精品解析：山东济南市章丘区2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情调研试题

九年级数学学情调研 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 3. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，下列说法正确的是（ ） A. B. 石板路的宽度为 C. 石板路的面积为 D. 水池的横向长度为 10. 如图，正方形中，点E为的中点，于点，延长交于点F，延长交于点H，交于点N．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 12. 如图，已知直线，，，，那么_______． 13. 如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 14. 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为______． 15. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 19. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 20. 如图，在四边形中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）如图1，已知菱形的边长为2，设菱形的对角线，的长分别为，．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”=__________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为，求“接近度”． （2）如图2，已知矩形的对角线，相交于点，设，的长分别为，，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． ①若矩形的“接近度”=__________，矩形就是正方形； ②若，求矩形的“接近度”． 24. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． （1）当时，求的面积； （2）当为多少时，的面积是？ （3）当为多少时，与是相似三角形？ 25. 综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： （1）问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． （2）类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图（左视图），解题的关键是明确左视图是从左侧观察几何体得到的平面图形，能区分可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）． 从左侧观察该几何体，主体为圆柱，内部有一条水平的不可见分割线，因此左视图应为一个矩形，中间有一条水平虚线． 【详解】解：A、该选项为圆形，不符合从左侧观察到的矩形轮廓，此选项不符合题意； B、该选项为矩形，中间有一条水平虚线，符合从左侧观察到的图形，此选项符合题意； C、该选项为L形，与几何体的圆柱轮廓不符，此选项不符合题意； D、该选项为矩形，中间为实线，代表可见轮廓线，与实际不可见的分割线不符，此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，故A不符合题意； B、四条边相等的四边形是菱形，正确，故B不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，但不互相垂直，原说法错误，故C符合题意； D、正方形是轴对称图形也是中心对称图形，正确，故D不符合题意． 3. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 【详解】解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 4. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 6. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线，  在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，下列说法正确的是（ ） A. B. 石板路的宽度为 C. 石板路的面积为 D. 水池的横向长度为 【答案】D 【解析】 【分析】根据水池的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再逐项分析即可． 【详解】解：设石板路的宽度为米，则两水池可合成长为米、宽为米的长方形， 根据题意得：，故A选项说法错误； 整理方程得，， 解得（舍），， 即石板路的宽度为，故B选项说法错误； 石板路的面积为，故C选项说法错误； 水池的横向长度为，故D选项说法正确； 10. 如图，正方形中，点E为的中点，于点，延长交于点F，延长交于点H，交于点N．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可判断①；先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可判断②；由得到，则有，根据全等三角形的性质得到，即可判断③；过作于，，交的延长线于，通过证明得到，，再根据正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质即可判断④；根据正方形的性质得到，再利用线段和差关系得到，由此即可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过作于，，交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴，则结论④错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即，则结论⑤正确； 综上，正确结论的个数有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 12. 如图，已知直线，，，，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，继而即可得． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例． 13. 如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭的高度． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得(米)； 故答案为：． 14. 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解一元二次方程，根据黄金分割定义得，设，则，即，整理得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据黄金分割定义得， 设，则， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先通过矩形和折叠的性质求得，再通过勾股定理求出，设，则，，在中，由勾股定理列出方程求出x，再在中，根据勾股定理，得，再通过三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， 在中，由勾股定理可得， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， 在中，根据勾股定理得， 由折叠的性质得， 又∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 17. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】略． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 19. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得，，再利用得到，解关于的方程，然后根据的取值范围确定的值即可． 【小问1详解】 根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； 【小问2详解】 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 整理得， 解得，， ， 的值为． 20. 如图，在四边形中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质： （1）先根据角平分线得出，进而可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出，代入即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴（负值舍去）． 21. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）连接，根据菱形的性质得出，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是 任务2：应该降价元 【解析】 【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：应该降价元． 23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）如图1，已知菱形的边长为2，设菱形的对角线，的长分别为，．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”=__________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为，求“接近度”． （2）如图2，已知矩形的对角线，相交于点，设，的长分别为，，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． ①若矩形的“接近度”=__________，矩形就是正方形； ②若，求矩形的“接近度”． 【答案】（1）①0；② （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）①当时，菱形为正方形，由定义求解即可；②若菱形的一个内角为，根据菱形的性质，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的值，进而可得的值，即可获得答案； （2）①当时，矩形为正方形，结合矩形的“接近度”的定义，即可获得答案；②根据矩形的性质可得，由三角形外角的定义和性质、等腰三角形的性质可得；设，则在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得的值，结合矩形的“接近度”的定义即可获得答案． 【小问1详解】 解：①若菱形的“接近度”，菱形就是正方形， 理由如下： 当时，菱形为正方形，此时； ②如图1，根据题意可得，，令， 由菱形的性质可得，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ； 【小问2详解】 解：①当时，矩形为正方形，此时； ②如图2， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则在中，， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． （1）当时，求的面积； （2）当为多少时，的面积是？ （3）当为多少时，与是相似三角形？ 【答案】（1） （2）秒或秒 （3）当为或秒钟，使与相似． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． （1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案； （2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可； （3）要使与相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， ∴， 当时，，，的面积； 【小问2详解】 解：由题意得， 即， 答：当为或秒，使的面积为． 【小问3详解】 解：设经过秒钟，使与相似， ， 第一种情况：当时，与相似，即， 解得：， 第二种情况：当时，与相似，即， 解得：． 答：当为或秒钟，使与相似． 25. 综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： （1）问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． （2）类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】（1）① 1；② 40° （2）解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 ① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $