陕西咸阳市实验中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

绝密★启用前 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．直线在轴上的截距为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 2．已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．若向量，，且，则的值是（ ） A． B．5 C．3 D． 4．向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，P为的中点，则点P到直线的距离为（ ） A． B．3 C． D． 6．已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．给出下列命题，其中正确的是（ ） A．，，若与垂直，则 B．点关于平面的对称点是，则点的坐标是 C．已知向量，，则在上的投影向量为 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 10．已知棱长为1的正四面体中，、分别为，中点，为的重心，则下列说法正确的（ ） A．直线与夹角的余弦值是 B．二面角的余弦值是 C．正四面体的外接球表面积为 D． 11．已知正方体的棱长为1，，其中，，点为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A．时， B．时，三棱锥的体积为定值 C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．两条平行直线与的距离为________． 13．若，，直线和垂直，则的最小值为________． 14．四边形和四边形均为正方形，，，动点、分别在和上，，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题共13分）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点． （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离． 16．（本题共15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，． ，，． （1）用，，，表示和； （2）求直线和夹角的余弦值． 17．（本题共15分）已知直线，，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； （2）求点关于对称点的坐标． 18．（本题共17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 19．（本题共17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $咸阳市实验中学2026一2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学参考答案 一。选择题 1.C2.A3.B4.D5.D6.A7.C8.A 二.多选题 9.ACD 10.ABD 11.ABC 三.填空题 √5 12.10 13. 214.5 四、解答题 15.(本题共13分) 2元 cosa=- = 解(1)由题可得 2,ae[0,),则&=3，tana=--V5 …2分 :直线l的斜率k=-V3,且直线过点 1:y-2=5x3 3 ∴由直线的点斜式方程得 …3分 即V3x+y-3=0】 …分 (2):直线c-y+1-V5k=0化简得：k(r-V5)-y+1=0, …1分 x-3=0 x=3 令-y+1=0,解得y=1,六定点B(V5,) …3分 -5xv5+1- 则点B(V5,1)到直线1：V5x+y-3=0的距离 VW32+1 …3分 1 ·B到直线I的距离为2. 16.(本题共15分). 解：4)由题可知，在平行六面体ABCD-AB,CD中， AC=AB+BC+CC=4B+AD+44=a+6+ …2分 AB=AB-AA=a-c ….2分 2)a.6=0. ai=-aeas登=2x4x4,6c=5 leos于2x4xg-4 4C=4C)=+6+) =va2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c =V22+22+42+2×4+2×4=2W10.3分 4B=Va-y=v2+2-2a:=V22+42-2x4=25 …2分 AC·4B=(a+b+c(a-c)=a-c2+a.b-6.c=22-42-4=-16 …3分 cos(AB,AC)= AB·AC -16 2W30 AB AC 2V3×2W10 15 所以 …2分 230 所以直线4B和AC夹角的余弦值为15 …1分 17.(本题共15分) 解：(1)直线与的交点为P,设点P(x,), x-y+2=0 x=2 则2x+y-8=0,解得y=4,P(2,4), …2分 ·直线经过点P,记横截距a,纵截距b,则a=2b, 若Q=2b=0时，直线过原点，直线方程y=2x,一般方程为2x-y=0 …3分 [2+4=1 x+ a b a=10 =1 若a=2b≠0时，设直线方程为a6,则a=2b ，解得(b=5 ,…3分 x+y=1 ∴直线方程105，一般方程为x+2y-10=0 综上，直线方程为2x-y=0或x+2y-10=0.…1分 (2)设点关于对称点'(，) c2+. 则0的中点(2,2 …1分 C位于直线上，且Q所在直线垂直于直线2， [2.2+x+么-8=0 26 2 2 X0= %1 8 -22 y%= ,解得 5 …4分 268 055 1分 18.(本题共17分) (1)证明：连接AC,CH 由题意知D,E分别是线段AC,CC的中点，所以AC IIDE, 又因为DEC平面BDE,AC￠平面BDE,所以AC∥平面BDE, E,H分别为CC,BB的中点，所以BEIHC, 又因为BEC平面BDE,HC￠平面BDE.所以HC∥平面BDE, 又因为AC∩HC=C,所以平面AHC∥平面BDE, 所以AH∥平面BDE…6分 解：(2)由(1)知：CD1平面ABC,BD上AC: 则以D为坐标原点，DB,DA,DC正方向为x,y,z轴正方向，建立如图空间直角坐标系，(1 分) E somnm.ag w-iw匹0-号周m-5g 设平面BDE的法向量m=(G火2). DB·m=V3x=0 DE.m=y+ z=0 则 2 ,令2=1，解得：x=0,y=V5.·m=(0,5,) …2分 DF.m 3W5 2_3V3 ∴点F到平面BDE的距离 2 …2分 3)由(2)知：平面8DE的一个法向量m=(0,V5,刂 …1分 e=6a则0F停号 设平面FBD的法向量i=(a,b,c) i.DB=√3a=0 nDF-31 2a+2b+V5c=0 令c=-1,得a=0,b=2W3】 ∴.平面FBD的一个法向量是 i=(0,2W5,-1 2分 设二面角E-BD-F为B,由图知8为锐角 …1分 cos0= m元 (03,-0,25,15 列 故 2×V(23)2+(-1)2 26 …2分 19.(本题共17分) (1)证明： 因为底面ABCD是边长为6的正方形，所以AB⊥BC,AD⊥CD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CDL平面PAD,又因为PAC平面PAD,所以CD L PA,-2分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PAB,又因为PAC平面PAB,所以BC⊥PA,… …1分 又因为BC∩CD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.…1分 (2)(i)由(I)知PA⊥平面ABCD,又AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又AB⊥AD, 则以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，Y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， …1分 可得：D(0,6,0),P(0,0,6),B(6,0,0),E(0,3,3).C(66,0) 所以E=(03,3),PC=(6,66),AP=(00,6). 设PF=Pc=(62,6,61)(0<2<). 则4F=AP+PF=(00,6)+(61,62,62)=(62,62,6-6)】 E=0, 设平面AEF的法向量为元=（化火2），则元：AF=0, 3y+3z=0 即6x+6y+6(-2)z=0 取y=元，解得2=-2，x=1-22,则元=(1-21，元，) …2分 因为AP1平面ABCD,所以AP=(0,0,6)是平面ABCD的一个法向量. √5 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为3， cos(,AP)= 1-62 5 所以 V1-2)2+2+(-2)23 PF=LPC 解得3或九=1（舍），所 3 …2分 1 所以三棱锥P-AEF的体积 6 6 x11 ×二×6×6×6=6 632 …1分 (i)设PG=uPB,则AG=AP+uPB=(0,0,6)+4(6,0-6)=(64,0,6-6) ，…1分 =11） 由(i)可知 (3'33)为平面AEGF的一个法向量，所以万1AG, 1 u=- 所以1Gi=2u-(2-2川=44-2=0，解得“=2， …1分 所以GF=PF-PG=(2,2,-2)-(3,0-3)=(12,1). 因为H在平面PBC上，所以BF=SBC+1BP,…1分 所以Aǖ=AB+sBC+1BP=(6,00)+s06,0)+(-6,06=(6-61,6s,60.1分 m·AD=0, 设平面HAD的法向量m=(:,片，)，则m·A=0, 6y=0 即(6-61)x+6y+6z,=0 取x=t得乃=0，名=t-1,则m=(化，0，t-0, …1分 设GF与平面HAD所成角为B, sim-cos(GFm(1)+1 …l分 因为 03 即GF与平面HAD所成角的正弦值的取值范围为 3 …1分