河北省石家庄一中实验学校2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

河北省石家庄一中实验2026-2027学年高二上学期9月月考数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知，则原点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（    ） A．与对立 B． C．与相互独立 D． 8．已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题是真命题的有（    ） A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C．若为钝角三角形，则 D．若，则的最小值为 11．棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，平面 C．若，则与平面所成角的最小值为 D．当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 三、填空题 12．函数的单调减区间是__________． 13．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 14．已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 四、解答题 15．已知向量与的夹角为，，． (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 16．已知中，所对的边为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若为中点，，且面积为，求边． 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 18．某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.    求： (1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. (2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. (3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．点为的中点．点在底面的投影落在梯形内．    (1)若 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． (2)球为三棱锥的外接球，当二面角的平面角的余弦值为时，求平面截球的截面面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄一中实验2026-2027学年高二上学期9月月考数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解两个不等式，再根据集合运算求交集即可. 【详解】解：解不等式得，故， 解不等式得，故， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的交集运算，是基础题. 2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，进而根据虚部的含义求出虚部即可． 【详解】由， 所以复数的虚部为． 故选：C． 3．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B 4．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由，得，则， 因此， 所以在方向上的投影向量为. 5．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误. 【详解】若，不妨设m在内的投影为，则， 对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直， n可能与平行，也可能斜交，故A错误； 对于选项B：若，，此时m与可能相交、平行或m在上，故B错误； 对于选项C：因为，，则， 又，从而，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 又，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误． 故选：C. 6．已知，则原点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式可得答案. 【详解】 设其法向量为，取得 又 故选：A 7．盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（    ） A．与对立 B． C．与相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件的个数，结合互斥、对立与独立事件的概念与判定方法，即可求解. 【详解】对于A项， 事件是“两球同色”，事件是“两球不同色”，所有取球结果只有这两种，二者不可能同时发生且必有一个发生，因此与是对立事件，故A正确； 对于B项， 从中不放回地依次取出2个球，一共20种，事件表示“第一次取出黑球，第二次取出白球”一共6种，计算概率： ，故B正确； 对于C项，事件“第二次取出的是白球”一共8种，则 ，事件“取出的2个球不同色”一共12种，则； 表示“第二次取出白球，两球不同色”，即“第一次黑、第二次白”，一共6种； 计算得，因此与不相互独立，故C错误； 对于D项，由概率加法公式： ，故D正确； 8．已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．由正三角形边长和折叠后长度不变，可写出的坐标，再设外接球球心为，利用求外接球半径． 【详解】因为是边长为的正三角形，是的中点， 所以，，且． 取为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则可设 将沿直线翻折后，点落到点，所以． 又二面角的大小为，且，， 所以，从而可设 设该三棱锥外接球的球心为，半径为． 因为为原点，所以 由，得，所以． 由，得，所以． 由，得，整理得 把代入，得． 所以 故外接球的表面积为 二、多选题 9．下列命题是真命题的有（    ） A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 【答案】BD 【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项. 【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误； 对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确； 对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误； 对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确. 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C．若为钝角三角形，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】由和正弦定理得，， 即， 因，，所以，则，即，故A正确； 由，故，故三角形仅有一个解，故B正确； 当，则为钝角，而为钝角三角形，A不一定是钝角，故C错误； ， 故，当且仅当时等号成立，故D正确. 11．棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，平面 C．若，则与平面所成角的最小值为 D．当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于A，利用法向量证明直线平行于平面法向量，进而由线面垂直直接推导出面面垂直；对于B，通过证明直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，判定该直线与平面平行；对于C，根据距离条件解析出动点的圆弧轨迹，通过寻找轨迹上距离最远的点来确定最小线面角；对于D，利用截面与球心连线垂直时面积最小的几何性质，结合勾股定理即可求得截面面积最小值. 【详解】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， ，即与平面的法向量平行，则平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，则有，即， 则， 则， 因此，因为点不在平面内，所以平面，故B正确； 对于C，由，得， 即，因为，如图， 点的轨迹是平面内，以为圆心，1为半径的一段四分之一圆弧， 易得平面， 所以与平面所成的角为， 所以在中，， 要使最小，则使最小，即求的最大值， 显然点与点或重合时，取最大值1， 所以，即，C正确； 对于D，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足， 球心到点的距离的平方为， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故D错误. 三、填空题 12．函数的单调减区间是__________． 【答案】 【分析】由二次函数，对数函数，复合函数单调性可得答案. 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 13．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 14．已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 【答案】 【分析】找到平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置，得到的长度，从而得到所求的的取值范围. 【详解】找平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置. 当平面与平面交于直线时，如图①所示，截面为四边形； 当平面与平面交于直线时，如图②所示，截面为五边形，对比图①，此时点更靠近点. 在图①中，因为平面平面 平面平面，平面平面， 所以. 在正方体中，， 所以. 又因为 所以，. 所以当时，截面为四边形；当时，截面为五边形. 故所求的线段的取值范围为. 【点睛】本题考查截面图形问题，面面平行的性质，要求学生对空间几何体要有充分的想象能力. 四、解答题 15．已知向量与的夹角为，，． (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得； （2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即， 解得． （2）由题意得， ， 设向量与的夹角为， 则． 即向量与的夹角的余弦值为. 16．已知中，所对的边为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若为中点，，且面积为，求边． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，得到，根据由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）解：因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明：连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． (2)1 (3)2 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根正切定义即可得到答案. 【详解】（1）略； （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且， ， 是等边三角形，从而． 又，， ． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接 点为中点， 平面． 又且 求三棱锥的体积为． （3）过作，垂足为，连接． 由（2）知平面， 平面，平面， ，． ，，平面，平面， 平面． 平面， ， 为二面角的平面角， 在Rt中，，． ， 二面角的正切值是2． 18．某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.    求： (1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. (2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. (3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 【答案】(1)0.12，17万元 (2) (3)平均数，方差 【分析】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解； （2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解； （3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可. 【详解】（1）月销售额在小组内的频率为， 若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标， 根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为， 和及三组的频率之和为， 故估计月销售目标应定为万元； （2）第一组3人记为，第七组2人， 则选取2位推销员有 共10种情形， “选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M， 则事件M包含有共6种情形， 所以； （3）第一组3人，第七组2人， 则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为， 方差. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．点为的中点．点在底面的投影落在梯形内．    (1)若 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． (2)球为三棱锥的外接球，当二面角的平面角的余弦值为时，求平面截球的截面面积． 【答案】(1)（ⅰ）因为，点为的中点， 所以， 又因为，所以， 又因为，平面，平面，且， 所以平面； （ⅱ）； (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据线面垂直的判定定理，即可证明； （ⅱ）先求得点到平面的距离，再求得，根据直线与平面所成角的概念，即可求解； （2）作于点，可得平面平面，作于点，于点，连接，可得为二面角的平面角，进而可求得，所以即为三棱锥的外接球球心，通过等体积法可求得点到平面的距离为1，进而可得截面圆半径，即可求得截面圆面积. 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ）因为，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 由（ⅰ）可得平面，即为到平面的距离， 在中，，点为的中点， 所以，，所以， 即点到平面的距离为， 又在中，，，， 所以， 设与平面所成角为，则； （2）作于点，连接， 因为，所以， 又，且平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 作于点，于点，连接，    因为平面平面，且平面平面， 所以平面，所以点为点在底面的投影， 又，所以为二面角的平面角，即， 又，，所以，所以， 又由（ⅱ）可得，所以，所以为中点， 所以在、、中，可得， 所以， 所以即为三棱锥的外接球球心，且球的半径为， 在中，，所以，，所以， 在中，，，， 根据余弦定理，可得，解得， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以， 设点到平面的距离为， 所以，即， 所以，即， 解得，所以点到平面的距离为1， 所以截面圆半径， 所以截面圆面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $