专题01 空间向量及其运算的14大常考题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何综合大题14大题型 题型1 空间向量的相关概念（易错点） 题型8 空间直角坐标系 题型2 空间向量的线性运算（非坐标形式） 题型9 空间向量平行、垂直的坐标表示（重点） 题型3 空间向量共线问题（重点） 题型10 数量积、模长、夹角的坐标表示（重点） 题型4空间向量共面问题 题型11 向量的投影问题（易错点） 题型5 基底的概念（常考点） 题型12 利用向量证明垂直与平行问题（常考点） 题型6 用基底表示向量（重点） 题型13 空间向量运算中的最值或范围问题（难点） 题型7 利用空间向量基本定理求数量积、夹角、模长（重点） 题型14 新定义问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的相关概念（共3小题） 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2．（多选）（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 3．（多选）（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 题型二 空间向量的线性运算（非坐标形式）（共3小题） 4．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 6．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 题型三 空间向量共线问题（共3小题） 7．（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 8．（26-27高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 题型四 空间向量共面问题（共3小题） 10．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 11．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 12．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面列式计算求解. 【详解】因为入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面， 所以反射激光的方向向量为， 所以，所以， 对于A，，，符合题意，A选项正确； 对于B，，不符合题意，B选项不正确； 对于C，，，不符合题意，C选项不正确； 对于D，，，不符合题意，D选项不正确； 题型五 基底的概念（共3小题） 13．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以共面，不能构成基底，A错误； 对于B，，所以共面，不能构成基底，B错误； 对于C，，所以共面，不能构成基底，C错误； 对于D，设，则，无解，所以不共面，能构成基底，D正确. 14．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 15．（多选）（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A选项，因为，故、、共面， 即不能构成空间的一个基底，A不符合要求； 对于B选项，因为， 故、、共面， 即不能构成空间的一个基底，B不符合要求； 对于C选项，设、、共面， 则存在实数、使得， 因为是构成空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，矛盾， 故假设不成立，即能构成空间的一个基底，C符合要求； 对于D选项，设、、共面， 则存在实数、使得， 因为是构成空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，矛盾， 故假设不成立，即能构成空间的一个基底，D符合要求. 题型六 用基底表示向量（共3小题） 16．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 17．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 则. 18．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 题型七 利用空间向量基本定理求数量积、夹角、模长（共3小题） 19．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 20．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 21．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 题型八 空间直角坐标系（共3小题） 22．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 23．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 24．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________. 【答案】 【详解】因为在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 题型九 空间向量平行、垂直的坐标表示 25．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量共线的充要条件，对应坐标成比例求出参数、的值，再计算即可. 【详解】空间两非零向量的充要条件为：存在实数，使得. 已知，，代入得： ， 横坐标：，解得； 纵坐标：； 竖坐标：. 因此. 26．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 27．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算计算即可； （2）利用空间向量平行的充要条件及模长公式计算即可. 【详解】（1）由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． （2）因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 题型十 数量积、模长、夹角的坐标运算（共4小题） 28．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 29．（26-27高二上·天津·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及共线向量的定义列式求解. （2）利用空间向量夹角的公式，结合向量的坐标运算求解. （3）利用垂直关系的向量表示，并借助（2）的信息列式求解. 【详解】（1）由点，得， 由，设，由，得，解得， 所以 或 . （2）由（1）得，，， 则，所以与的夹角的余弦值为. （3）由与互相垂直，得，即， 由（2）得，解得或，所以或. 30．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量； （2）由，应用向量数量积的定义及运算律求的长. 【详解】（1）由题可得， 由得：且， 则，解得， 即或； （2）由题意得，， ， ， 又， 所以， 所以． 31．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； (2)求的面积. 【分析】（1）由是平行四边形得到，通过计算得解； （2）利用向量的数量积求出，结合向量的夹角的范围求出，利用三角形面积公式求出的面积． 【详解】（1）设，因为是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （2）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 题型十一 向量的投影问题（共3小题） 32．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为: . 33．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】计算向量与的数量积、的模，结合投影向量模的公式即可求解 【详解】因为向量，，所以， ； 所以，在方向上的投影向量的模为. 34．（26-27高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【详解】（1）由可得， 故. （2）易得，又，且， 则向量在向量上的投影向量为. 题型十二 利用向量证明垂直与平行问题（共3小题） 35．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【详解】证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 36．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【详解】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 37．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 【分析】（1）根据平面法向量的求解方式求解即可； （2）由题可知，即可求解； （3）根据题意，即，再列式求解即可． 【详解】（1）设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 题型十三 空间向量运算中的最值或范围问题（共3小题） 38．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 39．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解. 【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设， 其中， ， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为. 故答案为：. 40．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 题型十四 新定义问题（共4小题） 41．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系. 【详解】由题设，平面的方程可写为， 所以平面经过点，且一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以，即，则或， 由于点在直线上，显然不在平面内，故，即. 故选：A 42．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目材料确定平面的法向量，由于同时满足两个平面方程的点在交线上，因此可取两个特殊点，作为交线的方向向量，再求解即可. 【详解】由题意可知，平面的法向量. 因为直线是平面与平面的交线， 因此直线上的点均满足两个平面方程, 我们可以取上的两个点，来计算直线的一个方向向量. 令,则,即在交线上； 令,则,即在交线上. 故直线的方向向量. 设直线与平面所成角为,则. 故选：A. 43．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过，的直线的点方向式方程； (2)已知平面：，平面：，平面：，若，，证明： (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【分析】（1）按照题中的新定义先求出直线的方向向量，在代入到题中的点方向式方程公式中求解. （2）先求出平面和平面两个平面交线的方向向量，再求出平面的法向量，利用，且，证明. （3）先求出平面与平面的交线的方向向量为，在求出平面的法向量，经判断交线与平面平行，所以求得参数，确定多面体与坐标轴交于各点坐标，利用空间向量求解两个平面的夹角，求解多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为. (2)由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）易得侧面所在平面的法向量， 由平面可知，平面的法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，所以集合， 可知多面体与坐标轴交于各点， ，，，，，，如图所示， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点，，均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， ， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 44．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． （2）不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； （3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． $专题01 空间向量及其运算的14大常考题型 题型1 空间向量的相关概念（易错点） 题型8 空间直角坐标系 题型2 空间向量的线性运算（非坐标形式） 题型9 空间向量平行、垂直的坐标表示（重点） 题型3 空间向量共线问题（重点） 题型10 数量积、模长、夹角的坐标表示（重点） 题型4空间向量共面问题 题型11 向量的投影问题（易错点） 题型5 基底的概念（常考点） 题型12 利用向量证明垂直与平行问题（常考点） 题型6 用基底表示向量（重点） 题型13 空间向量运算中的最值或范围问题（难点） 题型7 利用空间向量基本定理求数量积、夹角、模长（重点） 题型14 新定义问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的相关概念（共3小题） 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（多选）（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 3．（多选）（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 题型二 空间向量的线性运算（非坐标形式）（共3小题） 4．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 题型三 空间向量共线问题（共3小题） 7．（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 题型四 空间向量共面问题（共3小题） 10．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型五 基底的概念（共3小题） 13．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（     ） A． B． C． D． 题型六 用基底表示向量（共3小题） 16．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 利用空间向量基本定理求数量积、夹角、模长（共3小题） 19．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 20．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 21．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型八 空间直角坐标系（共3小题） 22．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 23．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 24．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________. 题型九 空间向量平行、垂直的坐标表示 25．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 26．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 27．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 题型十 数量积、模长、夹角的坐标运算（共4小题） 28．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 29．（26-27高二上·天津·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 30．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 31．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； (2)求的面积. 题型十一 向量的投影问题（共3小题） 32．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 33．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．2 D． 34．（26-27高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 题型十二 利用向量证明垂直与平行问题（共3小题） 35．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 36．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 37．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 题型十三 空间向量运算中的最值或范围问题（共3小题） 38．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 40．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 题型十四 新定义问题（共4小题） 41．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 42．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 43．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过，的直线的点方向式方程； (2)已知平面：，平面：，平面：，若，，证明： (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 44．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； $