号 理由如下：因为a>b>0,c>0,所以b+c-b Ta+c a a(b+c)-b(ate)_ac-be-a-b)e>0, 成立)，因为2任0,1)，所以x十2>22在 a(a+c) a(a+c)a(a+c) 所以3十c、 (0,1)上恒成立，故D正确. ，所以题中所述事实用a>b>0,c a+c a 11.ABD【解析】对于A,B,因为ax3+4x2-abx-4b ≤0恒成立，即(ax十4)(x2-b)≤0恒成立，又因为 >0表示为一个不等式，即为十>b a+c a b>1,x>1,所以当1<x<6时，x2-b<0,则ax十 14.[1,4]【解析】不等式ax2+bx十c>0的解集为 {x|-1<x<2},则a<0,且-1,2分别为方程 4≥0；当x>√b时，x2一b>0,则ax十4≤0，所以对 ax2+bx十c=0的两根， 于函数y=ax十4，必有函数单调递减，a<0,且零点 为x=√b,所以a5+4=0,所以a2b=16,故A,B -1+2=6 由韦达定理得 a 正确； 4 -1X2=c a 对于C,因为ab十4=0，所以a= 6 即b=-a,c=-2a, /16 将b=-a,c=-2a代入不等式(akx十bk2+2c)· 新以a2+166=16+16b≥2方 ·16b=32,当且仅 (2c-bx)<0, 化简得a2(kx-k2-4)(x-4)<0, 当16166，即6=1时取等号，因为6>1，不符，故C 即(kx-k2-4)(x-4)<0. 错误； 容易判断=0或飞<0时，均不符合题意，所以> 对于Da2++a+6-=-46- 十b 0所以愿不茅式即(。生)-0<0，很随迹 (8+）(6+）-(后+o)-4+） +4≤5且k>0,解得1≤k≤4， 有3≤k 6+)-46+)-8, 四、解答题 5,0)证明：方法一：a+2)% ◆m=6+则m=6+26 =a+2)1-a)-3a2+a+1 a-1 (2分) 1-a 4,当且仅当b=4时，等号成立， 则原式=m2-4m-8=(m-2)2-12(m≥4)， 由于a+a1-e+}+≥>0 故当m=4时，原式取得最小值，最小值为一8，此 时b=4,a=一2，故D正确. 所以当a>1时，a-1>0,a+a+1>0, a-1 50 A 2027 单元过关 即a+2>13a 当t≤0时，f(x)在[0,4幻上单调递增， (6分) 由f(4)-f(0)≤8，可得(16-8t+2)-2≤8，解 方法二：因为a>1,所以a十2>0,1-a<0, 得t≥1，结合t≤0，无解； (8分) 则3。<0.故a+2>户d 3 (6分) 当0<t≤2时，f(x)在[0，t]上单调递减，在 [t,4幻上单调递增，f(x)的最大值为f(4),最小 3 方法三：因为a>1,要证a+2> 1-a' 值为f(t), 即证(a+2)(a-1)>-3, 由f(4)-f(t)≤8，可得(16-8t+2)-(t2-2t2 即证a2+a+1>0, (3分) +2)≤8，解得4-2√2≤t≤4十2√2，结合0<t≤ 112,3、3 由于a2+a+1=(a+2 >0, 2,得4-2√2≤t≤2； (10分) ）+4≥4 当2<t<4时，f(x)在[0，t]上单调递减，在 所以原不等式成立. (6分) [t,4]上单调递增，f(x)的最大值为f(0),最小 (2)解：因为a=x3十y3,b=x2y十xy2, 值为f(t), 所以a-b=x3+y3-(x2y+xy2) 由f(0)-f(t)≤8，可得2-(t2-2t2+2)≤8， =x3+y3-x2y-xy2=(x-y)2(x+y), 解得-22≤t≤2√2，结合2<t<4,得2<t≤2√2； (9分) (12分) 因为x>0,y>0且x≠y, 当t≥4时，f(x)在[0,4幻上单调递减， 所以x+y>0,(x-y)2>0, 由f(0)-f(4)≤8，可得2-(16-8t十2)≤8， 所以a-b>0,即a>b: (13分) 解得t≤3，结合t≥4，无解. (14分) 16.解：(1)因为DN的长为x(x>0)米， 则AN=(x十8)米， 综上，t的取值范围是[4-2√2,2√2].(15分) 由三角形相似可得DN：AN=DC：AM,即 18.(1)证明：因为b1>0,b2>0, AM=10(x+8) (4分) 所以层+会》a,+)-ai++2 b2 所以S=AN·AM= 10(x+8)2 (6分) aib2 aibi x ≥a+a+2 61 62 =(a1十a2)2,当且仅 (2)易知S= 10(x+8)2 =10(+64+16)≥ 当公一时，等号成立， 10e区+，当且仅当= ,即 所以+3a,+a) 以6+6，≥6，+b2 (4分) x=8时取等号， (10分) (2)解：x+2x+3.x号+4x+5x 故当DN的长为8米时，劳动园地面积最小，最 -+2z)2+3x)4) ,(5x5)2 小值为320平方米. 1 2 4 5 显然S>300,所以计划能够实现. (15分) ≥1+2x:+3xa+4x4+5x5)230 17.解：(1)当t=1时，f(x)=x2-2x+2,由 1+2+3+4+5 15 =60, f(x)≤5，可得x2-2x十2≤5，解得-1≤x≤3， 当且仅当x1=x2=x3=x4=x5时，等号成立， 由题意得[0，a+2]二[-1,3]，所以0<a+2≤ 所以x7+2x十3x号十4x?十5x号的最小值为60. 3,即-2<a≤1， (10分) 所以a的取值范围为（一2,1]. (3分) (3)解：这种解法不正确 (11分) (2)对Ht∈[0,2]，x2-2tx十2≥7恒成立， 即-2tx+x2-5≥0，t∈[0,2]恒成立. 原因如下这种解法当且仅当名=，即y2云 所a-a 。解得x≤-√5或x≥5， 时等号成立 (14分) 故x的取值范围是(-∞，一√5]U[5,+∞)， 联立 x2+y2-3x+2=0, 消去y得5x2-3x+2=0, y=2x, (6分) 因为△=一31<0，所以该方程无实数解， (3)问题可转化为f(x)=x2一2tx+2,x∈ [0,4幻的最大值与最小值的差小于等于8. 所以y2,故》的最大值不是 抛物线的对称轴为直线x=t. (17分) ·数学· 参考答案及解析 19.解：(1)设正方形GFEB的边长为x,有x≥d. 易知∠BD'E'=∠CE'F'=A=a, 由题可知，△AGF与△FEC相似， 所以a=BE'+CE'=ysin a+ y 所以有二工=工，解得x= cos (2分) x a-x a十b 则y=一 a 因为a=5,x≥d,显然d<5, 1· sin a+ 所以写6≥d,得6≥ 56 cos a 5-d1 (5分) BC a AB 6 (2)BM≥BF 又na-ACa+Fosa-ACVa+石 2AC=YaFbr 所以y= a ab va+b2 理由如下：由题可知BM= 2 1 a2+62+ab' sin a+- 由(1)可知，BF=√2BE= √2ab cos a a十b 所以正方形D'GF'E'面积为a+b) (a2+b2+ab)2 由基本不等式可知，BM=ya+6、2ab BF (13分) 2 2 -2ab-V2ab 因为a2b2>0, √/2ab a+b2√ab 2, 所以(a+b)4-2ab(a+b)2+a2b2>(a+b)4- 2ab(a+b)2, 石1a名≥22②Qb 2 atb =BF,当且仅 即[(a+b)2-ab]2>(a+b)2[(a+b)2-2ab], 即(a2+b2+ab)2>(a+b)2(a2+b2), 当a=b时等号成立， 即a2+b2+ab>(a+b)√a2+b2, 所以BM≥BF. (10分) (3)我们比较正方形面积的大小，只需要比较其 即1、 、√a2+b2 边长的大小即可. a+b a2+62+ab 由(I)可知正方形GFEB的边长为BE=6 即ab>abva+b a+b' a+ba2+62+ab' 所以正方形GFEB的面积为，a6 所以BE>y. (a+b)2 (11分) 所以正方形GFEB的面积大于正方形D'G'F'E 我们设正方形D'GF'E'的边长为y,A=a, 的面积。 (17分) 2026一2027学年度单元过关（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 3.D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 1.C【解析】由题意得， 3-20'解得x≤3且x 以f(一x)=-f(x),当x≥0时，f(x)=x(1十x), x一2≠0， ≠2，所以f(x)的定义域是(-∞，2)U(2,3]. 所以当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)(1-x) 2.A【解析】集合P到集合Q的函数即集合P中 =一f(x),整理得f(x)=x(1一x)=一x2十x,所以 的任意元素，按照某种确定的对应关系，在集合Q |-x2+x,x<0, 中都有唯一元素与之对应， f(x)的解析式为f(x)= x2+x,x≥0. 对于A,由图象可知符合函数的定义，故A正确； 对于B,显然定义域没有取尽集合P中的元素，不 4.B【解析】由f(8)=1,可逆推得f(7)=2,从而 符合函数定义，故B错误； 可逆推得f(6)=4. 对于C,显然对于集合P中的元素，集合Q中与 5.B【解析】由图②可知，将y-f(x)在x≤0的图 之对应的元素并不唯一，如当x=2时，对应的y 象沿着y轴对称得到y=f(一x),然后再沿着 值有2个，故C错误； 对于D,由图象可知，当x=2时，y=2或y=4,不 x轴翻折得到y=一f(一|x|),即为图②对应的 符合函数定义，故D错误. 函数 。7 A