3.2-3.3 探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明讲义-2026-2027学年北师大版数学九年级数学上册

3.2-3.3 探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1·利用两角对应相等判定相似】 1 【题型2·利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 3 【题型3·利用三边对应成比例判定相似】 5 【题型 4·选择或补充条件使两个三角形相似】 8 【题型5·相似三角形的判定综合】 11 【题型6·由平行判断成比例的线段】 15 【题型7·由平行截线求相关线段的长或比值】 18 【题型 8·利用平行判定相似】 20 知识点1 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 【题型 1·利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，，请指出图中的相似三角形． 【答案】图中的相似三角形为，． 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：，， ； ，， ． 【变式1-1】如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 【变式1-2】如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】略 【变式1-3】如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】略 【题型2·利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例2】已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 【答案】证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴． 【分析】由中点的定义得出，根据为公共角，即可得出． 【详解】证明：略 【变式2-1】如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 【变式2-2】如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】略 【变式2-3】如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】 证明：，，， ，， ， ， 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】略 【题型3·利用三边对应成比例判定相似】 【例3】如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】略 【变式3-1】如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】 证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】略 【变式3-2】已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】略 【变式3-3】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】 证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】略 【题型 4·选择或补充条件使两个三角形相似】 【例4】如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 【详解】解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 【变式4-1】如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 【变式4-2】要使，需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．根据相似三角形的性质，因为是公共角，需要，继而选出答案． 【详解】解：要使，且， 需：，即， 故A、B、C错误，D正确． 故选：D． 【变式4-3】如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 【题型5·相似三角形的判定综合】 【例5】如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】略 【变式5-1】如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角： （1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求； （2）根据等边对等角得到，则，据此可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论． 【详解】略． 【变式5-3】如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 【答案】(1) 证明：， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ∴ (2)的长度为 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解， （2）根据相似三角形的性质，得到，即可求解， 本题考查了，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：的长度为． 知识点2 相似三角形判定定理的证明 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 拓展： （1）如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； （2）经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； （3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 类型2 平行线分线段成比例定理 （1） 定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【题型6·由平行判断成比例的线段】 【例6】如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 【变式6-1】如图，在中，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，借助平行线分线段成比例定理，通过等线段代换完成比例式的传递，最终证得结论． 【详解】略 【变式6-2】如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图所示， 直线即为所求； (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【变式6-3】如图，，直线这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知求的长． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得： 即的长为8． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型7·由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 【变式7-1】如图，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 【题型 8·利用平行判定相似】 【例8】如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式8-1】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，即， ． 【变式8-2】如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式8-3】如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 随堂检测c 1．如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 3．如图，，与相交于点G，若，，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 5．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 6．如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 7．如图，矩形，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质得出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 9．如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 【答案】（或或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知可得，根据相似三角形的判定定理，添加条件，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，则； 添加条件，则； 添加条件，则； 故答案为：（或或）． 10．在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 11．如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，过点D作交于点G，根据得到，，根据的，，进而代入求解即可，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】如图所示，过点D作交于点G， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：． 12．已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 13．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $3.2-3.3探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明（知识解 读) 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1利用两角对应相等判定相似】…… …1 【题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 .3 【题型3·利用三边对应成比例判定相似】 .5 【题型4-选择或补充条件使两个三角形相似】.8 【题型5相似三角形的判定综合】 11 【题型6由平行判断成比例的线段】… 15 【题型7-由平行截线求相关线段的长或比值】…。 .18 【题型8利用平行判定相似】 …20 知识点1相似三角形的判定 1.判定方法(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似 2.判定方法(2)：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 3.判定方法(3)：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边 的夹角，否则，判断的结果可能是错误的， 判定方法(4)：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 1/16 【题型1·利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，∠B=∠C,请指出图中的相似三角形. B 【变式1-1】如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD,已知∠ABD=∠C.求证： △ABD-△ACB. 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠B=90°，以AC为边作△ACE,∠ACE=90°，过点E作 DE L CE.交BC的延长线于点D.求证：△ABC一△CED A D 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点，E是AC上的一点，且∠B=∠ADE. 求证：△ABD一△DCE, 2/16 B 【题型2•利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例2】已知：如图，在△ABC中，E,F分别为AB,AC的中点.求证：△ABC一△AEF. B 【变式2-1】如图，AE与BD相交于点C,已知AC=5,BC=3,EC=10,DC=6.求证： △ACB一△ECD 【变式22】如图，∠BADE乙CAE,AB-AG求证：△ABC-△ADE B 3/16 【变式2-3】如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD.已知AC=6,AD=4,BD=5,求证， △ACD~△ABC. A D 【题型3利用三边对应成比例判定相似】 【例3】如图，在△ABC中，已知AB=45,AC=54,BC=15.在△中，已知DE=30,EF=10, DF=36,求证：△ABC一△U. E1OF 30 36 15 54 45 【变式3-1】如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证：△BCE一△BED 【变式3-2】己知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE=1,请认真研究图形与所给条件，然后 找出一对相似的三角形，并证明你的猜想， 4/16 【变式3-3】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC与△乙.求证：△ABC一△FDE, 【题型4•选择或补充条件使两个三角形相似】 【例4】如图，在△ABC中，D为AB上的一点，下列条件中，不能满足△ADC一△ACB的条件是 () A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD·AB D.AB·CD=AD·CB 【变式4-1】如图，点D、E分别是△ABC在边AB、AC上，添加下列条件()仍不能判断△ADE与 △ABC相似. 5/16 A.∠ADE=∠C B.AD·AB=AE·AC C.AD·BC=AB·DE D.DE‖BC 【变式4-2】要使△ACD一△ABC,需要补充的条件是() D A答光 8品怒 C.CD=AD·DB D.AC=AD·AB 【变式4-3】如图，∠1=∠2，添加一个条件能判定△ABC一△ADE的是() ①∠C=∠E: ②∠B=∠ADE: ③AC=BC AE DE 8怨 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【题型5相似三角形的判定综合】 【例5】如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC上一点，BD=CD,CE⊥AB于点E,连接AD.求 证：△ABD一△CBE. 6/16 D 【变式5-1】如图，在△ABC中，∠B=108°，AB=BC. B (1)尺规作图：在AC上求作一点D,使得BD=CD;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)作图的基础上，连接BD,求证：△DBC一△BAC. 【变式5-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B.求证： △ADB~△AED. D 7/16 【变式53】如图，在正三角形ABC中，D,E盼别在AC,AB上，且A化=AEBE 求证： (1)△EAD~△BCD: (2)若ED=6cm,试求BD的长度： 【答案】(1) 证明：：AD、1 AC3' 知识点2相似三角形判定定理的证明 类型1平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 几何语言： 如图一：直线AB/CY/EF,直线AE、BF分别交AB ①EF于A、B、C、D.E、F. 若AC=EC,则BD=FD 拓展： 图一 (1)如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一：直线AB/CD/EF,直线AE、BF分别交AB、C①，EF 于A、B、C、DE、F.且AB、C①EF距离为d、d, 若d=d,则AC=ECBD=FD (2)经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边： 如图二：在△ABC中，D为AB中点，DE//BC交AC于 图二 点F,则AE=C正。 8/16 (3)经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三：在梯形AB①中，E为AB中点，EF/IBC交DC于 点F,则AN=CF;EF=(AD+BC) 图三 类型2平行线分线段成比例定理 (1)定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例. 如图四，在△ABC中，E//BC 则AD、AE DB EC 如图五，在△ABC中，DE/IBC交CA、BA延长线于E、D 则AD、AE AB AC …图五 (2)定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形的三边与原三角 形的三边对应线段成比例 如图四，在△ABC中，DE//BC 则AD=AEDE AB AC BC 图五 如图五，在△ABC中，DE//BC交CA、BA延长线于E、D 则AD=AEDE AB AC BC …图六 【题型6·由平行判断成比例的线段】 【例6】如图，在△ABC中，DE‖AC,AB=7,BD=3,BE=2,求BC的长. 9/16 B E 【变式6-1】如图，在口ABCD中，DE=BF.求证： CD_PD CQ PQ E 【变式6-2】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，AD=2BD. D B (1)尺规作图：作直线DE‖BC交AC于点E;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AC=6,求AE的长. 【变式6-3】如图，AD‖BECF,直线l1,l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已 10/16 知AB=1,BC=3,DE=2,求DF的长. 12 A D B E 【题型7·由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】如图，在△ABC中，DE‖BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长是() B C A号 B.4 C.6 D.8 【变式71】如图，ABCD EF,若AD=3,AF=8,则C的值为(】 AB B 32 c 53 D 85 11/16 【变式72】如图1是花架实物图。图2是共对应的侧面示意。图已知ABICDEF,2会S专 DF=40cm,则BF的长为) B D E F G H 图1 图2 A.32cm B.40cm C.50cm D.72cm 【变式7-3】如图是一架梯子的示意图，其中AA,‖BB1‖CC1‖DD1,且AB=BC=CD,为使其更稳 固，在A,D1间加绑一条安全绳（线段AD1),量得AE=0.5m,则AD1的长为(） D A.1.6m B.1.5m C.2m D.1.8m 【题型8利用平行判定相似】‘ 【例8】如图，点E是菱形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.若 5=,AD=6,则FB的长为() D E A.15 B.12 C.10 D.9 【变式81】如图，在△ABC中，DEBC,若S。A度=9Soe,则 的值() AB 12/16 D E A c 【变式8-2】如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE‖BC,若AD=2,AB=6,则 DE BC D 【变式83】如图，在△ABC中，AD=2CD,CF=2BF,则 Dp的值为 D 随堂检测 1.如图在△ABC中，DEBC,AD:DB=3:2,AE=6,则EC的长为() E B A.2 B.3 C.4 D.6 2.如图，已知AB‖CD,AD与BC相交于点E.若CE=2BE,AD=6,则AE的长为() 13/16 A.1 B.2 c月 D.3 3.如图，ABCD‖EP,AF与BE相交于点G,若AG=2,GD=1,DF=5,则BC等于() CE 4 君 ®.月 D.1 4.已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出DEBC的是 () A器品 B.AB-AE c怨 0. AE_AD AC AD AC BD 5.下列与图中的三角形相似的是() 309 1.5 40° 2 75° 2 30° 2 0. 6.如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4,AB=10,则AD的长为() 14/16 C 4 D A.1.5 B.1.6 C.1.8 D.2.0 AE AF 2 7.如图，矩形ABCD,AC=20cm, BEFD3,则EF长为() B A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 8.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使△ADB一△ABC,则AB的长为 B 9.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,请添加一个条件：，使△ABC一△ADE. 0在△A,P%上的点，下列胆个条#，@号光：国∠APC-∠ACa:园 飞ACP=∠B:①A8S等，夹中能判断△APC一△ACB的有 15/16 B 11.如图，在△ABC中，3CD=BC,AF:DF=3:2,则A AC 12.已知：如图，在R△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90,A-AC. ABAC.求证： Rt△ABC一Rt△ABC. A1 A B B' C 13.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上，∠BAP=∠CPD. (1)求证：△APD一△ACP: (2)若AB=6,AD=2,求AP的长. 16/16