精品解析：北京二中教育集团2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026—2027学年度第一学期初三数学练习 练习目标 知识技能：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《反比例函数》、《旋转》的全部内容．数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 练习须知 1．本练习分为第I卷、第II卷和答题卡，其中第I卷和第II卷共8页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2．本练习满分100分，练习时间120分钟． 3．请在第I卷、第II卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．请在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．练习结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 以下四样学具中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形定义即可解决问题． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的解析式，然后把各点的坐标代入验证即可． 【详解】解：由于反比例函数图象经过点，则有， 即反比例函数解析式为，或者， 由于，而， 所以点不在反比例函数的图象上，其余点都在反比例函数的图象上， 故选：B． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、判断点与反比例函数图象的关系，求出反比例函数的解析式是关键． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 5. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴，可以估算出左侧交点横坐标． 【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即 又∵对称轴为， 则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是， 故选：B． 7. 已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 8. 如图，左边的阴影三角形以A、B、C、D、E中任一点为旋转中心，在旋转角为的情况下，正好通过n次旋转得到右边的阴影三角形，则n的值可以是（ ） A. 、2可以，不行 B. 、3可以，不行 C. 、2、3都可以 D. 、3可以，不行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，利用旋转变换的性质一一判断即可，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 【详解】解：将左边的阴影三角形绕点E顺时针旋转右边的阴影三角形，此时． 左边的阴影三角形绕点B顺时针旋转，再将得到的三角形绕点E顺时针旋转，将得到的三角形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影三角形，此时． 故选B． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若是方程的一个根，则另一个根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个根是t，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：设另一个根是t， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴另一个根是． 10. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 【答案】（其他形式正确也可） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有名同学，则每位同学向其他成员赠送件标本，总赠送标本数为与的乘积，据此列出方程． 【详解】解：由题意，每位同学赠送的标本数量为件，小组共有名同学， ∴总赠送标本数为件， ∵总赠送标本数为210件， ∴可列方程为． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 13. 已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 14. 已知抛物线（a是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】首先求出对称轴为直线，然后根据对称性得到抛物线经过点，，然后将代入求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，；当时，，和关于1对称， ∴抛物线经过点，， 将代入得，， ∴． 15. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点位置确定的符号及数量关系；利用和时的函数值符号结合进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上，  ．  对称轴为直线，  ，即．  抛物线与轴交于负半轴，  ．  ，故A错误．  ，  ，故B错误．  抛物线与轴负半轴交点在和之间，  当时，，即，故C错误． 当时，，  ． 又，  ，即，故D正确． 16. 已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点不在第一象限，设，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】首先得到当时，，然后求出二次函数的对称轴为y轴时的表达式为，然后计算出此时，根据题意得到，然后排除点，点和在一条直线上时t的值即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的图象过点和， ∴当二次函数的图象过点时， ∴此时二次函数的对称轴为y轴， 设二次函数的解析式为， 将代入得， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵当时，， ∴此时， ∵此抛物线的顶点不在第一象限， ∴， 设，所在直线的表达式为， ∴， ∴， ∴，所在直线的表达式为， 将代入得，， ∴此时点，点和在一条直线上，不在二次函数上， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 三、解答题（共68分，其中第17－23题每题5分，第24－25题每题6分，第26－28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：化为一般式，得， ，，， ， ∴， ∴，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； （2）①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． 【答案】（1） 根据题意可得：，， 所作如图所示； （2） ①根据题意可得：，，； 所作如图所示： ② 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—旋转，中心对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）分别得出点、、绕点顺时针旋转的对应点坐标，进而问题可求解； （2）①根据中心对称图形的性质可进行作图； ②根据①中点的坐标特征可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②解：如图， 由图可知，，， 故； 故答案为： 20. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； （2）表格中空白处的值_____，_____； （3）在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （4）当时，，则的取值范围为_____． 【答案】（1） （2）8，0 （3）如图， （4） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式； （2）把，分别代入求解； （3）用五点作图法作图即可； （4）利用图象求解即可． 【小问1详解】 解：由表格得，二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得，， 将代入得，； 【小问3详解】 解：∵ 当时， 解得或 ∴二次函数和x轴的交点坐标为，， ∴列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 作图略； 【小问4详解】 解：∵当时，， ∴由图象得，． 21. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】（1） 证明： ， 所以，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 22. 如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时， （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得到AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，证明BE=AC，BE∥AC，即可证明结论； （2）过点B作BH⊥AD，先得出AH=12，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE， ∴AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE， ∴∠A=∠BDA， ∵BC=AC， ∴∠A=∠ABC，BE=AC， ∴∠BDA=∠DBE， ∴BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形； （2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H， ∵BD=BA，BH⊥AD， ∴AH=AD＝9， 在Rt△ABH中，由勾股定理得： BH=＝12， 设AC=BC=x，则CH=x-9， 在Rt△HCB中，由勾股定理得： （x-9）2+122=x2， 解得=， ∴AC的长为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识，作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两个交点分别为，. （1）求和的值； （2）求直线的解析式； （3）点为直线上的动点，过点作平行于轴的直线，交双曲线于点.当点位于点的左侧时，求点的纵坐标的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求k，然后把代入即可求得m； （2）根据（1）中求得的点A和B的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）结合图象可知，直线在B点的上方或在A点的上方、x轴的下方时符合题意． 【小问1详解】 解：∵双曲线点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 由（1）得：， 把，代入， 得 解得： ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵直线与双曲线的两个交点分别为，，点为直线上的动点，过点作平行于轴的直线，交双曲线图象于点， 当点位于点的左侧时，如图， ∴点的纵坐标的取值范围为：或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，数形结合是解决本题的关键． 24. 