6.1.3 向量的减法（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.1.3 向量的减法 6.1平面向量及其线性运算 学 习 目 标 1 2 理解相反向量的概念，掌握相反向量的性质；理解向量减法的定义：-b=+(-b)，知道向量减法是加法的逆运算。 掌握向量减法的三角形法则，理解减法的几何意义：共起点两向量，差向量由减向量终点指向被减向量终点，能作出差向量。 能进行简单的向量加减混合运算，会利用图形化简向量表达式。 重点：向量减法的定义、几何意义、减法三角形法则 难点：理解差向量的方向，区分加法、减法三角形法则 上节课我们学习了向量加法，有三角形法则和平行四边形法则。在实数运算中，减法是加法的逆运算：若 x+b=，则 x=-b。 思考1：向量加法有没有逆运算？能不能定义向量的减法？ 思考2：实数中减去一个数等于加上它的相反数，向量有没有类似"相反数"的概念？ 向量里的"相反数"叫做相反向量，借助相反向量，我们就可以定义向量减法，今天学习《向量的减法》。 类比数的运算 目标一：向量的减法 相反向量 知识讲解 互动探究 新课引入 与向量 方向相反、大小相等的向量，叫作的相反向量，记作 。 零向量的相反向量仍是零向量，即 。任何一个向量与它的相反向量的和是零向量，即。 如果 ,b 互为相反向量，则 =-b,b=-,+b=0。 5 向量减法的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 向量 加上向量 的相反向量，叫作向量 与 的差，即 ，即一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量。求两个向量差的运算叫作向量的减法。 特别提醒 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义 = 就可以把减法转化为加法。 (2)与向量的和一样，向量的差仍然是一个向量。 6 下列各式中，不能化简为 的是( )。 B. C. D. 对点体验 解 对于 A，； 对于 B，； 对于 C，； 对于 D，。 目标二：向量减法的三角形法则 差向量的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 在平面内任取一点 ，作 ，，作出向量 ，则 ，因此向量 就是向量 与 的差(也称 为向量 与 的差向量)，即： 9 向量减法的三角形法则概念 知识讲解 互动探究 新课引入 当 与 b 不共线时，求 -b 可用下图表示，此时向量 ，b，-b 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则. 10 向量减法的作图方法 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)已知向量 (如图 ，作 ，则 ，即向量 等于终点向量 减去起点向量 。利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量 (2)利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出 。作 ，则 。如图 ，由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。 11 用 表示下列向量。 (1) ； (2) ； (3) 。 对点体验 答 (1) 。 (2) 。 (3) 。 目标三：非零向量的三角不等式 向量形式的三角不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 当向量 不共线时，作 ，则 ，如图①，根据三角形的三边关系，有 。 (2)当 ， 共线且同向时， 若 ，则 与 ， 同向，且 若 ，则 与 ， 反向，且 14 已知 ，，求 的取值范围. 对点体验 当 与 不共线时，由向量减法的三角法则可知，，， 正好是一个三角形的三条边，从而 ， 因此 . 当 与 共线时，不难看出： 如果 与 方向相同，有 ； 如果 与 方向相反，有 . 综上所述，. 已知向量 满足 ，则 的最小值是 对点体验 解 由向量三角不等式得 且 ，所以 的最小值为4。 目标四： 典型例题 向量的加法与减法主要利用运算法则和运算律进行求解，一般有两种方法： (1) 作图法：通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求解，一般用于较简单的加、减法运算。 (2) 代数法：可以使用交换律，使各向量首尾相接（共始点），通过结合律求和（差），有时也需要对向量进行适当拆分变形再求和差。 常用的变形如下： ① 运用 化减为加； ② 运用 或 化繁为简； ③ 运用 将一个向量转化为共始点的两个向量的差。 解题指导 求向量模的有关问题主要有以下两种方法： (1) 依据图形特点，适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化，要注意相关知识间的联系； (2) 利用向量形式的三角不等式：求解，一定要注意等号成立的条件。 特别提醒 在向量的加、减运算及模的综合应用中，要理解向量的几何意义，并能准确运用向量的加、减运算，恰当构造相关图形，灵活运用图形的几何性质求解未知量。 解题指导 题型1 加减综合运算 典例分析 典例1 雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为 ，现有东风且风速为 ，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？ 答 如图 ， 表示无风时雨滴的下落速度， 表示东风的风速。 由向量加法的平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为 。 又 ，， 速度为 。 又 ，， 所以 ， 。 故雨滴沿向下偏西，与地面成 角的方向，以 的速度着地。 题型1 加减综合运算 典例分析 典例2 化简：。 答 方法一（变为加法）： 原式 。 方法二（利用公式 ）： 原式 。 归纳总结: 化简向量加减混合运算式子的基本方法类似于实数的加减法，也就是利用加减法的运算律及性质，先去括号，再交换、结合，然后利用向量的加减法则进行化简。 题型2向量和与差的模 典例分析 典例3 已知点 是边长为 2 的正方形 所在平面内一点，若 ，则 的最大值是( )。 B. C. D. 。 解 依题意，得 。因为 ，所以 ，即点 在以点 为圆心，1 为半径的圆上，所以 的最大值为 。 目标五： 针对训练 举一反三 1.已知 为平面内不共线的三点，则 () A. B. C. D. 解析： .故选：A 2.在平行四边形 中，下列结论中错误的是() A. B. C. D. 解析： 如图，在平行四边形 中， 且 ， A:，故 A 正确； B:，故 B 正确； C:由 ，得 ，故 C 错误； D:，故 D 正确.故选:C 举一反三 3.已知 为平行四边形，则() A. B. C. D. 解析： 对于 A，，故 A 错误； 对于 B，因为 ，所以 不相等，故 B 错误； 对于 C，根据平行四边形法则知 ，故 C 正确； 对于 D，，故 D 错误.故选:C 举一反三 4.下列向量关系式中，正确的是() A. B. C. D. 解析： 根据向量的概念可得 A、B 错误，对于 C:，故 C 错误； 对于 D:，故 D 正确；故选:D. 5.在平行四边形 中，，，则 () A. B. C. D. 解析： 因为四边形 为平行四边形，则 ， ，所以 .故选:A. 举一反三 6.在 中， 是 的中点.若 ，，，，则下列结论中成立的是 .(填序号) ① ；② ；③ ；④ . 解析： 如图， ① ，①不成立； ② ，②不成立； ③ ，③成立； ④ ，④不成立. 举一反三 如图 ，已知 分别为 的三边 的中点。求证：。 答 由题意知 。 。 目标六：小结 学海拾贝 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量叫 的相反向量 -；a+(-a)=0，-0=0。 向量减法定义：-b=+(-b)，减向量等于加上减向量的相反向量，减法本质转化为加法。 学海拾贝 几何意义（减法三角形法则）：a,b共起点，a-b 是从减向量 b 终点指向被减向量 a 终点的向量，口诀：共起点，连终点，指向被减。 对比区分： 加法三角形：首尾相接，由起点指向最后终点； 减法三角形：同起点，终点连线，指向被减向量。 学海拾贝 思想方法：转化思想，向量减法转化为加法；数形结合，借助图形完成向量运算。 易错提醒：向量相减结果仍是向量，不是数量；一定要看清差向量的方向，不要搞反。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $