2.1 等式性质与不等式性质之不等关系与不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

不等关系与不等式 第二章 2.1　等式性质与不等式性质 索引 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.初步会用作差法比较两个数或代数式的大小、证明不等式. 学习目标 大家知道,相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系,比如说:长与短、远与近的比较;比如说:同学们之间高与矮、轻与重的比较;比如说:国家人口的多少、面积的大小的比较;再比如说:某股票涨与跌的比较.正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 引入 课时精练 一、不等关系与不等式 二、作差法比较大小 三、重要不等式a2+b2≥2ab 课堂达标 内容索引 不等关系与不等式 一 探究1 在日常生活中,我们经常看到下列标志: (1)你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么? 提示　①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; ②最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h; ③限制质量:装载总质量M不得超过10 t; ④时间范围:7时30分到10时. (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗? 提示　①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④7.5≤t≤10. 6 1.在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和____________,常用________来研究含有不等关系的问题. 2.用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示不等关系.“a≠b”应包含__________________________. 知识梳理 不等关系 不等式 “a>b”或“a<b” 7 常见的文字语言与符号语言之间的转换 温馨提示 文字 语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过 符号 语言 >  <  ≥ ≤ 8 (1)(链接教材P42习题T2)某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案:方案A为一次性投资300万;方案B为第一年投资80万,以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”的是 A.80+20n≥300 B.80+20n≤300 C.80+20(n-1)≤300 D.80+20(n-1)≥300 例1 √ 经过n年后,方案B的投入为80+20(n-1),则“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80+20(n-1)≥300. 9 (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于96 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中的不等关系: ____________.  因为矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0<x≤18. 这时菜园的另一条边长为=m, 因此菜园的面积S=x, 依题意有S≥96,即x≥96. 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 10 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语. (2)设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式(组). 思维升华 11 [链接教材P40练习T1(3)]如图,在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.试用不等式组表示上面的不等关系. 训练1 依题意,得 12 作差法比较大小 二 13 探究2 对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能? 提示　三种关系:a>b,a=b,a<b. 探究3 如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如果a-b是负数,能得到什么结论?反之成立吗? 提示　若a-b是正数,则a>b;反之也成立. 若a-b是负数,则a<b;反之也成立. 14 两个实数大小的基本事实 知识梳理 a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 依据 a>b⇔______________ a=b⇔______________ a<b⇔______________ 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的___与0的大小 15 (1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式; (2)对于某些大小比较问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 温馨提示 16 (链接教材P38例1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 例2 (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+, ∵≥0,∴+≥>0, ∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0, ∴2x2+5x+3>x2+4x+2. 17 思维升华 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步:作差并变形,通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式. 第二步:判断差值与零的大小关系. 第三步:得出结论. 18 设M=(x+2)(x+3),N=(x+1)(x+4)-a+2. (1)当a=2时,比较M,N的大小; (2)当M≥N时,求实数a的取值范围. 训练2 (1)当a=2时,N=(x+1)(x+4), 则M-N=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0, 所以M>N. (2)M-N=(x2+5x+6)-(x2+5x+4-a+2)=a. 由M≥N,则M-N=a≥0, 所以实数a的取值范围是{a|a≥0}. 19 重要不等式a2+b2≥2ab 三 20 探究4 图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,将其抽象成图2的形式.设直角三角形的两条直角边的长为a,b,那么正方形的边长为. (1)当a=b时,根据抽象的图形,你能从中得到一个什么样的不等关系? 提示　正方形ABCD的面积a2+b2>2ab. (2)当中间的四边形EFGH缩为一点,即四个直角三角形变为等腰直角三角形时,可以得到什么结论?结合问题(1)你有什么发现? 提示　a2+b2=2ab,a2+b2≥2ab. 21 重要不等式:一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥______,当且仅当_______时,等号成立. 知识梳理 2ab a=b 22 以下是对重要不等式a2+b2≥2ab的证明. 证明a2+b2-2ab=(a-b)2. 因为∀a,b∈R,(a-b)2≥0, 当且仅当a=b时,等号成立, 所以a2+b2-2ab≥0. 因此,由两个实数大小比较的基本事实,得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 温馨提示 23 已知a>0,b>0,证明a3+b3≥ab2+a2b. 例3 a3+b3-(ab2+a2b) =(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) =(a+b)(a2-2ab+b2). ∵a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,∴a+b>0,a2+b2-2ab≥0, ∴a3+b3-(ab2+a2b)≥0,故a3+b3≥ab2+a2b. 思维升华 1.比较两个实数的大小或证明不等式,最基本的方法是作差比较法,其关键是作差变形,判断差的符号. 2.a2+b2≥2ab对于任意实数a,b均成立,当且仅当a=b时,取“=”. 已知a>0,求证:a+≥2. 训练3 法一　利用a2+b2≥2ab. ∵a>0,∴a+=()2+≥2·=2. 当且仅当a=1时,等号成立. 法二　∵a+-2=()2+-2=≥0,∴a+≥2. 26 【课堂达标】 1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是 A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 √ 依题意,得50x+40y≤2 000, 即5x+4y≤200. 2 3 4 1 2.若m=3x2-x+1,n=2x2+x-1,则m与n的大小关系是 A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n √ m-n=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,因此m>n. 2 3 4 1 3.已知x,y∈R,且x2+y2=4,则xy的最大值是____________.  由于x2+y2≥2xy, ∴2xy≤4,故xy的最大值为2. 2 2 3 4 1 4.若实数a>b,则a2-ab____________ba-b2(填“>”或“<”).  因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2, 又a>b,所以(a-b)2>0. > 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160 cm,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为 A.a+b+c>160 B.a+b+c<160 C.a+b+c≥160 D.a+b+c≤160 根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160 cm可知,a+b+c≤160. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(单位:米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 √ √ 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“≤”表示,故选项A正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故选项B错误; 因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故选项C正确; 因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故选项D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 a2+1≥2a,即a2+1-2a=(a-1)2≥0,∴当a=1时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 因为M-N=2a(a-2)+7-(a-2)·(a-3)=a2+a+1=+>0, 所以M>N. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(单位:厘米)应该满足的不等式为 A.4×2x≥100 B.4×2x≤100 C.4×2x>100 D.4×2x<100 当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为4×2x米,为了保证安全,有4×2x>100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线一共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为 A.>1 B.<1 C.+>1 D.+<1 √ 由题意得汽车所用时间加上摩托车所用时间应该小于1小时,即+<1,故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.已知P=x2+2,Q=4x+3,则 A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.P,Q的大小与x有关 √ P-Q=x2+2-(4x+3)=x2-4x-1=(x-2)2-5, 当(x-2)2>5,则x>2+或x<2-时,P>Q, 当(x-2)2=5,即x=2±时,P=Q, 当(x-2)2<5,即2-<x<2+时,P<Q, 故P,Q的大小与x有关.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.闪电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃,那么t应满足的关系式是____________.  4.5t<28 000 由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于闪电的温度,即4.5t<28 000. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是____________.  t≤s t-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写出不等式为________________;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为__________________.  8(x+19)>2 200 >9 由题意知,汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km, 则8(x+19)>2 200. 若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多,即>9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1. 由x2+2y2-(2xy+2y-1) =x2+2y2-2xy-2y+1 =(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1) =(x-y)2+(y-1)2≥0, 当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)下列不等式,其中恒成立的不等式为 A.a2+3>2a(a∈R) B.x2+y2>xy C.a2+b2>2(a-b-1) D.8xy≤4x2+8y2 √ √ ∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,∴a2+3>2a,即A正确; x2+y2-xy=+y2≥0,知B错误; a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,知C错误; 4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2y=8xy,知D正确. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m,根据题意可列出的不等式为________________________.  (22-x)(17-x)≥300 把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,草坪面积为(22-x)(17-x)m2. 因为草坪的面积不小于300 m2, 所以(22-x)(17-x)≥300. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.有学生若干个,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数. 设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人, 依题意,得 解得<x<. ∵x∈N*,∴x=10,11或12, 学生人数分别为59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.已知a1>1,a2>1,设P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为 A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.不确定 √ P-Q====. 因为a1>1,a2>1,所以a1-1>0,1-a2<0,a1a2>0, 所以P-Q=<0,所以P<Q. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 设该单位职工有n人(n∈N*), 全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元, 则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx, 所以y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当n=5时,y1=y2; 当n>5时,y1<y2; 因n<5时,y1>y2. 因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同; 多于5人时,甲车队更优惠; 少于5人时,乙车队更优惠. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $