精品解析：安徽省无为市部分学校10月月考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学 上册第二十五~二十六章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次三项式可以分解为，则方程的根为（ ） A. 或8 B. 或 C. 2或 D. 2或8 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知函数是关于x的二次函数，则m的值为_________． 12. 已知方程的两个根是和，则_________． 13. 已知关于x的方程，若该方程的一个根小于，则k的取值范围是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数的解析式为（m，n是常数）． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，则m的值为_________． （2）若二次函数图象的顶点在线段上，则n的最大值为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线． （1）新抛物线的解析式为_________． （2）求新抛物线与y轴的交点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若2是该方程的一个根，求k的值． （2）若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求的值． 18. 如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． （1）c的值为_________．（用含x的代数式表示） （2）若圈出的4个数中，，求b的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 2 … y … 4 6 0 … （1）求抛物线的解析式． （2）若抛物线与x轴交于D，E两点，与直线交于点F，则的面积为_________． 20. 已知关于x的方程 （1）若该方程总有两个实数根，求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习 【项目主题】 黄山云雾茶销售利润优化问题． 【项目背景】 黄山云雾茶是安徽黄山特色传统名茶，属于徽茶文化核心品类，茶香清雅、口感醇厚，是本地文旅特产热销品． 【实施过程】 某安徽文旅特产超市专营黄山云雾茶，线下日常销量稳定．经超市统计：该款黄山云雾茶礼盒按日常均价销售时，平均每天可售出100盒，每盒纯利润12元．为助力徽茶推广、扩大销量、提升单日总利润，超市决定对该款黄山云雾茶礼盒适当降价惠民．结合市场调研数据测算：每盒黄山云雾茶礼盒每降价1元，超市平均每天可多售出20盒． 【解决问题】 （1）若每盒黄山云雾茶降价4元，超市每天销售该茶叶礼盒_________盒． （2）若要使每天销售该黄山云雾茶礼盒的总利润达到1400元，同时尽可能提升黄山云雾茶的销量，则每盒黄山云雾茶应降价多少元？ （3）超市能否通过合理降价，使每天销售黄山云雾茶的总利润达到1600元？若能，求出每盒降价的金额；若不能，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设． （1）求x的取值范围． （2）求区域③的面积S关于x的函数解析式． （3）已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值． 八、（本题满分14分） 23. 定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． （1）已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． （2）若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． （3）如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册第二十五~二十六章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线，， ∴开口方向是向下． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、方程中若，则不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号右边是分式，不是整式，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元一次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元二次方程的一次项是，则一次项系数是． 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线． 6. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握时方程有实数根是关键；方程有实数根的条件是判别式，由此求出的取值范围． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， 解得 ∴的值可以是． 故选：B． 7. 若二次三项式可以分解为，则方程的根为（ ） A. 或8 B. 或 C. 2或 D. 2或8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，． 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得抛物线的对称轴为轴，由图可得，水面平行于轴，且点在轴上，根据抛物线的对称性可得，点是线段的中点，再求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵由题意可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为轴， 由图可得，水面平行于轴，且点在轴上，根据抛物线的对称性可得，点是线段的中点， ∵水面宽度为， ∴点的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度为． 9. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得. 10. 如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和系数之间的关系，判断①；根据对称轴和特殊点判断②；图象法判断③即可. 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵图象与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴，图象与轴的另一个交点为， ∴，， ∴，，故①②正确； 由图象可知，当时，或；故③错误； 综上：正确的有2个. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知函数是关于x的二次函数，则m的值为_________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴． 12. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵方程的两个根是和， 则． 13. 已知关于x的方程，若该方程的一个根小于，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘得出，然后解出方程的两个根，然后根据该方程的一个根小于列出不等式求解即可得出答案． 【详解】解：， 即， ∴或， ∴，， ∵该方程的一个根小于， ∴， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数的解析式为（m，n是常数）． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，则m的值为_________． （2）若二次函数图象的顶点在线段上，则n的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可得出结果； （2）求出二次函数的顶点坐标为，直线的函数解析式为，结合题意可得，，再将利用表示出来，结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）二次函数的解析式为（m，n是常数）， 二次函数的顶点坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的函数解析式为． 二次函数图象的顶点在线段上， ，且，即， 整理得． ， 当时，n有最大值，最大值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【详解】解：， 或， ，． 16. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线． （1）新抛物线的解析式为_________． （2）求新抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减； （2）令，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知新抛物线的解析式为， 令，则， 新抛物线与y轴的交点坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若2是该方程的一个根，求k的值． （2）若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求的值． 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程，计算即可得出结果； （2）由题意可得，求出，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 即， 解得， k的值为6． 【小问2详解】 解：k是最小的正整数， ． 由题意可知， ， ． 18. 如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． （1）c的值为_________．（用含x的代数式表示） （2）若圈出的4个数中，，求b的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据数的位置关系列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知：c的值为； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 2 … y … 4 6 0 … （1）求抛物线的解析式． （2）若抛物线与x轴交于D，E两点，与直线交于点F，则的面积为_________． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：把和代入，得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，解得，； ∵抛物线与x轴交于D，E两点， ∴， 当时，， ∴， ∴的面积为. 20. 已知关于x的方程 （1）若该方程总有两个实数根，求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程总有两个实数根得到，据此解不等式即可； （2）将展开，再由根与系数的关系得到关于的一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ． 该方程总有两个实数根， ， ． 【小问2详解】 解：． ，， ， 整理得， 解得或（舍去）， m的值为． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习 【项目主题】 黄山云雾茶销售利润优化问题． 【项目背景】 黄山云雾茶是安徽黄山特色传统名茶，属于徽茶文化核心品类，茶香清雅、口感醇厚，是本地文旅特产热销品． 【实施过程】 某安徽文旅特产超市专营黄山云雾茶，线下日常销量稳定．经超市统计：该款黄山云雾茶礼盒按日常均价销售时，平均每天可售出100盒，每盒纯利润12元．为助力徽茶推广、扩大销量、提升单日总利润，超市决定对该款黄山云雾茶礼盒适当降价惠民．结合市场调研数据测算：每盒黄山云雾茶礼盒每降价1元，超市平均每天可多售出20盒． 【解决问题】 （1）若每盒黄山云雾茶降价4元，超市每天销售该茶叶礼盒_________盒． （2）若要使每天销售该黄山云雾茶礼盒的总利润达到1400元，同时尽可能提升黄山云雾茶的销量，则每盒黄山云雾茶应降价多少元？ （3）超市能否通过合理降价，使每天销售黄山云雾茶的总利润达到1600元？若能，求出每盒降价的金额；若不能，请说明理由． 【答案】（1）180 （2）5元 （3）不能． 理由：设每盒黄山云雾茶降价y元，得， 整理得． ， 该方程无实数根，即每天销售黄山云雾茶的总利润不能达到1600元． 【解析】 【分析】（1）根据每盒黄山云雾茶礼盒每降价1元，超市平均每天可多售出20盒求解即可． （2）设每盒黄山云雾茶降价x元，超市日销售量为盒，每盒黄山云雾茶盈利元．然后根据总利润为1400元列出关于x的一元二次方程求解，最后根据尽可能提升黄山云雾茶的销量得出合适的答案即可． （3）设每盒黄山云雾茶降价y元，然后根据总利润为1600元列出关于y的一元二次方程，最后由根的判别式判断即可得出答案． 【小问1详解】 解：（盒）， 若每盒黄山云雾茶降价4元，超市每天销售该茶叶礼盒180盒． 【小问2详解】 解：设每盒黄山云雾茶降价x元，超市日销售量为盒，每盒黄山云雾茶盈利元． 依据题意，得， 整理得， 解得，． 由题意可知，需尽可能提升黄山云雾茶的销量， ． 答：每盒黄山云雾茶应降价5元． 【小问3详解】 略； 七、（本题满分12分） 22. 如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设． （1）求x的取值范围． （2）求区域③的面积S关于x的函数解析式． （3）已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，总费用的值最小，最小值为9900元 【解析】 【分析】（1）先求出，表示出区域②的面积为，再结合题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果； （2）连接，由题意可得F，N，O三点共线，，，求出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）由（2）得，设总费用为w元，表示出关于的关系式，再结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴， 区域②的面积为． 区域②的面积不超过矩形面积的， ， 解得， x的取值范围为． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意可得F，N，O三点共线，，． ， ． 是等腰直角三角形， ， 的面积为， ． 【小问3详解】 解：由（2）得． 区域①和区域②所种花卉的价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元， 区域③的费用为元． 矩形的面积为， 区域①和区域②的费用之和为元． 设总费用为w元， 则 ． ，， 当时，总费用的值最小，最小值为9900元． 八、（本题满分14分） 23. 定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． （1）已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． （2）若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． （3）如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 【答案】（1）和． （2）证明：由题意可知，， ． 每组“衍生对称抛物线”的顶点都在x轴上， ， ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）令原抛物线，求出与轴的交点坐标， 以及顶点坐标，再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标，即可求出第一条衍生抛物线解析式，再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标，即可求出第二条衍生抛物线解析式． （2）先推导与的解析式，推导得到， ，再根据每组“衍生对称抛物线”的顶点都在x轴上，得到，最后化简即可得出． （3）先求得点A的坐标为，进一步求出抛物线的解析式为，再设点B的横坐标为，则点D的横坐标为，根据 ，则 ，求出点C的横坐标，再根据点B与点C的纵坐标相同列出式子，解得或（舍去），所以点C的横坐标为，即点E的横坐标为． 【小问1详解】 解：抛物线， 求出与轴的交点坐标， 以及顶点坐标， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得， ∴第一条衍生抛物线解析式： ， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得， ∴第二条衍生抛物线解析式： ． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图所示，易求得点A的坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线L，的对称轴分别为直线，直线． 抛物线L的顶点坐标为， 易求得抛物线的解析式为． 设点B的横坐标为，则点D的横坐标为， ． ， ， 点C的横坐标为． 点B与点C的纵坐标相同， ， 整理得，解得或（舍去）， 点C的横坐标为， 点E的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $