精品解析：黑龙江哈尔滨德强学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测 试题

德强学校2026-2027（上）九年级9月学情检测 数学试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求出结论． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 3. 数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数 约为7160 000，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：3x-3=2x， 移项合并得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解． 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：B 【点睛】此题考查了二次函数顶点式，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键． 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数． 【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， …… ∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n． 8. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知：是的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：是的角平分线， ∵． ∴， ∵点F为的中点， ∴． 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 【答案】≠1的一切实数 【解析】 【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-1≠0， 解得：x≠1． 故答案为x≠1． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将，代入得：， 解得． 14. 不等式组的解集是　 【答案】＜x≤2． 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集． 【详解】 由①得：x＞； 由②得：x≤2， 则不等式组的解集为＜x≤2． 15. 一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是______度． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：90． 16. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再代入即可求出答案． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把代入解析式，得， h关于的函数解析式为， 当时，， 故答案为：10． 17. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可得，利用角的正弦值，设，，再利用勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：是的直径，是的切线， ， 在中，， 设，， ， ， ， ． 18. 在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 19. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入抛物线解析式求c；令，解一元二次方程，求出A，B两点横坐标；两横坐标相减的绝对值即为线段的长． 【详解】解：将代入，，得， 抛物线解析式为． 令，，， 解得 ， ． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，，则下列结论中正确的有__________． ①四边形是矩形．②．③．④当时，点是上的一动点，则的最小值为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，判断①；设，则，利用矩形的性质和已知条件得到，等角对等边，判断②；设，则，矩形的对角线相等且平分，得到，利用三角形中位线定理和线段之间的关系得到，利用比值化简判断③，最小值用将军饮马模型，结合勾股定理求出和的值，利用平角得到A、D、三点共线，进行计算，判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形；故①正确； 设，则， 四边形是矩形； ，， ， ， 在中，，， ， ， 即， ，故②正确； 设，则， ， ， 又是中点，O是中点， 是的中位线， ， ， ，故③正确； 是的中位线（前面已证）， ， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ，，，， ， ， ， 在中，，，， ， 点B关于的对称点为，连接，则的最小值为，如下图所示， ，是中点， ，平分， ， ， ， 点B关于的对称点为， ，， ，， ， ， 、D、三点共线， ，故④错误． 三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． （1）画出平行四边形； （2）点在上，连接，使得（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取格点，使得，连接，则四边形为所求平行四边形； （2）在的延长线上取格点，使得，连接，交于点，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接，则四边形为所求平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作； 理由如下：， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 即． 23. 某校九年级学生为了迎接体育中考，进行了模拟体育考试，为了解全年级名学生此次考试成绩（满分分）的情况，随机抽取了个参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图． 体育成绩分组统计表 组别 分数分组 频数 请根据上图表信息，解答下列问题： （1）__________；__________； （2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是__________组； （3）请你估计该校九年级全体学生体育成绩不高于45分的学生约有多少人？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据组占比，对应频数为求出值，再根据组占比求出值即可． （2）参赛学生一共人，中位数为第和第个数据的平均值，观察统计表发现中位数落在组． （3）根据统计表计算出参赛学生中不高于45分的占比，利用占比估计九年级全体学生体育成绩不高于45分的学生人数． 【小问1详解】 解：由扇形图可知组占比，对应频数为， ， 由扇形图可知组占比，参赛学生一共人， ∴组频数． 【小问2详解】 解：由（1）可知参赛学生一共人，中位数为第和第个数据的平均值， 根据成绩分组统计表，组频数，组频数，组频数，第和第个数据落在组， ∴所抽取的参赛学生成绩的中位数落在组． 【小问3详解】 根据统计表可知不高于45分包括组、组、组，合计频数， 占样本比例 ， 九年级全体学生体育成绩不高于45分学生约有人． 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点．点为上一点，交延长线于点，交于点，且，连接、． （1）求证：； （2）若为边中点，，且，则__________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质和平行线性质得到角度相等，再根据等角对等边直接计算即可． （2）根据平行四边形性质和平行线性质得到角度相等，从而得到，再根据三角形全等对应边相等和（1）中结论得到四边形是矩形，再根据矩形性质结合勾股定理直接计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 由（1）可知， ∴四边形是正方形， ∴，，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 在中，，，， 根据勾股定理， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 25. 某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： （1）该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A种水果80千克，B种水果120千克 （2）当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 【小问1详解】 解：设购进A种水果x千克，B种水果y千克， 答：购进A种水果80千克，B种水果120千克； 【小问2详解】 解：设购进m千克A种水果，则购进B种水果千克，全部售出后获得的利润为w元， 根据题意得：， 即， 购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍， ， 解得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为元 答：当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元． 26. 已知：为直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，点和点在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直径于点，点在弧上，，连接交于点，连接，，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为直径， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的推论进行证明即可； （2）先推导出，得到，则，即可解答； （3）以O为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，延长交于K，与y轴交于点I，过M作于J，反向延长交x轴于L，连接，连接设与y轴交于P，先推导出，可得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可推导出四边形是矩形，证明出，得到，设半径，根据勾股定理，得到，求出（舍去），得到，继而推导出，得到，设，可求出，（舍去），进而推导出，求出的解析式为的解析式为，可求出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以O为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，延长交于K， 与y轴交于点I，过M作于J，反向延长交x轴于L，连接，连接设与y轴交于P， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， ， 设半径， ， 解得：（舍去）， ，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ∴， 解得，（舍去）， ，， ， ， ， 设的解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴的解析式为 同理可得的解析式为， 当时，，解得 ， ∴， ， ． 27. 平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第一象限抛物线上一点，过点作轴，连接交于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，点和点关于轴对称，连接、、，，点在上、，点在第四象限内一点，连接，，，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出与轴交点的坐标，再根据求出点坐标，代入二次函数即可求出的值． （2）利用点横坐标和抛物线求出长度，以及点横坐标，从而求出长度，结合三角形相似推出线段比相等，即可列关于和的关系． （3）根据对称和已知条件推出等腰直角，，，从而求出 的长度以及，结合，即可表示两个角的正切值相等，从而求出的长度，即可知道长度，然后再结合，转化正切值相等，求出用表示的长度，最后再利用三角形求出用表示长度，然后代入关系式中即可求出值，从而求出值，即可求出长度． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，两点， 令， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线为， 点横坐标为，轴， 点纵坐标为，， ， ， ，， 轴，轴， ， ， ， ． ，，，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ，点和点关于轴对称，， ， ， ， ，轴， ，，为等腰直角三角形， ，，， 由（2）可知，， ， ，， ． 由题意可知，设，， ， ． ， ， ， ． 在中，，， ． 在中，，，设， ， ． ， ， ， ， 在中，． 设点的横坐标是，则， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，． ，，，， ， ． ，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强学校2026-2027（上）九年级9月学情检测 数学试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数 约为7160 000，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 18 D. 21 8. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 12. 把多项式分解因式的结果是_____． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 14. 不等式组的解集是　 15. 一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是______度． 16. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 17. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为__________． 18. 在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 19. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，，则下列结论中正确的有__________． ①四边形是矩形．②．③．④当时，点是上的一动点，则的最小值为． 三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． （1）画出平行四边形； （2）点在上，连接，使得（保留作图痕迹）． 23. 某校九年级学生为了迎接体育中考，进行了模拟体育考试，为了解全年级名学生此次考试成绩（满分分）的情况，随机抽取了个参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图． 体育成绩分组统计表 组别 分数分组 频数 请根据上图表信息，解答下列问题： （1）__________；__________； （2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是__________组； （3）请你估计该校九年级全体学生体育成绩不高于45分的学生约有多少人？ 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点．点为上一点，交延长线于点，交于点，且，连接、． （1）求证：； （2）若为边中点，，且，则__________． 25. 某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： （1）该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 26. 已知：为直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，点和点在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直径于点，点在弧上，，连接交于点，连接，，若，，求的长． 27. 平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第一象限抛物线上一点，过点作轴，连接交于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，点和点关于轴对称，连接、、，，点在上、，点在第四象限内一点，连接，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $