29.2.1垂直于弦的直径同步练习 2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026年29.2.1垂直于弦的直径 一．选择题（共3小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（　　） A． B． C．OE＝BE D．CE＝DE 2．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM最大值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二．填空题（共4小题） 4．如图，⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，若A（﹣3，﹣4），则点B的纵坐标是_______ ． 5．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E，则DE＝ _____ ． 6．⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________ ． 7．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 ____________________ ． 三．解答题（共3小题） 8．在直径为650mm的圆柱形输油管内匀速流淌着石油，其横断面如图所示．已知油面宽AB＝600mm，求油的最大深度． 9．如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连结CQ并延长交⊙O于点E，连结DE，AC，AD． （1）求证：CQ＝DE； （2）若AB＝6，且OP＝OQ，求CD的长． 10．广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊•月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点O的劣弧AED和矩形ABCD构成．桥墩之间宽BC＝12m，桥墩高（AB）2m，拱桥顶端E距离河床底面6m（即EG＝6m）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为a米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽BC＝20m，桥墩高和拱桥顶端E距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧AED改造成顶点为E的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧AED改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： （1）任务1，按设计1：以点G为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）任务2，按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． （3）任务3，a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面3.5m，小船宽度为2.3m，求出设计1改造方案下a的最大值（，结果精确到0.1米）． 2026年29.2.1垂直于弦的直径 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E， ∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE， ∴选项A、B、D正确，不符合题意； OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H， ∴， 在Rt△DHO中，OH3， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 3．【解答】解：延长CP交⊙O于点N，连接DN， ∵AB⊥CN， ∴CP＝PN． ∵点M是弦CD的中点， ∴CM＝DM， ∴， ∴当DN为⊙O的直径时，DN的值最大，此时PM的值取最大值，最大值为． 故选：D． 二．填空题（共4小题） 4．【解答】解：连接OA，作AC⊥y轴交y轴于点C，如图， ∵⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，A（﹣3，﹣4），AC⊥y轴， ∴AC＝3，BC＝OC＝4， ∴OB＝BC+OC＝8， ∵点B在y轴的负半轴上， ∴点B的纵坐标是﹣8． 故答案为：﹣8． 5．【解答】解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC， ∴AD＝DC， 同理：CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵AB＝8， ∴DE＝4， 故答案为：4． 6．【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC． ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE，CF＝DF， ∴AB＝6，CD＝8， ∴AEAB＝3，CFCD＝4， 在Rt△OAE中，； 在Rt△OCF中，； 当圆心O点不在AB、CD之间，距离为OE﹣OF＝4﹣3＝1； 当圆心O点在AB、CD之间，距离为OE+OF＝4+3＝7． 故答案为：1或7． 7．【解答】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x， 则OD＝OC＝5x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 三．解答题（共3小题） 8．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，交于点F，连接OA， ∵AB＝600mm， ∴AD＝300mm， ∵底面直径为650mm， ∴OA＝OF650＝325（mm）， ∴OD125（mm）， ∴DF＝OF﹣OD＝325﹣125＝200（mm）， 故油的最大深度为200mm． 9．【解答】（1）证明：连接DQ， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD于点P， ∴CP＝DP， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴PA＝PQ， ∴四边形ACQD是平行四边形， 又∵AQ⊥CD， ∴平行四边形ACQD是菱形， ∴AD＝CQ，∠ACD＝∠QCD， ∴， ∴AD＝DE， ∴CQ＝DE． （2）如图，连接CO， ∵AB＝6， ∴， ∵OP＝OQ，PA＝PQ＝OP+OQ， ∴AP＝2OP， 又∵AP+OP＝AO＝3， ∴OP＝1， ∴， ∴． 10．【解答】解：（1）根据题意，改造后AD＝BC＝20m，AB＝FG＝CD＝2m，EG＝6m， ∴， 以点G为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴D（10，2），E（0，6）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+6，由条件可得，100a+6＝2， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）改造后，AD＝BC＝20m，EG＝6m，FG＝2m，且OE⊥BC， ∴EF＝EG﹣FG＝6﹣2＝4，， 设OD＝OE＝rm，则OF＝OE﹣EF＝r﹣4， 由勾股定理可得：r2＝（r﹣4）2+102， 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为； （3）桥墩高AB＝2m，船顶部距水面3.5m， ∴y＝2+3.5＝5.5m， ∴，则x2＝12.5， ∴， 解得，，， ∵小船宽度为2.3m， ∴2×（3.525﹣2.3）＝2.45， 为安全考虑应采用去尾法为2.4m， ∴设计1改造方案下a的最大值为2.4m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $