5.4 一元一次方程的解法 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

5.4 一元一次方程的解法 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第5章 一元一次方程 · 第4课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、移项 把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项（transposition of terms）。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 例如：在方程 的两边都减去 3x，就得到 ，可以看作把项 3x 改变符号后从右边移到左边。 移项的依据是等式的性质 1；移项时应注意改变项的符号。 二、去括号与合并同类项 当方程中的一边或两边有括号时，往往先去括号，再进行移项、合并同类项等变形；去括号与合并同类项的依据是代数式的运算法则（不是等式的性质）。去括号时注意：括号前是“−”号，去括号后括号内各项都要变号。 三、去分母 当方程中的某些项含有分母时，可先依据等式的性质 2，把方程的两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母。注意：不含分母的项（尤其是整数常数项）也要乘同一个数，不能漏乘；分子是多项式时，去分母后要加上括号。 当分母中含有小数时，可以先应用分数的基本性质把它们化为整数，如 。 四、解一元一次方程的基本程序 通过去分母、去括号、移项、合并同类项等，逐步把方程化成 的形式，基本程序如图 1 所示： 图1 解一元一次方程的基本程序（依据见各步骤下方标注） 第二部分 典例精讲 例1　移项解方程（教材例 1(1)、课内练习 1(3)）： 解下列方程：（1）；（2）。 【解答】（1）移项，得 ，即 ；两边同除以 2，得 。 （2）移项，得 ；合并同类项，得 ；两边同除以 3，得 。 【点拨】移项要变号：等号一边的项移到另一边时，符号必须改变；未移动的项符号不变。 例2　去括号解方程（教材例 2(1)、课内练习 2(4)）： 解下列方程：（1）；（2）。 【解答】（1）去括号，得 ；移项，得 ；合并同类项，得 ；两边同除以 −4，得 。 （2）去括号，得 ；合并同类项，得 ；移项，得 ；两边同除以 2，得 。 【点拨】括号前是“−”号时，去括号后括号内各项都要变号，这是去括号最容易出错的地方。 例3　去分母解方程（教材例 3）： 解下列方程：（1）；（2）。 【解答】（1）方程的两边同乘 6（依据等式的性质 2），得 ；去括号，得 ；移项，得 ；合并同类项，得 ；两边同除以 5，得 。 （2）方程的两边同乘 10，得 ；去括号，得 ；移项，得 ；合并同类项，得 ；两边同除以 2，得 。 【点拨】去分母时，等号两边不含分母的项也要乘最小公倍数；分数线兼有括号的作用，去分母后分子要及时添上括号。 例4　分母含小数的方程（教材例 4）： 解方程：。 【分析】分母 0.6 是小数，先利用分数的基本性质化成整数：，再按基本程序求解。 【解答】将原方程化为 。去分母，得 ；去括号，得 ；移项、合并同类项，得 ，解得 。 【点拨】“化小数分母为整数分母”依据的是分数的基本性质，只对含小数分母的那一项变形，不要与去分母（等式性质）混淆。 例5　一题多解与整体思想（教材作业题）： 解方程：。你有几种不同的解法？你认为哪一种方法比较简便？ 【解法一】直接展开：去括号，得 ；移项、合并同类项，得 ，所以 。 【解法二】把 看成一个整体，注意到 ，原方程即 ；移项，得 ，所以 ，解得 。 【点拨】解法二抓住“3 − 4x 与 4x − 3 互为相反数”的结构特征，整体处理更简便；方程的解为 （两种解法结果一致）。 例6　解法改错（教材课内练习第 2 题）： 下面方程的解法对吗？若不对，请改正。解方程：。 解：去分母，得 ；去括号，得 ；移项，得 ；则 ，解得 。 【解答】不对，有两处错误：① 去分母时右边的常数项 1 漏乘 6；② 去括号时 应得 而不是 。正确解法：去分母，得 ；去括号，得 ；移项、合并同类项，得 ，解得 。 【点拨】去分母必须“每一项都乘”，常数项也不例外；去括号后要用分配律逐项检查。 例7　同解方程求参数（杭州观城教育集团期中）： 已知关于 x 的方程 和 的解相同，求 m 的值。 【分析】先解出不含字母参数的方程，再把它的解代入另一个方程，得到关于 m 的方程。 【解答】由 ，得 ，解得 。把 x = 1 代入 ，得 ；去分母，得 ，即 ，解得 。 【点拨】“两个方程的解相同”的解题路径：解易解的 → 代入难的 → 解关于参数的方程。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目主要选自近三年杭州市各区期末、期中考试真题（题后标注题源，已去除年份；标注“教材”的为教材原题）。答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）一元一次方程 ，去括号得 A. 　　B. 　　C. 　　D. （杭州拱墅区期末） 2.（5分）解方程：。（杭州拱墅区期末） 3.（5分）解方程：。（杭州钱塘区期末） 4.（5分）解方程：。（杭州拱墅区期末） 5.（5分）解方程：。（杭州锦绣育才教育集团期末） 6.（5分）解方程：。（杭州滨江区期末） B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）解方程：。（杭州钱塘区期末） 8.（10分）解方程：。（杭州西湖区期末） 9.（10分）解方程：。（杭州上城区期末） 10.（10分）解方程：。（杭州西湖区期末） 11.（10分）解方程：。（教材作业题） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）解方程：。请你用两种不同的方法求解，并思考哪一种方法更简便。（教材作业题） 13.（10分）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项。例如：二次多项式 经过处理器得到 。若二次多项式 经过处理器得到 B，求关于 x 的方程 的解。（杭州大关中学教育集团期中） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1（1）x = −2；（2）x = 2。 例2（1）；（2）x = 3。 例3（1）y = 1；（2）。 例4。 例5（解法二更简便）。 例6不对；正确解得 。 例7m = 3。 A组 基础过关 1．D。括号前是“−”号，去括号后括号内各项都要变号。 2．移项，得 ，所以 。 3．移项，得 ，所以 。 4．去括号，得 ；移项，得 。 5．去括号，得 ；合并，得 ，所以 。 6．去括号，得 ；合并，得 ，所以 。 B组 能力提升 7．去分母，得 ；去括号，得 ；解得 。 8．去分母，得 ；去括号，得 ；移项、合并，得 ，所以 。 9．去分母，得 ；去括号，得 ；移项、合并，得 ，所以 。 10．去分母，得 ；去括号，得 ；移项，得 。 11．去分母，得 ；去括号，得 ；解得 。 C组 拓展探究 12．方法一（直接去分母）：两边同乘 12，得 ，展开得 ，即 ，所以 。 方法二（先化简各项）：，，代入原方程得 ，即 ，所以 。两种方法结果一致；方法二中 x 的项相消，计算量更小。 13．先化简：，二次项系数 4 与一次项系数 −10 的和为 −6，故 。由 得 ，解得 。 / 学科网（北京）股份有限公司 $