6.1.3 向量的减法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量的减法运算，涵盖差向量定义、三角形法则、几何意义及相反向量等核心知识点。通过“已知向量和差关系”的问题思考导入，衔接向量加法，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过“靶向导学—合作探究—随堂演练—课时测评”四环节设计，结合直观想象与逻辑推理素养。例如题型一通过作图实践理解三角形法则，题型二通过化简训练掌握运算转化，助力学生形成解题策略。教师可依托系统题型与分层练习提升教学效果，学生能在实践中深化对向量减法的理解与应用。

6.1.3　向量的减法 　 第六章　6.1 平面向量及其线性运算 知识层面 1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．　 2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．　 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算． 素养层面 通过向量减法的学习，培养直观想象素养；借助向量减法的应用， 提升直观想象和逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题　已知向量 是向量 与向量x的和，如图所示． (1)指出表示x的有向线段； (2)向量x的模与| |，| |有什么关系？ 问题导思 知识点一　向量的减法 1．差向量 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝ ． 新知构建 a－b 2.向量减法的三角形法则 当a与b不共线时，求a－b的差，如图所示，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则． 知识点二　向量减法的几何意义 如果把两个向量的______________，则这两个向量的差是_____________ ________________________________的向量． 始点放在一起 以减向量的终 点为始点，被减向量的终点为终点 终点向量减始点向量 知识点三　相反向量 给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a，因此， 的相反向量是－ ，而且 因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0. 微提醒 (1)在用三角形法则作两个向量的差向量时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可． (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即 a＋(－a)＝0， ＋(－ )＝0. (3)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算，即 a－b＝a＋(－b). 也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量． (4)a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c). 1．(多选)下列说法中正确的是 A．若 ，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．互为相反向量的两个向量模相等 D． 自主检测 √ √ A．a＋b　　　　　　　 B．a－b C．－a＋b D．－a－b √ 如图， 因为四边形ABCD为平行四边形， √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　向量的减法(作图) 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 例1 规律方法 作两向量的差的步骤 对点练1．如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 题型二　向量的减法(运算) 化简下列各式： [思路点拨]　利用向量的减法运算法则求向量． 例2 规律方法 向量减法运算的常用方法 √ √ √ 题型三　用图形中的已知向量表示其他向量 　如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE与BD的交点， [思路点拨]　本题考查利用三角形法则表示向量，解题时要结合图形，寻找未知向量所在的三角形，并逐步把未知向量用已知向量表示出来． 例3 规律方法 在某个图形中用几个已知向量表示未知向量的一般步骤 第一步：先观察各个向量在图形中的位置； 第二步：寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系(当运用三角形法则时，要注意两个向量需“首尾相连”，当两个向量共始点时，可以考虑用减法)； 第四步：化简得结果．　　 解：因为平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 对点练3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|＝1时， 平行四边形ABDC为菱形． 又| |＝|a＋b|＝1，所以△ABD为正三角形，所以∠ABD＝60°. √ 题型四　向量和与差的模 　 已知|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1，则|a－b|＝ A．1 D．2 [思路点拨]　根据向量加法的平行四边形法则，在以a和b为邻边的平行四边形中表示出a＋b和a－b，再利用平面几何的知识求解． 例4 规律方法 与向量的和与差有关的模的计算问题，要注意结合平面几何知识，通过构造直角三角形利用勾股定理求解．　　 2 (0，4) 返回 随堂演练 返回 A．a－b　　　　　　　 B．b－a C．a＋b D．－a－b √ √ √ √ 3．已知向量a与b共线，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________． a与b可能同向也可能反向，故|a－b|＝0或2. 0或2 0 返回 课时测评 返回 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．给出下列向量等式： 其中正确的等式有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图， b－a －a－b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若O是△ABC所在平面内一点，且满足 则△ABC的形状为____________． 直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)化简下列各式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图，试用a，b，c表示下列向量： (1)e－g；(2分) (2)f－d；(3分) (3)d－g.(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知△OAB中， 满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积． 由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA＝2， 所以△OAB为正三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？(3分) a＋b，a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？(4分) 所以四边形ABCD为矩形，所以当a与b所在的直线互相垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|. (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？(6分) 解：不可能，▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量， 所以a＋b与a－b不可能为相等向量． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 提示：表示向量x. 提示： ||－||＜|x|. 不难看出，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即 此外，由＝－可得，一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“ ”． －＝. (5)如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记． ＝ ＋＋－＝0 对于A，＝，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，不一定构成平行四边形，故A错误；对于B，显然b＝0不正确，故B错误；对于C，相反向量方向相反模相等，故C正确；对于D，＋＋－＝＋＋＝0，故D正确． 2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于 ＝＋＝－＝b－a＝－a＋b.故C正确． 3．平行四边形ABCD中，＋－等于 A． B． C． D． 所以＋－＝＋＝.故选B. 4．化简＋－－＝ A． B． C． D． ＋－－＝＋＋＋＝.故选D. 5．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________． 2 因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2. [思路点拨]　先作＝a，＝b，再求，的和，然后 作＝c；即可求a＋b－c. 解：方法一　如图(1)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图(2)，同方法一作出＝a＋b，再过点B作＝c，则＝a＋b－c. 解：在平面内作＝a，＝b，则a－b＝，再以点C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. (2)方法一　原式＝－＝. 方法二　原式＝－(＋)＝－＝. (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. 解：(1)方法一　原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋) ＝＋＝. 方法二　原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋ ＝＋＋＝＋0＝. 对点练2．(多选)下列四式可以化简为的是 A．＋(＋) B．(＋)＋(－) C．＋－ D．＋－ A项中，＋(＋)＝(＋)－＝－＝；B项中，(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝；C项中，＋－＝－＝；D项中，＋－＝－≠.故选ABC. 在△ABD中，＝＋＝a＋b， 因此，在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b. 已知＝a，＝b，＝c，＝e，试用a，b，c，e表示. 解：在△OBE中，＝＋＝e－c， 在△ABO中，＝＋＝e－c－a， ＝＝－＝－a， ＝－＝b－a， ＝－＝a－b. 且＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，. 且＝a，＝b， 所以＝＝－＝－b， B． C． 所以|a－b|＝||＝2||＝2＝2× ＝.故选B. 对点练4．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________． 因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中||＝2，所以|||－ || |<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4. 1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是 ＝－＝b－a，所以的相反向量为a－b. 2．(多选)下列各式中能化简为的是 A．(－)－ B．－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－－＋ 选项A中(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中－(＋)＝－0＝；选项C中－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.选项D中－－＋＝＋＋＝2＋，不能化简为. 4．化简：(－)－(－)＝________． 法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－) ＝＋＝0. 1．化简以下各式：①＋＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－，结果为零向量的个数是 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；－＋－＝＋＋＝0；－＋＝＋＝0；＋＋－＝＋＋＋＝0.故选D. 2．下列四式不能化简为的是 A．＋－ B．(＋)＋(＋) C．(＋)＋ D．－＋ 由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋＝＋＋＝，故排除B；(＋)＋＝＋＋＝，故排除C；－＋＝＋＝，故排除D. A．＋＋＝0 B．－＋＝0 C．＋－＝0 D．－－＝0 由于D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点， 则＝，故＋＋＝＋＋＝＋＝0.故选A. ①＋＋＝0；②－－＝0；③－－＝0. 因为＋＋＝＋＋＝0，所以①正确；由－－＝－＝2，知②不正确；－－＝－＝0，所以③正确；可知：其中正确的等式有2个． A．＋＝0 B．－＝ C．＋＝ D．＋＝0 在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，则＋＝0，故A正确；由向量减法的运算法则知B正确；由－＝，得＝＋，故C错误；与是一对相反向量，所以＋＝0，故D正确．故选ABD. 6．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．(填序号) ①；②；③；④；⑤＋；⑥－； ⑦＋. ①－＋＝＋＝，故①正确；②－＋＝＋≠，故②错误；③－＋＝＋≠，故③错误；④－＋＝＋＝≠，故④错误；⑤－＋＝＋＝≠＋＝，故⑤错误；⑥－＋＝＋＝≠－＝，故⑥错误；⑦－＋＝＋＝≠＋＝，故⑦错误．综上所述，只有①满足条件． 7．已知，▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示). ＝， 由＝，得＝， 因为＝－，所以＝，由此可得：以AB、AC为邻边的平行四边形对角线相等，所以以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，所以∠BAC＝90°，得△ABC的形状是直角三角形． 解：原式＝－＝. (1)(＋)＋(－－)；(4分) 解：原式＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (2)－－.(6分) 解：连接BD，e－g＝＝－＝－(b＋c)＝－b－c. 解：连接EC，f－d＝＝a＋b. 解：连接BE，d－g＝＝－＝－(a＋b＋c)＝－a－b－c. 11．(5分)(多选)下列各式的化简结果为的是 A．(－)－ B．－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－＋－＋ (－)－＝＋＋＝，故A正确；－(＋)＝－0，故B正确；－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋)＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；－＋－＋＝＋＋＋＝＋＝≠，故D不正确．故选ABC. 12．(5分)在矩形ABCD中，＝，＝1，则＝ A．2 B．3 C．2 D．4 由已知四边形 ABCD是矩形，所以＝||＝＝＝2.故选A. 所以|a＋b|＝||＝2×＝2， S△OAB＝×2×＝. ＝a，＝b， 解：由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形， 且＝a＋b，＝a－b， 14．(5分)已知＝a，＝b，若＝12，＝5，且∠AOB＝90°，则＝ ________． 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，a－b＝－＝，因此是Rt△AOB的斜边长，所以＝＝13. 15．(15分)(开放题)如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b. (1)用a，b表示，；(2分) 解：＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. 解：由(1)知a＋b＝，a－b＝. 解：|a＋b|＝|a－b|，即||＝||， $