浙江省台州市书生中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题参考答案 2026.10 1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．BD 10．AB 11．BCD 12． 13． 14．22 15．【解析】（1）因为平面，平面， 所以，由底面是正方形，可得， 又，且，平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面． 5分 （2）设，以A为原点， 分别以、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为，则：，即， 令，得，，即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为， ，， 所以，又，所以． 13分 16．【解析】（1）因为直线的斜率为，直角顶点A的坐标是． 所以直线的方程为，即． 令，则，所以． 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为． 令，则，所以． （6分） （2）由（1）知，，， 所以直角三角形的面积为． 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点C的坐标为． （15分） 17．【详解】（1）由题意得，， （2分） ； （3分） （2）设圆的方程为， 因为该圆经过O，A，B三点，， （6分） 解得，所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：． （9分） 设轮船航线所在的直线为l，则直线l的方程为：， 圆心到直线的距离， 所以直线l与圆相交，即轮船会驶入安全预警区． （11分） 直线l与圆截得的弦长为， （13分） 行驶时长小时．即在安全警示区内行驶时长为半小时． （15分） 18．【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 由，，，，平面，平面， 又平面，故平面平面， 在平面内，过点D作，垂足为O， 又平面平面，故平面， 即为点D到平面的距离， 在中，，，故． 7分 （2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，，即，即， 设平面法向量为，，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量，，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为，， 解得，即． 15分 19．【解析】（1）由题意，过点且斜率为-1的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆O截得的弦长为，解得， （2分） 所以圆O的方程为，圆心坐标为，半径为2， 当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为， 所以过点H的圆O的切线方程为或． （6分） （2）①设点，则，，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为P为圆O上任意一点，所以， （8分） 又，，解得，所以常数． （9分） ②由①知，，所以圆，，， 曼哈顿距离：． 因为直线l过E，与圆交于M，N，且M为的中点，设，则， 由M在圆上，得． （11分） 又N在圆上：，两式相减得． 因为直线与圆有两个交点，分别为M，N， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以， 令，在上分段求值域： （14分） 当，，在上单调递减，所以此时值域； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，时取最大值，值域为； 当，，在上单调递增，值域为； 综上所述，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 命题人： 2026.10 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：共8小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D．不存在 2．已知平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知四棱锥，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，，，D是的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A． B． C． D． 6．若点关于动直线的对称点为N，O为坐标原点．给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点N有且只有一个；③当取到最大值时，．其中正确结论的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆与圆，则（ ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 10．已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A．直线l恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 11．定义点到直线的有向距离为．已知点，到直线l的有向距离分别是，，以下结论不正确的是（ ） A．若，则直线与直线l平行 B．若，，则直线与直线l垂直 C．若，则直线与直线l垂直 D．若，则直线与直线l相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，．若点C在平面内．则实数k的值为__________． 13．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________． 14．设实数．直线过点和，直线过点和，设两直线交于点P．若三角形面积为100，则实数m的整数部分为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16．（15分）直角三角形的斜边在x轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是． （1）设直线的斜率为，试求点C和点B的坐标（用k表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 17．（15分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西方向处设立观测点A，在平台O的正东方向处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）某日，经观测发现，在该平台O正南C处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 18．（17分）在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为． （1）求点D到底面的距离； （2）设M是侧棱上一动点，是否存在点M，使得的余弦值为，若存在，求的值． 19．（17分）已知过点且斜率为-1的直线被圆截得的弦长为． （1）求过点H的圆O的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，．P为圆O上任意一点，（n为常数）． ①求常数n的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼•闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则C，D两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线l与圆交于M、N两点，且M点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $