单元过关(一) 集合与常用逻辑用语-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（一） 数学·集合与常用逻辑用语 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 1.命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是偶数”的否定为 ( A.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 C.存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 D.不存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 2.某校高二1班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100 分.考试成绩非常优秀，每名同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文成绩在 90分以上的有45人，数学成绩在90分以上的有48人，这两科成绩均在90分以上 的有40人，则高二1班共有 () A.45人 B.48人 C.53人 D.43人 3.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a= ( A.-1 B.-3或-1 C.3 D.-3 4.巴知全架U=K,集合A=二5<0，B=女x>2,则图中阴影部分表示的架 合为 单元过关（一）数学第1页（共8页） 你只管劳力，剩下的交给时间 A.{x2<x<5} B.{x|2≤x<5} 班级 C.{x0<x<2} D.{x0<x≤2} 姓名 5.已知集合M= -0,Q=zeN-2x≤2，则MnQ= A.{0,1,2} B.[0,2] 得分 C.(-2,2 D.{1,2} 丘可以使得一气xy≤成立的一个充分不必要条件是 A.x2+y2=1 B.x2+4y2=1 C.x+y=1 D.y=1 7.设等比数列{am}的公比为q,则“q>1”是“{am}为递增数列”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中 “韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的a= b(modn)形式表示a和b除以n的余数相同.已知集合A,B,C满足A={n|n三 2(mod3),n∈N*},B={m|m=1(mod4),m∈N*},C=A∩B.对于集合C中的任意 一个元素c,下列结论错误的是 () A.c=2(mod 3) B.c=1(mod 4) C.c=5(mod 7) D.c=5(mod 12) 单元过关（一）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 9.下列判断正确的是 A.“x∈A”是“x∈AUB”的充分不必要条件 B.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件 10.已知架合A=26a61,B=ha,则 A.当a=b=2时，集合A∩B含有2个元素 B.集合AUB中的元素个数可能为5 C当AnB=②时，号≠2 D.当a=0时，A≠B 11.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则定义△(X)=M一m.据此，下列 命题中错误的是 () A.若X={-1,1},Y={0,b},且△(X)=△Y),则b=2 B.若X={xf(x)≥g(x),x∈[-1,1]}，且△(X)=2,则对任意x∈[-1,1]，都有 f(x)≥g(x) C.若X=[a,a+2],Y={yy=x2,x∈X},则存在实数a,使得△(Y)<1 D.若X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XUY)=3 A 单元过关（一）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,一b},若P=Q,则由a,b组成的集合为 13.若{0,1,2}三M{0,1,2,3,4,5,6},则符合条件的集合M的个数为 26 4.设命题p:0<6a,命题g:,十1N且xN",若力是g的必要条件，则a的取值范 围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知命题p:Hx∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q:3x∈R,x2-4x- a=0.若命题p是真命题，且命题g的否定是真命题，求a的取值范围. 单元过关（一）数学第4页（共8页） 16.(15分)设集合P={x-2<x<3},Q={x3a<x≤a+1}. (1)若P∩Q=⑦，求实数a的取值范围； (2)若PUQ=P,求实数a的取值范围. 单元过关（一）数学第5页（共8页） 17.(15分)已知命题P:“3x∈R,x2一ax+1=0”为假命题，设实数a的所有取值构成的 集合为A. (1)求CRA; (2)设集合B={xm+1<x<2m十1}，若t∈A是t∈B的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 单元过关（一）数学第6页（共8页） A 18.(17分)已知S={1,2,…,n},A二S,T={t1,t2}二S,记A:={xx=a十t:,a∈A}(i=1,2), 用X表示有限集合X的元素个数 (1)若n=5,A={1,2,5},A1∩A2=⑦，求T. (2)若n=7,A|=4,则对于任意的A,是否都存在T,使得A1∩A2=☑？请说明 理由. (3)若A=5,对于任意的A,都存在T,使得A1∩A2=⑦，求n的最小值， A 单元过关（一）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知Q:a1,a2,…,a.为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤ak,集合X={一1,0,1}. 若存在x:∈X,i=1,2,…,k,使得x1a1十x2a2十…十xa.=t,则称t为k一可表数，称集合 T={tt=x1a1十x2a2十…十xak,c:∈X,i=1,2,…,k}为k一可表集. (1)若k=10,a:=2-1,i=1,2,…,k,判定31,1024是否为k-可表数，并说明理由. 3-1 (2)若{1,2，…，n}二T,证明：n≤2 (3)设a;=3-1,i=1,2,…,k,若{1,2，…，2025}二T,求k的最小值. 单元过关（一）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2026一2027学年度单元过关（一）】 数学·集合与常用逻辑用语 一、选择题 满足x十y=1,此时xy=-2,故C不成立； 1.B【解析】命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5, 7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a,数 对于D,取=1y=1,满足y-子此时9=1， 据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数”. 故D不成立. 2.C【解析】设集合A表示语文成绩在90分以上7.D【解析】假设q>1,对于等比数列(an},其通项 的学生，则A中有45个元素，集合B表示数学成 公式为am=a1q”-1.当q=2,a1=-2时，根据通 绩在90分以上的学生，则B中有48个元素，A∩ 项公式可得a2=a1q=-2X2=-4,此时a2< B表示两科成绩均在90分以上的学生，则集合A a1,等比数列{am}不是递增数列，这说明仅有q> ∩B中有40个元素，AUB表示至少有一科成绩 1不能保证等比数列{a,}一定是递增数列，所以 在90分以上的学生，由题意可知AUB中有45十 “g>1”不是“等比数列{an}为递增数列”的充分条 48一40=53个元素，又因为每个同学都至少有一 件；假设等比数列{am}为递增数列，那么am+1> 科成绩在90分以上，所以高二1班共有53人. am.由通项公式可得an=a1g”-1,am+1=a1g",所 3.D【解析】由集合A={12,a2+4a,a-2},且-3 以a1q”>a1q”-1.当a1<0时，不等式两边同时除 ∈A,可得a2十4a=-3或a-2=-3,解得a= 以a1(因为a1<0,不等号方向改变)，得到q”< -1或a=-3.当a=-1时，A={12,-3,-3}, g"-1.例如当n=2时，g2<q,解得0<g<1,这说 不符合元素的互异性，舍去；当a=一3时，A= 明当等比数列{an}为递增数列时，不能保证g> {12,-3,-5},符合题意，综上，a=-3. 1,所以“q>1”不是“等比数列{an}为递增数列”的 4D【每标】由题意A=女5<=x0<x 必要条件. 综上，“q>1”是“{am}为递增数列”的既不充分也 <5},CuB={x|x≤2}，则阴影部分为A∩CB 不必要条件. ={x|0<x≤2. 8.C【解析】因为A={mn=2(mod3),n∈N'}, 5.A【解折】不等式≤0的解兔等价于不等式 则n=3k1-1,k1∈N*,因为B={m|m= 组/红-3)z+1)≤ 1(mod4),m∈N*),则m=4k2-3,k2∈N*,又n x+1≠0 0”的解集即{x≠-1， |-1≤x≤3， =3(k1十2)-7，k1∈N*,m=4(k2+1)-7,k2∈ 得-1<x≤3，即M={x|-1<x≤3}， N,则C={cpcp=12-7,p∈N'}. 又cp=12p-7=3(4p-3)+2,则c=2(mod3), Q={x∈N-2≤x≤2}={0,1,2}， 故A正确； 则M∩Q={0,1,2}. cb=12-7=4(3p-2)+1,则c=1(mod4),故 6.B【解析】对于A,取x=y= √2 ,满足x2+y2= B正确； cb=12p-7=12(p-1)+5,则c=5(mod12), 1,此时列=2，故A不成立 故D正确； 不妨取c=17,不满足c=5(mod7),故C错误. 对于B南x2+2=124y可得-≤y≤ 二、选择题 子，故B成立 9.AB【解析】对于A,当x∈A时，有x∈AUB; 反之，当x∈AUB时，不一定有x∈A,故“x∈A” 对于C,取x=2,y=一1， 是“x∈AUB”的充分不必要条件，故A正确； 1 A 2027 单元过关 对于B,当x∈A时，不一定有x∈A∩B,因为有 14.(26,十o∞)【解析】由命题q:x∈N 可能x∈A,但xB;反之，当x∈A∩B时，必有 x∈A,故“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条 26 件，故B正确： 知，当x∈N时，z中∈N,则x十1为26的正因数， 对于C,因为a>b羚|a>|b台a2>b2,所以不 即为1,2,13,26.当x十1=1时，x=0,不符合题意， 是充分条件，故C错误； 故舍去；当x十1=2时，x=1;当x+1=13时，x= 对于D,a>bac2>bc2,依据为c2可能为0，故D 12;当x+1=26时，x=25.故命题q:x 错误. {1,12,25).由于p是q的必要条件，故{1,12,25}二 10ABD【解析】对于A,当a=b=号时，A 女eR0经只离满足的，即>6故e {日B=份1,2t时AnB=日2，故 的取值范围是(26，十∞). 四、解答题 A正确； 15.解：当x∈R时，(x-2)2-1≥-1，当且仅当x 对于B,令a=2,b=3,则A={2,3,6},B= =2时取等号， 得12此时AUB=合1,236故B正确： 因为命题p是真命题，所以a<-1. (4分) 命题q的否定：Hx∈R,x2-4x-a≠0，(7分) 对于C,令a=6,b=3,则A={2,3,18},B= 因为命题q的否定是真命题， (得1.6故AnB=⑦，但比时分=2，放C错送： 所以△=16+4a<0,解得a<-4. (11分) 综上，a的取值范围是（一∞，一4）. (13分) 对于D,当a-0时A-0,261B-01引根 16.解：(1)由集合P={x|-2<x<3}, 且Q={xl3a<x≤a+1}. 据集合元素的互异性，必有b≠1，若A=B,则两集 因为P∩Q=☑，可分为Q=☑和Q≠☑两种情 合除0外的元去也应有同，甲261=h,公，这需 况进行讨论： 当Q=☑时，可得3a≥a+1, 要满足？=1且6=名”（不成主）成？=名且6=1” b 解得a≥号，此时满足PnQ=②， (2分) (不成立)，故假设A=B不成立，因此A≠B,故D 当Q≠☑时，因为P∩Q=☑， 正确， 11.ABC【解析】对于A,由X={-1,1},Y= 则满足中1支8十得得a≤-8 l3a≥3， {0,b},可得△(X)=2,△(Y)=|b,因为△(X) (6分) △(Y),所以b=2,即b=士2，故A错误； 综上可得，实数a的取值范围为（一∞，一3]U 对于B,例如f(x)=|x,g(x)=1,满足△(X)=2, [1 但是f(x)并不都大于等于g(x),故B错误； 2,+∞. (7分) 对于C,由X=[a,a十]，Y={y|y=x2,x∈X},当 (2)因为PUQ=P,可分为Q=☑和Q≠☑两种 a+2≤0，即a≤-2时，△Y)=a2-(a+2)2= 情况进行讨论： -4a-4≥4；当-2<a≤-1时，△(Y)=a2≥1； 1 当-1<a<0时，△(Y)=(a+2)2>1;当a≥0 当Q=时，可得3a≥a+1,解得a≥2，此时满 时，△(Y)=(a+2)2-a2=4a十4≥4，所以不存 足PUQ=P; (10分) 在实数a,使得△(Y)<1,故C错误； 3a<a+1, 对于D,由X=[a,a+2],Y=[b,b+3],取b= 当Q≠☑时，因为PUQ=P,则满足a十1<3， a,可得△(XUY)=△([a,a十3])=3，对任意实 3a≥-2， 数a,总存在b使之成立，故D正确. .1 三、填空题 (14分) 12.{-1}【解析】由于P=Q,所以a=-1,且一b= 1,即a=一1，b=一1，所以a,b组成的集合为 综上，实数a的取值范围为 {-1}. (15分) 13.15【解析】因为{0,1,2}二M{0,1,2,3,4,5, 17.解：(1)因为命题P为假命题，所以关于x的一 6},所以M中含有元素0,1,2，故符合条件的集 元二次方程x2-ax十1=0无解， 合M的个数等价于集合{3,4,5,6}的真子集的 即△=(-a)2-4=a2-4<0, 个数，即24一1=15个. 解得-2<a<2, (3分) A ·2 ·数学· 参考答案及解析 故A={a|-2<a<2}, 所以(-x1a1)十（-x2a2)十…十(-xae)= 所以CRA={x|x≤-2或x≥2)： (6分) -s,且-x:∈{-1,0,1}成立，故-s∈T, (2)由t∈A是t∈B的必要不充分条件， 所以若{1,2，…，n}二T,则{士1，士2，…，士n,0} 得B二A, (分) 三T, (7分) 当B=☑时，m+1≥2m+1,解得m≤0， 即{士1，士2，…，士n,0}中的元素个数不能超过 此时满足B二A; (9分) T中的元素个数， m+1<2m+1, 对于确定的Q,T中最多有3个元素， 当B≠☑时，则2m十1≤2， 等号不同时成立， 所以2a+1G8放n32 (10分) m+1>≥-2， 解得0<m≤2， 1 (3)解：由题意可设Hn∈N,3m∈N*,使得 (14分) 1 321m2 2 综上所述，实数m的取值范围是 mm≤2l 又x1×1十x2X3+x3X32+…十xm-1X3m-2≤ (15分) 18.解：(1)若A∩A2=⑦， 1X1+1X3+1X32+…+1X3m-8=3-1-1 2 则t1一t2≠a-b,其中a,b∈A, 所以k>m-1,即≥m, 否则t1十b=t2十a,A1∩A2≠0， (2分) 又n=5,A={1,2,5},2-1=1, 而1X1+1X3+1X32+…+1×31=3”-1 2 5-2=3,5一1=4，则t1,t2相差2， (4分) 即当nE3,时，取a1=1,0?=3,…am=3m 所以T={1,3}或T={2,4}或T=3,5}. (6分) n为m-可表数， (2)不一定存在】 (7分) 因为2×(1×1+1×3+1×32+…+1×3m-1)= 当A={1,2,5,7}时，2-1=1,5-1=4,5-2= 2x3"2 =3m-1, 3,7-1=6,7-2=5,7-5=2, 则t1,t2相差不可能为1,2,3,4,5,6， (9分) 由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p≤3” 这与T={t1,t2}二{1,2,3,4,5,6,7}矛盾， -1,存在r:∈{0,1,2}(i=1,2,…,m), 故不一定存在T (10分) 使力=1X3°十r2X3+…十rmX3m-1, (3)因为C?=10,故集合A中元素的差的绝对值 所以D3”21-(r1X3+×3++r.× 2 至多有10种， (11分) 当n≥12时，结论都成立； (13分) 3m-1)-(3°+31+…+3m-1) 当n=11时，不存在A二S,A|=5, =(r1-1)×3°+(r2-1)×31+…+(rm-1)× 3m-1 使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11 时，结论成立； (15分) 令x:=r:-1,则有x:∈{-1,0,1}，i=1,2,…,m, 当n=10时，若A={1,3,6,9,10},则不存在T, 设=p”则2 2 所以n的最小值为11. (17分) 19.(1)解：31是，1024不是 (1分) 由力的任意性，对任意的-”2≤<3”2， 理由如下： ∈Z, 由题意可知x1a1十x2a2十…十xak=t, 都有t=x1X3十x2X3十…十xmX3m-1,x:∈ 当a:=2-1,k=10时，有x1十2x2十…十2°x10= {-1,0,1},i=1,2,…m, t,x:∈{-1,0,1}，i=1,2,…,10, 显然当x1=-1,x6=1,x:=0(i∈{2,3,4,5,7， 又因为a≤3”2，所以对于任意的-n<:<,: 8,9,10})时，t=31; (3分) ∈Z,t为m一可表数， 而t≤2°×1+21X1+22×1+…+29×1=210 1=10231024, 综上，的最小值为m,其中m满足3，一1< 2 故31是k一可表数，1024不是k一可表数. (5分) s3-1 2 (2)证明：由题意可知，x:=0,则t=0,即0∈T, 37-1 38-1 设s∈T,即3x:∈{-1,0,1}，使得x1a1+x2a2 又当n=2025时，°2<n≤ 2 十十xkak=S, 所以的最小值为8. (17分) ·3· A