重庆市第一中学校2027届高三上学期周考数学试题（六）

重庆一中高2027届高三上期周考数学试题(六) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.正项等差数列{an}的公差为d,已知a=4,且a,马-2,a5三项成等比数列,则d=() A.-1 B.3 C.1 D.-3 2.sin n1r=() -tan- 6 3 3 A: B.5 2 c D.- 2 3.向量 ,6的夹角为60,同=l,=2,则a-=() A.3 B.万 C.3 D.7 4.已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值是() A.1 B.3 C.6 D.9 5.函数f(x)=lg(a2-2x+4a)的值域为R,则实数a的取值范围是( ) [ B c( D. 6如图,在a8C中,瓜-号,P是N上的一点,若而品恋+mC, 则实数m的值为() A号 2 B. c D. 33 7.已痴0<a<经0<B<分,且m(2a+)-4B,ma= 2 ,则a+B的值为() A君 B. 5 6 D.3 8.若曲线y=血x-m与圆x2+y2=2恰有一个公共点,则实数m的值为() A.e B.2 c D.1 试卷第1页(共4页) 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项 是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.关于平面向量 ,b,下列命题错误的有() A.若a/6,则存在2∈R,使得i= B.若 ABC是等边三角形,则AB,BC的夹角为60 C.a+8 sla+ D.若a.b<0,则a与b的夹角8是钝角 10.在 ABC中,AB=7,AC=5,BC=9,D为直线BC上一点,且AB⊥AD,则() A.∠BAC为钝角 B.BD=8 C.AD=7面 5 D.sinLADC-5 6 11,在 ABC中,记y=1+cos2C-cosC.cos(A-B),则下列判断正确的是() A当C=行时,y的最大值为子 B.给定aABC,任意交换y=1+cos2C-cosC cos(A-B)中A,B,C的位置,y的值不会发生改变 C.当y=3时,AABC为等边三角形 D.存在满足条件的 ABC,使得y=3成立 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若lg2=a,lg3=b,则1og2l5= (用a,b表示) 13。已知双曲线C:号茶-6>06>0的右焦点为,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M 交另一条渐近线于N,若3派=不,则双曲线的离心率为 14.如图,已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条水平 直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60 和30 ,且BC=20,则球体 建筑物的半径为 60 30 7 B 试卷第2页(共4页) 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数f(x)=asir+bcoswx+1(ab≠0,w>0)的周期为 ,f(x)的最大值为4,且 (1)求a,b的值; (2)求f()图像的对称中心 16.在 ABC中,已知角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 acosA=bcosC+ccosB. (1)求A; (2)若b=8,c=2,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN的余弦值, 17.某学校对某次高三质量检测化学考试成绩进行了汇总,并将化学成绩按赋分规则转换为等级分数(赋分 后学生的等级分数全部位于[30,100]内),整理后得到如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0.030 0.028 0.020 m 0.004 0.002L1 030405060708090100等级分数/分 (1)求频率分布直方图中m的值,并估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数: (2)用分层随机抽样的方法从等级分数位于[80,100内的学生中随机抽出8人,再从这8人中随机抽出3人, 记为这3人中等级分数位于[80,90)内的人数,求的分布列和数学期望, 试卷第3页(共4页) 8.已知椭圆r:千+卡a>b>0,点A为椭圆短轴的上端点,P为椭因上异于A点的任一点,若P点 到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到,则称此椭圆为“圆椭圆”,已知b=1. ()者。三,判断椭圆T是否为圆椭圆 (2)若椭圆厂是“圆椭圆”,求a的取值范围: (3)若椭圆T是“圆椭圆”,且a取最大值,为P关于原点O的对称点,2也异于A点,直线AP、A2分别 与x轴交于M、N两点,试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论. 19.已知函数f儿冈=smr-xo8x,g句=2f因)-2 x (1)求f(x)在(-2 ,2m)上的单调区间. (2)证明:g(x)在(0,x)上存在最大值M. (3)判断(2)中的M是否也是g(x)在(0,+∞)上的最大值,并说明你的理由. 试卷第4页(共4页) 《重庆一中高2027届高三上期周考数学试题(六)》参考答案 题号 1 2 0 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D B A D ABD ACD 题号 11 答案 ABC 1. 【详解】因为4,4-2,a三项成等比数列,所以(4-2)2=aa, 故(a+2d-2)}=a(a+4d),结合a=4可得d-2d-3=0,解得d=3或d=-1(负值舍去). 2.【详解】gm号=2 君引m(级-引-{引可)=9 3.【详解】a-矿=+-2 -6,由同=l,=2,两向量夹角为60 , 可得a-6=lx2 cos60 =1x2 2l,所以a-=+-2a-6=l+4-2=3,所以a-5. 4.【详解】:a>0,b>0,由基本不等式可得ab≤ 当且仅当a=b时等号成立 又ab=a+b+3,代入上述不等式可得a+b+3≤a+ 4 设1=a+b(t>0),整理得2-4t-12≥0, t>0,∴.解得126,当且仅当a=b=3时等号成立,故a+b的最小值为6. 5.【详解】令u=a2-2x+4a,因为函数f(x)=lg(2-2x+4a)的值域为R,则内层函数u=m2-2x+4a 的值域包含(0,∞), 当a=0时,内层函数4=-2x的值域为R,符合题意: 当a≠0时,因为内层函数u=m2-2x+4a的值域包含(0,+∞), 则公=4-16d≥0解得0<a≤分综上所述,实数a的取值范围是 a>0 6.【详解】由=,NC,得C=3,则AC=+NC=N+3=4, 所以严=是西+mC=品西+4细孤.因为P是N上的-点,即B,P,N三点共线, 根据共线向量定理的准论则有品+4钢-山,即加一品,解得网一品。 11 7.【详解】因为sin(2a+)=4sinB,所以sim[(a+)+a]=4sin[(a+)-a], sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina =4sin(a+B)cosa-4cos(a+B)sina, 5 化简得5cos(a+B)sina=3sin(a+)cosa,所以tan(a+=。tana. 答案第1页(共8页) 又由于aa-9,所以ma+ma-号 5 又0<a<号,0<B<受所以0<a+B<,所以a+B 6 8.【详解】因为曲线y=血x-m与圆x2+y2-2恰有一个公共点,所以曲线y=山x-m与圆X2+y=2相 切设切点横坐标为。, 由y=hx-m,得y=,由2+y=2,结合图象得y=-2-子 则。2- ,可得 书=1 nx-m 血-m=-√2- m=1 9.【详解】A选项:若a=O,b≠0时,此时al心,但不存在1eR使得6=a,故A错误: B选项:等边三角形 ABC中,B与BC起点平移重合后的夹角为I20 ,故B错误: C选项:向量三角不等式a+s同+当且仅当 ,6同向时取等号,故c正确: D选项:当a b<0,则a与b的夹角可能是钝角或者180 ,故D错误. 10.【详解】 选项A,由余弦定理可得,os∠B4C=B+AC-BC_49+25-81.-<0,所以∠B4C为钝角: 2.AB.AC 2 7 510 选项B,由余弦定理可得,co9B=BM+BC2-AC=49+81-255、 2.BA.BC 2 7 96 =二>0,∠B是锐角, 在RDAB中,BD=B=?=42 cosB35*8, 6 透项C血8-w6=烹没,所以m8胎8】 cos B 5' 因为AB LAD,所以 DAB是直角三角形,在RIsDAB中,AD=AB:mB=7XT_面 5 5 选项D,因为∠ADC+∠ADB=元,所si血∠ADC=s血(-∠ADB)=血∠ADB=B=7-35_-5 BD42426 5 11.【详解】利用三角形内角和可得:A+B= -C, 结合c08u+c0sp=20osa+里c0s“,里和c0sC=-6os(4+B),cog2C=1+cos2C 2 2 2 得:y=1+cos2C-co8C.cos4-B)=+os2C 2 ∠+cos(A+B)os(A-B), 答案第2页(共8页) 所以y=3+0s2A+c02B+c0s2C 2 在A选项中,当C-时,C。分代入限式可得: 3 y=1+-(m-叭-t(-, 因为48(》所以4-B(分引 根据余弦函数的性质可得: co(- )最大值为1(当A=B=时取到),此时y号分号,A正确, 517 6 在B选项中,因为y=3+cos2M+s2B+os2C是么B,C的加法对称式。 2 交换任意角只是改变加法烦序,结果不变,B选项正确, 在c选项,中将y=代入y=1+cosC-oCc0s(4-). cosC-(4-8)归-子由sC=6ht9) -Cc(A+8-C(A-到=-子即Cco(4+副+Cc(4-到=月 化简可:得coc4 cBcC-君 在 ABC中,cosAcosBcosC>0,故三角形为锐角三角形, 对于锐角A,B有: cosAcosB-cos(+B)+cos(A-B)_csC+cos(4-B)1-cosC 2 2 2 所以cos4 osBcosCs1-cosC.c0sC=osC-cos3C,令1=csC∈(0,, 2 2 则5侧0-学,共拼和向下的=次墨数当-时取帮曼大位得)兰-甘 为cosAcosBcosC=,恰好取到最大值,因此所有不等式必须取 得出C=60且A=B,所以A=B=60,故 BC为等边三角形,C正确, (=cosC=1 在D选项中,由余弦值域cosx≤I可得: 3+c0s24+c0s2B+c02C3, 2 2 等号要求cos2A=cos2B=cos2C=1,即A=rk∈Z, 不符合三角形内角0<A< ,所以D错误。 12.1-a+也【详解】log,15=g5-1g5+l2_1-lg2+2_l-a+6 1g2 1g2 a 答案第3页(共8页) 13.35 3 【详解】渐近线OM的方程为证+y=0,双曲线的右热点为F(c,O), bc 则M=a店6,故oM=yDr-FM=vF-6-a 号知x轴为∠MON的角平分线,则点F到直线ON、OM的距离相等, -6-微-o=20-2a.a1=pW- S.OFN 由的段定里pM+a心-0,即G4w,可将d-,所以高6率:三-吾-29 14.10 【详解】设该球体建筑物的半径为R,根据题意作示意图如下,AO,OMON均为球的半径, ∠ABN=60,∠ACM=30', M: LABO-ABM-30LACO-LACM-15 2 h-a2o品54c-% R tan∠AC0tanl5 -sc-4c-h=R5-5R=20,即f-5@l5到-0ml5 ..R= 20tan15 20sin15' 20sin15' 20sinl5 10sinl5 1-√3tanl5cosl5 -√3sinl5 2sin(30 -15)sinl5 =10 5.【详据】《)~因=a血8x+6cosr+1-F+ax+0+1(m0-台 根据函数f因的周期为元,可得:= 解得:0=2 2分 又f(x)的最大值为4∴.√2+b2+1=4故d2+b2=9一一① f(得)5+1可得/停=as血+cas号+1-一@油0e解得: a=3 a-2 3 (6s0或 3V56分 b= 2 .ab+0..a 2636 2 .7分 (2)由(1))得f0闭)=36in(2x+)+19分 31 令2x+号=mkeZ,解得x=-,keZ, 2 61 所以西数儿的对路中心为会一名剖小e2: 13分 答案第4页(共8页) 16.【详解】1)由余弦定理知2=b+-C+c+d-B' -+G 2ah 20c 化简得,2ac0sM=a,所以co3M- 2 又因为A∈(0,,所以1-。 ? 6分 (2)由题意可知,∠MPN为向量PM与PN的夹角,即M与BN的夹角. M是BC的中点,得M而+C), 由N是AC中点,得丽-N-而=)C-西 所似丽丽而+列传c-西能C-而-而c 由b=8c=2,1=号,得而C-Cco=2x8x8MC==64=c=4。 所以丽=32-4- 8-12… 10分 M=)压2+2.4c+AC=4+16+64=2i, 网-得衣2-花+而-6-8+4=25. 故cos∠MPN= AM.BN 12 2W7 M8WV21x25=7 15分 17.【详解】(1)由题可得10(0.002+2 0.004+m+0.02+0.028+0.03)=1,解得m=0.012.3分 数据小于70的占比为(0.002+0.004+0.02+0.03) 10=0.56, 数据小于80的占比为(0.002+0.004+0.02+0.03+0.028) 10=0.84, 所以第70百分位数位于区间[70,80)内,记为x, 则x-70=0.7-0.56 80-70084-06解得x=75. 所以估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数为75…8分 (2)因为[80,90),[90,100]两组的频率之比为0.12:0.04=3:1, 所以从[80,90),[90,100]两组中抽取的人数分别为6,2. 答案第5页(共8页) 由题意5的可能取值为1,2,3, 6=S-京P5号完P6-小品 28 l2分 所以5的分布列为: 5 1 2 3 3 15 10 P 28 28 28 所以 =10+2x货+3 8-8-g 28 28284 …15分 18。【详解】①)由图意得销圆方程为行+y=1,所以0,)。 设Px01ss0.则p-2+0-r-30-+0-0=-产-2y+景 二次函数开口向下,对称轴为y=-4,所以函数在[-1,)上单调递减, 所以y=1时,函数取最大值,此时P为椭圆的短轴的另一个端点, 之椭圆4父+1是"圆椭圆”: 5分 2)因为椭圆方程为名+y=1,A《(0,设P,),(-1≤y≤), 则PA=x2+0y-1)2=d21-y2)+0y-102=(-a2+10y2-2y+a2,y∈[-l,刂,7分 由题意得,当且仅当y=-1时,函数值达到最大, -a2+1>0 @当开口向上时,满足- >0 -l<a<1(与a>b矛盾,舍去); a2-1 〔-a2+1<0 ②当开口向下时,满足 15-1 1<as5, a2-1 综上可得a的取值范围为LV2]。 11分 ③法:由2)可得a=2,则椭圆方程为+少-幻 由题意:设P(V2cos0,si血0,0e0,2m且0≠ I-sin0 √2cos 则Q(-√2cos0.sin),则直线AP:y= x+I,则M -2c0s0 ,0 -sin0 1+sin0 则直线AQ:y= 2cos0 x+川,则N -2co0 1+sin0 0 14分 答案第6页(共8页) 若MN为直径的圆过定点C,由对称性知C在y轴上,设C(O,)则,且C.CM=0, ..CN= -2cos0 CM- 2cos8 则C.C丽=-2o9=0,解得n=t2,所以得定点0,士2 17分 1-sin20 法二:椭圆方程: 号+y-设e-l6*0叭. 则P:y=x+1A0:y=出x+1, 融条小小 14分 若MN为直径的圆过定点C,由对称性知C在y轴上, ∴设c0,川,则丽cM=0,又Cm- 3小小 所似可.a函高=0,“浮+后-,架得n=5, 2 所以得定点(0, 2) 17分 19.【详解】(1)因为f(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx.f'(0)=0 当xE(-2元,- )时,si血x>0,所以xsinx<0,所以f(x)在(-2元,- )上单调递减: 当x∈(-元,0)时,si血x<0,所以xsinx>0,所以f(x)在(-元,0)上单调递增: 当xE(0, )时,simx>0,所以xsix>0,所以f(x)在(O,x)上单调递增: 当xE(x,2 )时,si血x<0,所以xsinx<0,所以f(x)在( ,2 )上单调递减. 所以函数f(x)在(-2 ,-元),( ,2 )上单调递减,在(-元,上单调递增 4分 ②因为g月-25mx-2 xCOx-士,x∈(0,, x 所以gg=2si如x-2xosx-j2-2s血x-2 05-2)H) 答案第7页(共8页) (2cosx-2casx+2xsinx-2r).-(2sinx-2xcosx)3r _(2-6)sin x+6xco+ x (x)=(2x-6)sinx+6xcosx+x,xE(0,). h(x)=4xsinx+(2x-6)cosx+6cosx-6xsinx+2r=2r(xcosx-sinr+1), 再设p(x)=xcosx-simx+l,x∈(0,x, 则p(x)=co8x-x8inx-co3x=-xsinx,当x∈(0,)时,g(x)=-xsin.x<0, 所以()在(0,)上单调递减,又(0)=>0,(x)=-x+1<0, 所以唯一存在x∈(0,x),使得当xE(0,x)时,(x)>0,进而(x)>0,所以h(x)在(0,)上单调递州: 当x=时,(x)=0,进而(x)=0: 当xE(名o,)时,p(x)<0,进而H(x)0,所以h()在(名,x)上单调递减…9分 又因为h(0)=0,h(x)=6 + 2<0,所以h()>0, 所以唯一存在x∈(o, ),当x∈(0,x)时,h(x)>0,进而g(x)>0,所以g(x)在(0,x)上单调递增: 当x∈(:,x)时,h()<0,进而g()<0,所以g(x)在(,x)上单调递减 所以,当x=时,函数g(x)取得极大值,记为M… …11分 (3)(2)中的M不是g(x)在(0,+∞)上的最大值.理由如下: 设px)=2f(x)-x2(x>0),当x∈(0,oo)时,p'(x)=2 xsinx-2x=2x(sinx-1)s0, 则p(x)单调递减,所以p(x)<p(O)=0, 所以当x∈(0,+∞)时,g()<0,所以M=g()<0. 当xe(0,+o)时,8闪=2simx-2 x-2≥2-2x-￡-2-2-1 x 当 0时,宁宁云0, 所以存在∈0,+o),使得g(3)>g()=M, 故(2)中的M不是g(在(0,0)上的最大值..17分 答案第8页(共8页)