5.3.3 一元一次方程的应用 行程问题课件2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 七年级上册数学（北师版） 行程问题 教学目标 1. 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而列出方程,解决问题。 2. 使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。 3. 培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力,逐步树立克服困难的信心、意志力,培养学生学习数学的热情和良好的人格品质。 重点：利用方程解决行程问题。 难点：找等量关系列方程。 1、如图 AC=AB ＋ _______； CD=AD － ______； AD=______＋______＋______。 温故而知新 2.若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑___米. 3.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分. 4.已知小明家距离火车站1500米，他以5米/秒的速度骑车到达火车站需要_____分钟. 20 200 5 路程= 速度= 时间= 速度×时间 路程÷时间 路程÷速度 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 行程问题中常用的数量关系： 路程=速度×时间 探究新知 直线行程问题 1 问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1） 问题中有哪些已知量和未知量？ 合作探究 （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 解：设爸爸追上小明用了 x min， 小明家 学校 80×5 80x 180x 合作探究 （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 据题意得 80×5 + 80x = 180x。 解：设爸爸追上小明用了 x min， 小明家 学校 80×5 80x 180x 解得 x = 4。 180×4 = 720（m），1000 - 720 = 280（m）。 答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。 方法总结 找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。 小明家 学校 80×5 80x 180x 2. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x+6x = 60-4或 8x+6x = 60+4 1.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m。 （1）如果他们同时站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇 （2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面的10m处，两人同时相向起跑，经过几秒小强能追上小彬 典例精析 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 环形行程问题 2 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 260 起点 起点 260 260x 300x 260x 300x 追及问题 相遇问题 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 追及问题 260 起点 260x 300x （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 起点 260 260x 300x 相遇问题 归纳总结 行程问题的基本类型： 相遇问题： 甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程。 追及问题： 追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离。 1.甲、乙两人在400米的环形跑道上散步，甲每分钟走110米，乙每分钟走90米，两人同时从一个地点出发，几分钟后两人第一次相遇？ 分析：在环形跑道上运动，分两种情况： 已知：V甲〉V乙 图一所示实为 问题 图二所示实为 问题 相遇 追及 乙 甲 乙 甲 环形跑道问题 环形跑道问题 1.甲、乙两人在400米的环形跑道上散步，甲每分钟走110米，乙每分钟走90米，两人同时从一个地点出发，几分钟后两人第一次相遇。 分析：在环形跑道上运动，分两种情况： 甲的行程＋乙的行程=跑道一圈的周长 （2）同向而行： 甲的行程－乙的行程=跑道一圈的周长 想一想 若把上题中的“第一次”相遇改为“第二次”相遇需要时间又是多少呢？若改为“第n次”相遇呢？ （1）背向而行： 练一练 2. 如图，正方形 ABCD 的边长是 2 个单位长度，一只乌龟从 A 点出发以每秒2 个单位长度的速度顺时针绕正方形运动，另有一只兔子也从 A 点出发以每秒 6 个单位长度的速度逆时针绕正方形运动，则第 2024 次相遇在 ( ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D A 思考交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。 实际问题 实际问题的解 数学问题 （一元一次方程的解） 数学问题 （一元一次方程） 寻找相等关系 抽象 解方程 解释 验证 当堂小结 行程问题 直线行程 环形行程 相遇问题 追及问题 1.甲车从A地开往B地，速度是60km/h;乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90 km/h。已知A，B两地相距200km，两车相遇的地方离A地多远? 课堂练习 课堂练习 2. 小明家离学校 2.9 千米，一天小明放学走了 5 分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走 60 米，爸爸骑自行车每分钟骑 200 米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解：设小明爸爸出发 x 分钟后接到小明，如图所示， 由题意，得 200x＋60(x＋5) ＝2900. 答：小明爸爸从家出发 10 分钟后接到小明. 解得 x＝10. 3. 甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 米/分，乙的速度是 240 米/分。 （1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得 360x － 240x ＝ 400。 答：两人一共跑了 5 圈。 解得 x ＝ 。 ( ×360 ＋ ×240)÷400 ＝ 5 (圈)。 课堂练习 （2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得 360x + 240x ＝ 400。 答：40 秒后两人第一次相遇。 解得 x ＝ 。 分钟 ＝ 40 秒。 课堂练习 1.某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到过完桥共需60秒，而整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度。 解：设火车的和长度为x米，则 = x =200 火车速度 =20 答：火车的长度是200米，速度是20米／秒. 3（1000-x） =2（1000+x） 火车过隧道问题 2.一列火车匀速行驶，从车头进入隧道到车尾离开隧道需要45秒的时间，隧道长900米，隧道的顶部一盏固定灯，在火车上垂直照射的时间为15秒，求火车的长度 3. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米／时，求船在静水中的平均速度． 分析:问题1:此题已知什么? 求什么? 问题2:如果设船在静水中的平均速度为x千米/小时,那么船在顺水时的速度为______千米/小时,在逆流的速度为______千米/小时. 问题3:此题中的相等关系是______________ 往返的路程相等 (x+3) (x-3) 解: 设船在静水中的平均速度为x千米/小时,那么船在顺水时的速度为(x+3) 千米/小时,在逆流的速度为(x-3)千米/小时. 2 (x+3)=2.5 (x-3) 水流问题 1. 顺流行驶的路程=逆流行驶的路程 2. 顺水的速度=静水中的速度+水流的速度 逆水的速度=静水中的速度–水流的速度 驶向胜利的彼岸 总结新知 上下坡问题 4.从家到学校，先一段上坡路，后一段下坡路，某人骑自行车行驶，上坡每小时28千米，下坡每小时35千米，上学的过程中，下坡路程比上坡路程的2倍少14千米，放学回家用时比上学用时多12分钟，求上学路上的上、下坡各是多少千米？ 会车相遇错车 5. 一列客车长200米，一列火车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾离开经过18秒，客车与火车的速度比为5:3，问两车每秒共行驶多少米？ 会车追及错车 6.一列客车和一列货车在平行轨道上同向行驶，客车长220米，货车长320米，客车的速度与货车的速度之和为40米每秒。现客车从后面赶上货车，如果两车交叉的时间为1分钟求两车的速度？ 7.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h的速度前进。突然，1号队员以45km/h的速度独自行进，行进10km后掉转车头，仍以45km/h的速度往回骑，知道与其他队员会合。1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？ 解：设经过x小时会合，则 　 （35+45）x=10×2 80x=20 x=0.25 答：经过了0.25小时1号队员从离队开始到与队员重新会合． 通信员问题 8.七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长. 解：设王明追上排头用了x小时，则 　 （10-6）x=（10+6）（ -x） 4x=2-16x x=0.1 队伍长 （10-6）x=4×0.1=0.4 答：队伍长为400米． 通信员问题 $