学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， （1）设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 （2）求的长是多少？ 【答案】（1）， （2）的长是米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，； （2）根据“劳动基地的总面积（不包含水池）为”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，设，则， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵劳动基地的总面积（不包含水池）为， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴； ∴； ∴的长是米． 25. 如图所示将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． 水平距离 0 0.5 1 竖直高度 10 11.25 10 （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表：根据上述数据，求出关于的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成动作，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3） ①运动员甲能成功完成此动作，理由如下： 运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为， 即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ∵， ∴运动员甲能成功完成此动作； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出对称轴直线，则抛物线的顶点坐标是，设抛物线解析式为，再代入，得出，即可作答． （2）依题意，把代入，解得，（不合题意，舍去），即可作答． （3）先理解题意得，把代入，解得，因为，则运动员甲能成功完成此动作，即可作答． ②先设竖直高度与水平距离的关系为，再把代入，整理得：，因为运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，得，然后解出解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线经过点， ∴抛物线的顶点坐标是， 设抛物线解析式为， 把代入， ∴， 解得：， 抛物线解析式为， 【小问2详解】 解：把代入 得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①略 ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 该抛物线的顶点为， ∴， ∴， 把代入， 整理得：， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作， 得， 则，即， 解得． 26. 已知二次函数的图象与x轴交于和两点． （1）若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； （2）当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 【答案】（1）①b的值为2，c的值为3；②m的值为或3 （2）满足条件的s的取值范围为 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②根据二次函数的图象和性质分类讨论进行解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，进一步得到，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 ①当时，点和， 将A，B两点坐标代入二次函数中，得， 解得 ∴b的值为2，c的值为3； ②由①知， ∴二次函数的表达式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 分类讨论： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，即时，都在对称轴左侧， 此时，y有最小值，，y有最大值， ∴，解得，符合题意； 当时，都在对称轴右侧， 此时，y有最大值，，y有最小值， ∴， 解得，符合题意； 当时，即时，时，y取得最大值4， 若最大值与最小值差为12，则最小值为， 将代入， 即，解得， 将代入， 即， 解得， 均不在的范围内，故不符合题意， 综上所述，当函数最大值和最小值的差为12时，m的值为或3； 【小问2详解】 根据题意，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴点A，B到对称轴的距离相等，设点A在点B左侧， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将代入中， 得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴． 27. 如图，在等边中，是的延长线上一动点，连接，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点． （1）依题意补全图1，并证明； （2）若，判断点的位置，并证明． （3）在（2）的条件下，连接．若等边的边长为3，当线段的长取得最小值时，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）解：依题意补全图1，如下： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：点E为的中点，理由如下： 如图，过点D作交的延长线于点G， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点E为的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由旋转的性质得，即可求证； （2）过点D作交的延长线于点G，证明，根据，可得，可证明，可得，再证明，即可解答； （3）取的中点N，连接，过C作交延长线于P，则为的中位线，可得E在过N且与平行的直线上运动，当时，最小，再根据直角三角形的性质可得，然后证明，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点N，连接，过C作交延长线于P，如图： ∵等边的边长为3， ∴，， 由（2）得：点E为的中点， ∴为的中位线， ∴，即E在过N且与平行的直线上运动， ∴当时，最小， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； 【小问2详解】 ∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； 【小问3详解】 ①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期初三数学练习 练习目标 知识技能：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《反比例函数》、《旋转》的全部内容．数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 练习须知 1．本练习分为第I卷、第II卷和答题卡，其中第I卷和第II卷共8页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2．本练习满分100分，练习时间120分钟． 3．请在第I卷、第II卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．请在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．练习结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 以下四样学具中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 如图，左边的阴影三角形以A、B、C、D、E中任一点为旋转中心，在旋转角为的情况下，正好通过n次旋转得到右边的阴影三角形，则n的值可以是（ ） A. 、2可以，不行 B. 、3可以，不行 C. 、2、3都可以 D. 、3可以，不行 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若是方程的一个根，则另一个根是_____． 10. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 13. 已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 14. 已知抛物线（a是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为_____． 15. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点不在第一象限，设，则的取值范围是_____． 三、解答题（共68分，其中第17－23题每题5分，第24－25题每题6分，第26－28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； （2）①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． 20. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； （2）表格中空白处的值_____，_____； （3）在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （4）当时，，则的取值范围为_____． 21. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 22. 如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时， （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长． 23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两个交点分别为，. （1）求和的值； （2）求直线的解析式； （3）点为直线上的动点，过点作平行于轴的直线，交双曲线于点.当点位于点的左侧时，求点的纵坐标的取值范围. 24. 学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， （1）设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 （2）求的长是多少？ 25. 如图所示将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． 水平距离 0 0.5 1 竖直高度 10 11.25 10 （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表：根据上述数据，求出关于的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成动作，求出的取值范围． 26. 已知二次函数的图象与x轴交于和两点． （1）若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； （2）当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 27. 如图，在等边中，是的延长线上一动点，连接，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点． （1）依题意补全图1，并证明； （2）若，判断点的位置，并证明． （3）在（2）的条件下，连接．若等边的边长为3，当线段的长取得最小值时，直接写出此时线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $