2.3 实数 提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第二章实数的初步认识第三节实数》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.理解无理数、实数的完整定义，掌握实数两种分类标准，完成从有理数到实数的数系扩充认知。 2.能精准辨析有理数与无理数，掌握实数相反数、绝对值、倒数性质，熟练比较实数大小、进行简单实数推理。 3.建立实数与数轴一一对应模型，能利用数轴判断实数位置、正负、大小及化简代数式。 4.掌握实数基础运算规则，能结合开方、 π 类无理数完成求值、比较、化简，规避实数常见运算陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.无理数的定义、三大常见类型，有理数与无理数的精准区分。 2.实数的两种标准分类方法（按定义分、按正负性分）。 3.实数的相反数、绝对值、倒数性质（与有理数性质完全一致）。 4.实数与数轴一一对应关系、实数大小比较方法。 （二）难点 1.易混数的辨析：带根号不一定是无理数、分数不一定是有理数的题型判断。 2.无理数的估算、无理数在数轴上的对应理解。 3.根据数轴位置化简含根号、含绝对值的实数代数式。 4.有理数、无理数四则运算后的结果属性判断（和、差、积、商是有理/无理数）。 )三．知识梳理 （一）无理数的完整定义与三类形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.核心特征：无限、不循环，不能写成分数形式。 3.必考三类无理数 （1）开方开不尽的数：、、、、等； （2）含π的数：π、2π、等； （3）无限不循环特殊小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1） 4.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 5.无理数的大小比较 （1）平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 （2）夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （二）实数的定义与双重分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 （三）实数与数轴（核心考点） 1.一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的表示的数为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出。 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-. 2.数轴规律：数轴上右边的数总比左边的数大。 3.意义：数系扩充后，数轴被实数填满，没有空隙。 （四）实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 （四）实数大小比较常用方法（提优必考） 实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： 1.数轴法：右大左小 2.正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小 3.平方比较法（正无理数）：如比较\sqrt7和\sqrt5，7>5，则\sqrt7>\sqrt5 4.作差法、作商法（复杂实数比较） （五）实数运算基本规则 1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 3. 运算律： （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 4. 实数混合运算的注意点： （1）要注意运算顺序； （2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； （3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 5.常见结果规律： （1）有理数±有理数=有理数 （2）有理数±无理数=无理数 （3）非0有理数×无理数=无理数 （六）易错分析（考试高频陷阱、提优专属） 1.误以为“带根号的都是无理数” 【错误】：只要有根号就是无理数。 【正解】：能开得尽方的是有理数。 例：=2、=3、=2 均为有理数。 2.误以为“分数都是有理数” 【错误】：所有分数都是有理数。 【正解】：分子或分母含无理数的分数是无理数。 例：、是无理数，不属于有理数。 3.混淆无限小数、循环小数概念 【错误】：无限小数就是无理数。 【正解】：无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数。 4.0的分类判断错误 【错误】：0是正数、0是无理数。 【正解】：0是有理数，不属于正、负实数。 5.实数绝对值化简易错 【错误】：负数的绝对值直接去掉符号出错、带根号负数不会化简。 【正解】：负数绝对值等于它的相反数，如|-|=。 6.实数与数轴理解误区 【错误】：只有有理数能在数轴上表示。 【正解】：无理数也能在数轴上精准表示，实数与数轴点一一对应。 7.运算结果属性判断错误 【错误】：无理数加减一定是无理数。 【正解】：存在特殊抵消：2+与2-为无理数，但-=0（有理数）。 8.无理数估算取值范围出错 【错误】：混淆“整数部分、小数部分”，估算范围写反大小。 【正解】：先找相邻完全平方数，锁定无理数区间，再判断整数、小数部分。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·盐城中考）下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B.3.14 C. D. 2.（2025·苏州工业园月考）实数-的相反数是（ ） A.- B. C. D.- 3.（2025·无锡宜兴期末）估计的值在（ ） A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 4.（2026·盐城射阳一模）下列说法正确的是（ ） A.无限小数都是无理数 B.无理数都是无限小数 C.带根号的数一定是无理数 D.实数分为正实数和负实数 5.（2025·连云港中考）|-2|的结果是（ ） A.-2 B.2- C.+2 D.--2 6.（2026·南京玄武期中）和数轴上的点一一对应的是（ ） A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 7.下列说法正确的是（ ） A．0.1 是无理数 B．是无限小数，是无理数 C． 是分数 D．0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数 8．点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（　　） A．﹣5 B．- C． D．﹣3 9.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 10.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 二．填空题（共30分） 11.（2025·镇江丹徒期末）在实数π，0,，中，无理数有______个。 12.（2026·盐城阜宁月考）的整数部分是______。 13.（2025·苏州期末）实数1-的绝对值是______。 14.（2026·泰州姜堰期中）若一个无理数介于3和4之间，写出一个符合条件的无理数：_。 15.（2025·扬州邗江月考）在实数-，-2，0，1中，最小的数是______。 16.（2026·徐州期中）若|x-|=0，则x=______。 17.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9边长是无理数的正方形有　　　　个.  18．若|3﹣a|+=0，则a+b的值是______. 19．（3﹣π）0﹣3﹣1＝　　 ． 20．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 三．解答题（共60分） 21．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 22．证明：是无理数. 23.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 24．阅读下列材料： 设：，①则.② 由，得，即. 所以. 根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 25. 定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 26.已知m是的整数部分，n是的小数部分。 求：（1）（m＋n）2的值； （2）－m的值。 27.（2024南通期中） (1) 下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，且>1，设＝1＋x，可画出示意图． 由面积公式，可得x2＋2x＋1＝2， 略去x2，得方程2x＋1＝2， 解得x＝0.5，即≈　　　　． 上述过程中，主要运用的数学思想是　　　　． (2) 容易知道1<<2，设＝2－x，请类比(1)中的方法求的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 28.若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜(n＋1)2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为(n，n＋1)；同理规定无理数－的“青一区间”为(－n－1，－n)，例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为(1，2)，－的“青一区间”为(－2，－1)，请回答下列问题： (1) 的“青一区间”为　　　　；－的“青一区间”为　　　　； (2) 若实数x，y满足关系式：＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，求的“青一区间”． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2.下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 3．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 5．在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ 　　） A． B． C． D． 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A.﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 8．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 9.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<<n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 10．已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共30分） 11. 绝对值小于的整数有______个． 12.观察下列各式： 则 =_______ 13.比较大小 （填“”，“”或“”） 14.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 15.已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为。 16.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[2.89]＝2，[]＝1，按此规定，[﹣1]＝__________。 17．根据以下程序，当输入时，输出结果为_______. 18．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 19.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1如2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，计算： π⊕（-2）=________. 20．观察下列等式： ①3－=（－1）2，②5－=（－）2，③7－=（－）2，… 请你根据以上规律，写出第5个等式____． 三．解答题（共60分） 21.把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 22．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 23.如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为　　　　;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 24.小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b=m2+2n2+2mn，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=　 　，b=　 　 （2）若a+4=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值． 25.阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。 例如计算：（2﹣i）＋（5＋3i）＝（2＋5）＋（﹣1＋3）i＝7＋2i； （1＋i）×（2﹣i）＝1×2﹣i＋2×i﹣i2＝2＋（﹣1＋2）i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝__________，i4＝__________； （2）计算：（1＋i）×（3﹣4i） （3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2026。 26.（2025泰州靖江期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m. (1) 实数m的值是　　　　； (2) 求(m＋2)2＋|m＋1|的值； (3) 在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋4|与互为相反数，求2c＋3d＋8的平方根． 27.（2025灌云月考）先观察下列等式，再解答下列问题： ①＝1＋－＝1； ②＝1＋－＝1； ③＝1＋－＝1. (1) 根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2) 按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3) 请利用上述规律来计算：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第二章实数的初步认识第三节实数》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.理解无理数、实数的完整定义，掌握实数两种分类标准，完成从有理数到实数的数系扩充认知。 2.能精准辨析有理数与无理数，掌握实数相反数、绝对值、倒数性质，熟练比较实数大小、进行简单实数推理。 3.建立实数与数轴一一对应模型，能利用数轴判断实数位置、正负、大小及化简代数式。 4.掌握实数基础运算规则，能结合开方、 π 类无理数完成求值、比较、化简，规避实数常见运算陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.无理数的定义、三大常见类型，有理数与无理数的精准区分。 2.实数的两种标准分类方法（按定义分、按正负性分）。 3.实数的相反数、绝对值、倒数性质（与有理数性质完全一致）。 4.实数与数轴一一对应关系、实数大小比较方法。 （二）难点 1.易混数的辨析：带根号不一定是无理数、分数不一定是有理数的题型判断。 2.无理数的估算、无理数在数轴上的对应理解。 3.根据数轴位置化简含根号、含绝对值的实数代数式。 4.有理数、无理数四则运算后的结果属性判断（和、差、积、商是有理/无理数）。 )三．知识梳理 （一）无理数的完整定义与三类形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.核心特征：无限、不循环，不能写成分数形式。 3.必考三类无理数 （1）开方开不尽的数：、、、、等； （2）含π的数：π、2π、等； （3）无限不循环特殊小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1） 4.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 5.无理数的大小比较 （1）平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 （2）夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （二）实数的定义与双重分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 （三）实数与数轴（核心考点） 1.一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的表示的数为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出。 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-. 2.数轴规律：数轴上右边的数总比左边的数大。 3.意义：数系扩充后，数轴被实数填满，没有空隙。 （四）实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 （四）实数大小比较常用方法（提优必考） 实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： 1.数轴法：右大左小 2.正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小 3.平方比较法（正无理数）：如比较\sqrt7和\sqrt5，7>5，则\sqrt7>\sqrt5 4.作差法、作商法（复杂实数比较） （五）实数运算基本规则 1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 3. 运算律： （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 4. 实数混合运算的注意点： （1）要注意运算顺序； （2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； （3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 5.常见结果规律： （1）有理数±有理数=有理数 （2）有理数±无理数=无理数 （3）非0有理数×无理数=无理数 （六）易错分析（考试高频陷阱、提优专属） 1.误以为“带根号的都是无理数” 【错误】：只要有根号就是无理数。 【正解】：能开得尽方的是有理数。 例：=2、=3、=2 均为有理数。 2.误以为“分数都是有理数” 【错误】：所有分数都是有理数。 【正解】：分子或分母含无理数的分数是无理数。 例：、是无理数，不属于有理数。 3.混淆无限小数、循环小数概念 【错误】：无限小数就是无理数。 【正解】：无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数。 4.0的分类判断错误 【错误】：0是正数、0是无理数。 【正解】：0是有理数，不属于正、负实数。 5.实数绝对值化简易错 【错误】：负数的绝对值直接去掉符号出错、带根号负数不会化简。 【正解】：负数绝对值等于它的相反数，如|-|=。 6.实数与数轴理解误区 【错误】：只有有理数能在数轴上表示。 【正解】：无理数也能在数轴上精准表示，实数与数轴点一一对应。 7.运算结果属性判断错误 【错误】：无理数加减一定是无理数。 【正解】：存在特殊抵消：2+与2-为无理数，但-=0（有理数）。 8.无理数估算取值范围出错 【错误】：混淆“整数部分、小数部分”，估算范围写反大小。 【正解】：先找相邻完全平方数，锁定无理数区间，再判断整数、小数部分。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·盐城中考）下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B.3.14 C. D. 【答案】C 【解析】=2是有理数；3.14、是有限/无限循环小数，属于有理数；是开方开不尽的数，是无理数。 2.（2025·苏州工业园月考）实数-的相反数是（ ） A.- B. C. D.- 【答案】B 【解析】实数a的相反数是-a，-的相反数为。 3.（2025·无锡宜兴期末）估计的值在（ ） A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 【答案】B 【解析】∵=4，=5，16<19<25，∴4<<5。 4.（2026·盐城射阳一模）下列说法正确的是（ ） A.无限小数都是无理数 B.无理数都是无限小数 C.带根号的数一定是无理数 D.实数分为正实数和负实数 【答案】B 【解析】无限循环小数是有理数；带根号但是有理数；实数分为正实数、0、负实数。 5.（2025·连云港中考）|-2|的结果是（ ） A.-2 B.2- C.+2 D.--2 【答案】B 【解析】≈1.732<2，负数的绝对值等于它的相反数，|-2|=2-。 6.（2026·南京玄武期中）和数轴上的点一一对应的是（ ） A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 【答案】D 【解析】实数与数轴上的点一一对应。 7.下列说法正确的是（ ） A．0.1 是无理数 B．是无限小数，是无理数 C． 是分数 D．0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数 【答案】D 【解析】A、0.1 是有理数，故 A 不符合题意； B、是无限小数是有理数，故 B 不符合题意； C、 是无理数，故 C 不符合题意；D、0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数，故 D 符合题意；故选：D． 8．点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（　　） A．﹣5 B．- C． D．﹣3 【答案】C 【解析】根据图中可以看出点A对应的实数是一个正数，且只有C选项满足，故选：C． 9.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 【答案】D 【解析】由于为实数, 2、( +1)2、均为非负数，∴－2≤0，－( +1)2≤0，－≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A、B、C不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(+1)﹤0．故选D 10.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 【答案】A 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 二．填空题（共30分） 11.（2025·镇江丹徒期末）在实数π，0,，中，无理数有______个。 【答案】2 【解析】π、是无理数；0、为有理数。 12.（2026·盐城阜宁月考）的整数部分是______。 【答案】2 【解析】∵ 2<<3，整数部分为2。 13.（2025·苏州期末）实数1-的绝对值是______。 【答案】-1 【解析】1-<0，绝对值为它的相反数-1。 14.（2026·泰州姜堰期中）若一个无理数介于3和4之间，写出一个符合条件的无理数：__。 【答案】（答案不唯一，、π均可） 【解析】3=，4=，取--之间开不尽的根式即可。 15.（2025·扬州邗江月考）在实数-，-2，0，1中，最小的数是______。 【答案】- 【解析】-≈-2.646<-2<0<1。 16.（2026·徐州期中）若|x-|=0，则x=______。 【答案】 【解析】绝对值为0，内部式子等于0，x-=0。 17.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9边长是无理数的正方形有　　　　个.  【答案】6 【解析】面积为1,4,9的正方形的边长为有理数,面积为2,3,5,6,7,8的正方形的边长为无理数. 18．若|3﹣a|+=0，则a+b的值是______. 【答案】﹣3 【解析】∵|3﹣a|+=0，∴3=a，b=﹣6，则a+b=﹣3． 19．（3﹣π）0﹣3﹣1＝　　 ． 【答案】 【解析】（3﹣π）0﹣3﹣1＝1-=，故答案为：． 20．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【解析】由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数，∴第二次输出结果为． 三．解答题（共60分） 21．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 【答案】（1）正数集合：｛8，，，，…｝； （2）负数集合：｛－2．5，－2 ，－0．525225222…，…｝； （3）整数集合：｛0，8，－2 …｝； （4）无理数集合：{ ，－0．5252252225…，…}． 【解析】正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题. 22．证明：是无理数. 证明：用反证法证明．假设是有理数，则（m、n为互质的整数），得到，两边平方可得，得到为有理数，与已知为无理数矛盾，即可得到结论．假设是有理数，则（m、n为互质的整数）， 所以，两边平方得，．（均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的，所以为有理数，与已知为无理数矛盾， 所以是无理数． 23.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 解：（1）原式＝﹣8×4＋（﹣4）×﹣3＝﹣32﹣1﹣3＝﹣36； （2）原式＝﹣3﹣0﹣＋＋＝﹣2。 24．阅读下列材料： 设：，①则.② 由，得，即. 所以. 根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 解：设①则，② 由，得，即. 所以. 由已知，得， 所以. 25. 定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 解：（1） （2） 26.已知m是的整数部分，n是的小数部分。 求：（1）（m＋n）2的值； （2）－m的值。 解：∵m是的整数部分，n是的小数部分，∴m＝﹣4，n＝4； （1）（m＋n）2＝（﹣4＋4）2＝（）2＝19； （2）－m＝＝－＝－。 27.（2024南通期中） (1) 下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，且>1，设＝1＋x，可画出示意图． 由面积公式，可得x2＋2x＋1＝2， 略去x2，得方程2x＋1＝2， 解得x＝0.5，即≈　　　　． 上述过程中，主要运用的数学思想是　　　　． (2) 容易知道1<<2，设＝2－x，请类比(1)中的方法求的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 解：(1) 1.5　数形结合思想 (2) 如图，设＝2－x，则(2－x)2＝3，根据图中面积可得22－2x(2－x)－x2＝3， 所以4－4x＋x2＝3，略去x2，得方程4－4x＝3，所以x＝0.25，所以≈2－0.25＝1.75. 28.若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜(n＋1)2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为(n，n＋1)；同理规定无理数－的“青一区间”为(－n－1，－n)，例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为(1，2)，－的“青一区间”为(－2，－1)，请回答下列问题： (1) 的“青一区间”为　　　　；－的“青一区间”为　　　　； (2) 若实数x，y满足关系式：＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，求的“青一区间”． 解：(1) (4，5)　(－5，－4) (2) 因为＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，所以＋2 025＋(y－4)2＝2 025， 即＋(y－4)2＝0，所以x＝3，y＝4，所以＝.因为32＜12＜42，所以的“青一区间”为(3，4). B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下：选项A：是分数，属于有理数；选项B：是有限小数，属于有理数；选项C：是无限不循环小数，属于无理数；选项D：，是整数，属于有理数．故选：C． 2.下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 【答案】：C 【解析】：=4，=2，=3，均为有理数； 无法开尽，是无理数。 3．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误；②平方等于9的数是，原说法错误；③是精确到千位，正确；④一定比a大，正确；⑤与都是有理数，原说法错误；正确的有：③④，故选：A． 4.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【解析】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C． 5．在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ，∵，∴在，，这四个数中，相反数最小的数是． 6．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，∴，∴ ，故选C． 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A.﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 【答案】D 【解析】根据题意得：点B表示的数为﹣1或+1，故选：D． 8．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 【答案】B 【解析】A. 面积为 2 的正方形的边长为，是无理数 ，正确; B. 无限不循环小数是无理数,错误;C. 无理数可以用数轴上的点来表示,正确; D. 半径为 1 的圆的周长是2π，是无理数，正确.故选B. 9.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<<n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 【答案】：C 【解析】∵2025<2026<2116, ∴45<<46, ∴n=45.故选C. 10．已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①当x＞2时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为x﹣2+x﹣1+x+1+x+2＝4x＞0，故①错误；②|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|}表示数轴上表示x的点到表示2，1，﹣1，﹣2的点的距离之和，所以当﹣1≤x≤1时，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的值最小，最小值为6，故②正确；③共有15种不同的“防御操作”，依次为：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2，x﹣2+|x﹣1|+x+1+x+2，x﹣2+x﹣1+|x+1|+x+2，x﹣2+x﹣1+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+x+2，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2，|x﹣2|+x﹣1+x+1+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+x+2，x﹣1+|x﹣1|+x+1+|x+2|，x﹣2+x﹣1+|x+1|+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+x+2，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，故③正确．故选：C． 二．填空题（共30分） 11. 绝对值小于的整数有______个． 【答案】7 【解析】设这个数为x,则<∴-<x<.∴绝对值小于的所有整数有0，±1，±2，±3. 12.观察下列各式： 则 =_______ 【答案】 【解析】 故答案为 13.比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】∵，∴，，∴ ∴．故答案为：． 14.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 【答案】－2 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 15.已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为。 【答案】8 【解析】因为（－2）2+=0，所以－2=0，b－3=0。所以=2， b=3；所以b=8 16.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[2.89]＝2，[]＝1，按此规定，[﹣1]＝__________。 【答案】3 【解析】：∵4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴[﹣1]＝3。故答案为：3。 17．根据以下程序，当输入时，输出结果为_______. 【答案】 【解析】，∵，∴，，∵，∴，，，∵，∴，∴输出的结果为． 18．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】 【解析】∵圆的周长为，∴点B表示的数为． 19.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1如2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，计算： π⊕（-2）=________. 【答案】 π+3． 【解析】原式转化为：π⊕（-2）=|π﹣（-2）|+1=π+3 20．观察下列等式： ①3－=（－1）2，②5－=（－）2，③7－=（－）2，… 请你根据以上规律，写出第5个等式____． 【答案】 【解析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．因为等式左边第一项依次增加2，所以第5个等式的第一项是11，因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，所以这个数是30，观察其余部分都相同，直接带下来即可，所以第5个等式是．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21.把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 22．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 解：(1)原式＝4＋＋2＝6. (2)原式＝2－8－2＝－8. (3)原式＝4×5＋π－1－3＝20＋π－1－3＝16＋π. (4)原式＝6＋－1＋2＋5＝12＋. (5)原式＝1＋5＋3－3＋＝6＋. 23.如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为　　　　;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 解：(1)当x=16时,=4,不是无理数,=2,不是无理数,2取算术平方根为,是无理数,故输出y的值为. (2)当x=0或x=1时,始终输不出y值.因为0和1的算术平方根分别是0和1,是有理数,会进行无限循环,所以输不出y值. (3)x的值不唯一.如x=3或x=9. 24.小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b=m2+2n2+2mn，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=　 　，b=　 　 （2）若a+4=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值． 解：(1)∵a+b=(m+n)2，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn； （2）由题意，得∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13 25.阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。 例如计算：（2﹣i）＋（5＋3i）＝（2＋5）＋（﹣1＋3）i＝7＋2i； （1＋i）×（2﹣i）＝1×2﹣i＋2×i﹣i2＝2＋（﹣1＋2）i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝__________，i4＝__________； （2）计算：（1＋i）×（3﹣4i） （3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2026。 解：（1）i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1。故答案为：﹣i，1； （2）（1＋i）×（3﹣4i）＝3﹣4i＋3i﹣4i2＝3﹣i＋4＝7﹣i； （3）i＋i2＋i3＋i4=i-1-i＋1=0，2026÷4=506…2，∴i＋i2＋i3＋…＋i2026＝0×506＋i﹣1 ＝i-1。 26.（2025泰州靖江期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m. (1) 实数m的值是　　　　； (2) 求(m＋2)2＋|m＋1|的值； (3) 在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋4|与互为相反数，求2c＋3d＋8的平方根． 解：(1) －2 (2) 当m＝－2时，(m＋2)2＋|m＋1|＝(－2＋2)2＋|－2＋1|＝5＋－1＝4＋. (3) 因为|2c＋4|与互为相反数，所以|2c＋4|＋＝0，所以2c＋4＝0，d－4＝0， 解得c＝－2，d＝4，所以2c＋3d＋8＝2×(－2)＋3×4＋8＝16，所以2c＋3d＋8的平方根为±4. 27.（2025灌云月考）先观察下列等式，再解答下列问题： ①＝1＋－＝1； ②＝1＋－＝1； ③＝1＋－＝1. (1) 根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2) 按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3) 请利用上述规律来计算：. 解：(1) 由题意，得＝1＋－＝1，所以＝1. (2) 由题意，得＝1＋－＝1＋， 所以用n(n为正整数)表示的等式为＝1＋. (3) 由题意，得＝＝＝1＋－＝1， 所以＝1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $