5.2 等式的基本性质 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

5.2 等式的基本性质 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第5章 一元一次方程 · 第2课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、等式的性质 1 小学里已经学过“等量的等量相等”，即若 a = b，b = c，则 a = c。除此之外，等式还有两个基本性质。观察天平（如图 1）：天平平衡时，两边同时加上（或拿走）等重的物品，天平仍保持平衡。 图1 天平情境：等式的性质 1（对应教材图 5-2） 等式的性质 1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。用字母可以表示为：如果 a = b，那么 。 二、等式的性质 2 等式的性质 2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。用字母可以表示为：如果 a = b，那么 ，或 （c ≠ 0）。 注意两个易错点：① 运用性质 2 除以某个数时，必须说明这个数不为 0；② “两边同乘一个数”与“分数的分子、分母同乘一个数”是两种不同的变形，前者改变等式两边，后者不改变分式的值。 三、利用等式的性质解简单方程 等式的性质是方程变形的依据。利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成 （a 为已知数）的形式，就求出了方程的解。本节只解一两步就能完成的简单方程，移项、去括号、去分母等完整步骤将在 5.4 节系统学习。 第二部分 典例精讲 例1　等式性质的应用（教材做一做）： 已知 m = n，下列等式成立吗？根据是什么？（1）；（2）；（3）；（4）。 【解答】（1）成立，依据性质 1（两边都加 5）；（2）成立，依据性质 2（两边都乘 −2）；（3）成立，依据性质 2（两边都除以 3）；（4）成立，由 m = n 两边都减 n（性质 1）得 m − n = 0。 【点拨】判断“由已知等式能得到什么”，就是看变形是否符合两条性质；每一步都要能说出依据。 例2　等式的变形（教材作业题第 5 题）： 等式 能变形成 吗？若能，请说出每一步的变形过程及其依据。 【解答】能。依据性质 2，等式两边都乘 12，得 ；再依据性质 1，两边都加 3b，得 。 【点拨】连续使用两条性质就能完成“去分母 + 移项”式的变形；“乘 12”是性质 2，“移项”的本质是性质 1。 例3　利用等式的性质解方程（教材例2）： 利用等式的性质求下列方程的解：（1）；（2）。 【解答】（1）依据性质 1，方程两边都减去 3x，得 ，即 。 （2）依据性质 2，方程两边都除以 −2，得 ，即 。 【点拨】目标是把方程变形成 x = a 的形式；（2）中除以负数时不要漏掉符号。 例4　根据条件写出仍成立的等式（教材课内练习第 1 题）： 根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式：（1）a = −b，两边都加上 b；（2）3a = 2a + 1，两边都减去 2a；（3），两边都乘 6。 【解答】（1）；（2）；（3）。 【点拨】等式变形时，两边必须做“同样”的运算，只改一边等式就被破坏了。 例5　利用等式性质求比值（教材课内练习第 3 题）： 已知 ，且 x ≠ 0，求 y 与 x 的比。 【解答】依据性质 1，两边都减去 2x，得 ；依据性质 2，两边都除以 4x（x ≠ 0），得 。 【点拨】求比值就是通过等式变形，把目标字母的比“孤立”到等号一边；除以含字母的式子时必须说明它不为 0。 例6　判断等式是否成立（教材作业题第 2 题）： 已知 x + 3 = 1，下列等式成立吗？依据是什么？（1）；（2）；（3）；（4）。 【解答】（1）成立，两边都减去 x（性质 1）；（2）成立，两边都乘 −2（性质 2）；（3）成立，两边都除以 3（性质 2）；（4）成立，两边都减去 3（性质 1）。四个等式都成立。 【点拨】看“变形前后用了哪条性质”是判断等式变形正确性的通用方法。 例7　用等式性质解“二元”条件（教材作业题第 6 题）： 已知 x + y = 5，x − y = 1，能利用等式的基本性质求出 x 和 y 的值吗？ 【分析】两个等式的两边分别相加（相当于两边都加上同一个等式的值），可以消去 y。 【解答】把两个等式的左边与左边、右边与右边分别相加，得 ；依据性质 2，两边都除以 2，得 。把 x = 3 代入 x + y = 5，得 y = 2。 【点拨】等式性质的实质是“两边同做同一运算”，两个等式相加减正是它的自然推广。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目选自近三年杭州市各区期末考试真题（解方程类题目按本节要求“写出每一步的依据”作答），答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）下列对等式的变形正确的是（　　）（杭州西湖区期末） A. 由 ，得 　　B. 由 ，得 　　C. 由 ，得 　　D. 由 ，得 2.（5分）已知 a、b、c 是实数，若 ，则下列式子一定成立的是（　　）（杭州萧山区、余杭区、临平区期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（5分）根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式（教材作业题）：（1）a − b − 1 = 0，等式的两边都加上 1；（2）a + b = 2b，等式的两边都减去 b；（3），等式的两边都乘 60；（4）−8a = 24b，等式的两边都除以 −8。 4.（5分）利用等式的性质解方程：（要求写出每一步的依据）。（杭州钱塘区期末） 5.（5分）利用等式的性质解方程：。（教材作业题） 6.（5分）已知 a = 2，b = −3，你能写出哪些成立的等式？至少写出四个，并说明各依据等式的哪条性质。（教材作业题） B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）利用等式的性质解方程：（要求写出每一步的依据）。（杭州萧山区、余杭区、临平区期末） 8.（10分）利用等式的性质解方程：（要求写出每一步的依据）。（杭州钱塘区期末） 9.（10分）利用等式的性质解下列方程（教材课内练习）：（1）；（2）。 10.（10分）已知 ，且 y ≠ 0。判断 是否成立，并说明理由。（改编） 11.（10分）已知 x = y，判断下列变形是否一定成立，并说明理由：（1）；（2）；（3）；（4）。（改编） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）解方程：。小明的解题步骤如下：（改编） 去分母： …① 去括号： …② 移项： …③ 合并同类项： …④ 系数化为 1： …⑤ （1）以上 5 个步骤中，依据是等式的基本性质的有　　（填序号）；（2）小明的解答过程正确吗？如果有错误，请写出正确的解答过程。 13.（10分）已知 a + b = c。判断下列等式是否一定成立，并说明理由：（1）；（2）；（3）。（改编） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1四个都成立，依据依次为：性质 1；性质 2；性质 2；性质 1。 例2能。两边乘 12（性质 2）得 ，两边加 3b（性质 1）得 。 例3（1）x = −8；（2）x = −2.5。 例4（1）a + b = 0；（2）a = 1；（3）2a = 3b。 例5。 例6四个等式都成立，依据依次为：性质 1；性质 2；性质 2；性质 1。 例7能。x = 3，y = 2。 A组 基础过关 1．CA 中应为 a = b + 1；B 中应得 x = 2；D 中应为 ；C 两边乘 12 正确。 2．C由 两边都乘 c（性质 2）得 ；A 需要 c ≠ 0，B、D 都不一定成立。 3．（1）a − b = 1；（2）a = b；（3）；（4）。 4．两边都减去 x（性质 1），得 ；两边都加上 5（性质 1），得 ；两边都除以 2（性质 2），得 。 5．两边都除以 （性质 2），得 。 6．如 a + b = −1、a − b = 5、2a = 4（性质 2）、3b = −9（性质 2）、a + 1 = 3（性质 1）等，答案不唯一，写出依据即可。 B组 能力提升 7．两边都加上 x − 9（性质 1），得 ；两边都除以 7（性质 2），得 。 8．两边都加上 2x − 1（性质 1），得 ；两边都除以 3（性质 2），得 。 9．（1）两边都减去 6x（性质 1），得 ；（2）两边都除以 −5（性质 2），得 。 10．成立。由 两边都除以 3y（因为 y ≠ 0，所以 3y ≠ 0，性质 2），得 。 11．（1）成立，性质 1（两边都加 3）；（2）成立，性质 2（两边都乘 −2）；（3）不一定成立，当 z = 0 时无意义，须 z ≠ 0；（4）成立，性质 1（两边都减 5）。 C组 拓展探究 12．（1）①③⑤；（2）不正确，第②步去括号出错：，不是 4x + 1。正确过程：去分母得 ；去括号得 ；移项得 ；合并得 ；系数化为 1，得 。 13．（1）成立，由 a + b = c 两边都减去 b（性质 1）；（2）成立，两边都乘 2（性质 2）；（3）成立，两边都减去 c（性质 1），得 a = c − b，即 a − c = −b。 / 学科网（北京）股份有限公司 $