4.3对数（分层作业，11大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 4.3 对数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数的概念判断与求值 题型02 指数式与对数式的互化 题型03 对数的性质及对数恒等式 题型04 利用指数式与对数式的关系求值 题型05 运用换底公式化简计算 B组 能力进阶 题型01 利用对数性质解对数方程 题型02 对数运算性质的应用 题型03 用已知对数表示其他对数 题型04 实际问题中的对数运算 题型05 对数式条件求值问题 C组 思维拔高 题型 利用换底公式证明等式 对数的概念判断与求值题型01 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对数式中的取值范围为______． 4．计算______． 5．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 指数式与对数式的互化题型02 1．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 2．以下对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 对数的性质及对数恒等式题型03 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．______. 3．（25-26高二·江苏徐州·期末）______． 4．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数，则______ . 5．已知函数，则________. 利用指数式与对数式的关系求值题型04 1．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则（   ）. A．2 B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 4．（24-25高一下·北京·期中）已知，则的值为_____． 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设，且，已知． (1)若，求的值； (2)求的值． 运用换底公式化简计算题型05 1．化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 2．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 3．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（1）若，求的值； （2）计算的值. 5．（25-26高一上·湖南常德·月考）求下列各式的值： (1)； (2) 利用对数性质解对数方程题型01 1．若且，则（    ） A．10或 B． C．100 D．10 2．若，则___________. 3．方程的解______. 4．已知实数满足下列等式，则__________. 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 对数运算性质的应用题型02 1．（   ） A．4 B． C． D．2 2．（25-26高三上·山东德州·期末）已知函数，若，则______． 3．（25-26高一上·甘肃·期末）计算： 4．（25-26高一上·天津·期末）（1）化简：，（式中字母均为正数）； （2）计算：. 5．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算下列各式： (1)； (2). 用已知对数表示其他对数题型03 1．（2025·天津·模拟）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．设，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则_____________.（结果用 表示） 4．（25-26高一上·上海·质检）已知，则______（结果用，表示） 5．（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 实际问题中的对数运算题型04 1．（25-26高一上·江苏苏州四·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·学业水平）某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 5．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的______倍. 对数式条件求值问题题型05 1．（24-25高三上·江苏·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高一上·江苏镇江·联考）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·联考）已知函数，若，则____________． 5．若方程的两个解为，，求的值为 __． 利用换底公式证明等式题型 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西渭南·质检）已知：，求证：． 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 对数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数的概念判断与求值 题型02 指数式与对数式的互化 题型03 对数的性质及对数恒等式 题型04 利用指数式与对数式的关系求值 题型05 运用换底公式化简计算 B组 能力进阶 题型01 利用对数性质解对数方程 题型02 对数运算性质的应用 题型03 用已知对数表示其他对数 题型04 实际问题中的对数运算 题型05 对数式条件求值问题 C组 思维拔高 题型 利用换底公式证明等式 对数的概念判断与求值题型01 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．对数式中的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 4．计算______． 【答案】0 【分析】利用指数运算和对数运算法则求出答案. 【详解】. 故答案为：0 5．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 指数式与对数式的互化题型02 1．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 2．以下对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数式和对数式的关系即可得出. 【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于. 故选：A. 3．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【分析】由对数的定义即可求解. 【详解】由得：， 故答案为： 对数的性质及对数恒等式题型03 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．______. 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 3．（25-26高二·江苏徐州·期末）______． 【答案】 【详解】 4．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数，则______ . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 5．已知函数，则________. 【答案】 【分析】直接代入即可求解. 【详解】因为， 则， 故答案为： 利用指数式与对数式的关系求值题型04 1．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】∵，则. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】对数式化为指数式再求解． 【详解】∵，∴，，∴， 故选：A． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题可得，然后根据对数的运算性质及概念即得. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·北京·期中）已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设，且，已知． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用对数的运算直接化简计算即可； （2）利用对数的性质得到，代入直接计算即可. 【详解】（1）若，所以． （2）由，得． 所以． 运用换底公式化简计算题型05 1．化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 3．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 4．（1）若，求的值； （2）计算的值. 【答案】（1）10；（2）2 【分析】（1）根据题意可得，进而运算求解即可； （2）解法一：利用换底公式运算求解即可；解法二：根据结论运算求解. 【详解】（1）因为，则， 整理可得，解得； （2）解法一：； 解法二：. 5．（25-26高一上·湖南常德·月考）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）应用分数指数幂与根式的转化及指数运算律化简求值； （2）应用对数运算律及换底公式化简求值； 【详解】（1）原式 ． （2） 利用对数性质解对数方程题型01 1．若且，则（    ） A．10或 B． C．100 D．10 【答案】A 【分析】利用换底公式可得，求解可得结果. 【详解】因为， 所以， 所以或， 所以或. 故选：A 2．若，则___________. 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3．方程的解______. 【答案】2 【分析】首先根据对数的真数大于零得到：，然后根据对数运算法则可知：，据此求解出的值. 【详解】因为，所以； 又因为，所以，所以，解得：或，又因为，所以. 故答案为. 【点睛】解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解. 4．已知实数满足下列等式，则__________. 【答案】1 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即，构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由奇函数的性质即可求解. （2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可. 【详解】（1）因为是奇函数， ①当时，， ②当时，，， 所以， 所以. （2）由题意知，， 得， 令，则，即， 解得或， 即或， 解得或. 对数运算性质的应用题型02 1．（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用对数运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 2．（25-26高三上·山东德州·期末）已知函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意可得，由即可求解. 【详解】函数， ， 所以，即，解得. 故答案为：1 3．（25-26高一上·甘肃·期末）计算： 【答案】1 【分析】根据对数运算法则来计算 【详解】 4．（25-26高一上·天津·期末）（1）化简：，（式中字母均为正数）； （2）计算：. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据指数幂的乘法和除法的法则进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1） （2） 5．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可. （2）根据对数运算法则分别化简求值即可. 【详解】（1）； （2）原式. 用已知对数表示其他对数题型03 1．（2025·天津·模拟）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 2．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数式改为对数式，然后由对数的运算法则求解． 【详解】，则， 所以， 故选：D． 3．已知 ，则_____________.（结果用 表示） 【答案】 【分析】直接由换底公式即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·质检）已知，则______（结果用，表示） 【答案】 【分析】利用换底公式得，由对数定义及换底公式得，代入即可. 【详解】由对数定义可得，则由换底公式知， 同理可得，， 则. 故答案为：. 5．（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【答案】（1）1; （2） 【分析】（1）先把已知式子平方得出，再结合对数运算律求解即可； （2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示. 【详解】（1）, . （2） . 实际问题中的对数运算题型04 1．（25-26高一上·江苏苏州四·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B 2．（24-25高一上·浙江杭州·学业水平）某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案. 【详解】由题意得①，②， 则， 即，即， 所以， 故选：D 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【分析】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【详解】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可. 【详解】第代种子的数量为， 由题意得，得，即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第7代种子. 故选：B. 5．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的______倍. 【答案】1000 【分析】首先指对互换得，由指数幂运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以， 即里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍. 故答案为：1000. 对数式条件求值问题题型05 1．（24-25高三上·江苏·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果. 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 2．已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案. 【详解】设，则且， ∴，，， 显然，则，，， 由得，即， 等式两边同除以得，， 其中， 故，. 故选：C． 3．（25-26高一上·江苏镇江·联考）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设，求出与的关系，与联立，即可求出与的值，也就可求出的值. 【详解】设，根据对数换底公式，得， 已知，代入得： ， 即， 因式分解得： 解得或， 由，得： 若，则； 若，则（与上式对称，取分析即可）。 将代入，得： 化简右边：，因此： 因且，故 解得或（舍去） 则，故： 故选：B 4．（2025·联考）已知函数，若，则____________． 【答案】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 5．若方程的两个解为，，求的值为 __． 【答案】 【分析】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【详解】由题意：， 又． 故答案为：． 利用换底公式证明等式题型 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 2．（24-25高一上·陕西渭南·质检）已知：，求证：． 【答案】证明：设，显然， 则，可得， 所以. 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】略 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $