精品解析：山东河口区海河中学2026-2027学年度第一学期第一次月度质量检测九年级数学

河口区海河中学2026-2027学年度第一学期第一次月度质量检测九年级数学 用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、符合二次函数的定义，故本选项符合题意； D、，当时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知是抛物线上一点，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， 故选A． 3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinA的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝=＝10， ∴sinA＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 4. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．是反比例函数，，∵，∴在每个象限内随的增大而减小，不符合要求，A错误． B．是一次函数，∵，∴随的增大而减小，不符合要求，B错误． C．是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求，C错误． D．是一次函数，∵，∴在全体实数范围内，随的增大而增大，符合要求，D正确． 5. 在中，、均为锐角，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出tanB与sinA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可． 【详解】∵|tanB−|+(2sinA−)2＝0， ∴|tanB−|＝0，(2sinA−)2＝0， ∴tanB=，∠B=60°， 2sinA-=0，sinA=，∠A=60°， 在△ABC中，∠C=180°-60°-60°=60°， ∴△ABC是等边三角形． 故选B． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 6. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 7. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 8. 如图,在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交网格于，连接，得直角三角形ACD，由勾股定理得出、，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：延长交网格于，连接，如图所示： 则， ，， 的正切值； 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 9. 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，，  ， 由折叠的性质可得，  ，即，  ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即，  ． 二、填空题（本大题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分共28分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】函数表达式同时含有二次根式和分式，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得 ， 解，得， 解，得， 因此自变量的取值范围是且． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 13. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 14. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解. 【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA， ∵BC=6， ∴CE=， ∴DF=CE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义． 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且，开口向上 当时，， ∵对称轴在范围内， ∴y的最小值为 当时， 当时， ∴的取值范围为 故答案为：． 16. 如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正切函数，角度计算，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知可证明，可求，则的值可求． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，再结合新定义求解即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的关系式，再联立并求出解，然后根据勾股定理求出，即可得出第1个正方形的边长，同理得出第2，3个正方形的边长，最后按此规律类推得出答案． 【详解】解：根据题意，， 即直线是第一象限的角平分线，则关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第1个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第2个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第3个正方形边长为， 按此规律类推，第n个正方形的边长为， ∴第2027个正方形的边长为． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. 计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】 【分析】(1) 把特殊角的三角函数值代入计算即可． (2) 分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、指数幂化简等运算，然后合并． 【详解】解：(1)原式= (2) 原式= 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键． 20. 为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求出的取值范围； （3）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】（1） （2） （3）垂直于墙的一边的长 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据矩形的边长为正数，且与墙平行的边长不超过，列出不等式组进行求解即可； （3）令，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，平行于墙的边长为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， 解得； 【小问3详解】 解：当时， 解得或（不合题意，舍去）； 答：垂直于墙的一边的长. 21. 已知：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，垂足为点D，设，根据，得出，再根据，表示出的长，再在中，根据，即可求出x的值，从而得出的长，即可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为点D， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ，即 解得：， ∴． 22. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； 【小问2详解】 解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 23. 某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向． （1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】（1） （2）205m 【解析】 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，分别在Rt△ACD和Rt△CDB中，解直角三角形即可求得BC的长； （2）由题意可得AC+BC及AB的长，则计算AC+BC−AB即可求得结果． 【小问1详解】 过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m， 在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600， ∴CD＝AC＝300（m）， AD＝AC＝300（m）， ∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B， ∴∠B＝75°﹣∠A＝45°， ∴CD＝BD＝300（m）， BC＝CD＝300（m）， 故景点B和C处之间的距离为300m； 【小问2详解】 由题意得：AC+BC＝（600+300）m， AB＝AD+BD＝（300+300）m， AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300） ≈204.6 ≈205（m）， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m． 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． 24. 如图，点、在的图象上．直线与y轴交于点C，连接、． （1） ； ； （2）求直线的函数表达式； （3）求的面积； （4）观察图象，当时，y的取值范围________． 【答案】（1）；4 （2） （3）6 （4） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式求出a的值，再求出时的函数值即可得到m的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出点C的坐标，根据列式求解即可； （4）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得，解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，，则 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 由（1）得， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问4详解】 解：由函数图象可知，当时，y的取值范围． 25. 五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，． 测量工具 卷尺 参考数据 ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）． 【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河口区海河中学2026-2027学年度第一学期第一次月度质量检测九年级数学 用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是抛物线上一点，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinA的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、均为锐角，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图,在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 9. 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分共28分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 13. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 14. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 16. 如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 17. 定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 18. 如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. 计算： (1) ； (2) ． 20. 为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求出的取值范围； （3）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 21. 已知：如图，在中，，，，求的长． 22. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 23. 某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向． （1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732） 24. 如图，点、在的图象上．直线与y轴交于点C，连接、． （1） ； ； （2）求直线的函数表达式； （3）求的面积； （4）观察图象，当时，y的取值范围________． 25. 五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，． 测量工具 卷尺 参考数据 ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $