第21章 一元二次方程 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【由一元二次方程的定义及解求参数】 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 2．若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 3．已知为一元二次方程的根，那么的值为（     ） A． B． C．0 D．2048 4．在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【利用合适的方法解一元二次方程】 5．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)； 6．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 7．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【根的判别式与韦达定理的综合应用】 8．关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 9．关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 10．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． (2)思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． (3)拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)记该方程的两个实数根为，，若代数式的值为，求k的值； (3)若，，比较A与B的大小． 【配方法的应用及求最值】 12．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”，并说明理由． 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值___________． 【拓展应用】 (3)已知实数满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 13．配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 14．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 15．【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 【一元二次方程与增长率、销售问题】 16．云南文旅发展整体势头强劲，云南特产鲜花饼备受游客的喜爱．某特产超市七月份鲜花饼的销量为2000箱，八月、九月销售量持续增长，九月份销量达到3380箱． (1)求八、九月份销量的月平均增长率． (2)为迎接国庆节的到来，商家决定做优惠活动，已知鲜花饼的进货价为每箱20元，当每箱的售价为45元时，日销量可达75箱；售价每降低1元，日销量可增加5箱．为尽量减少库存，当鲜花饼每箱降价多少元时，当日卖出鲜花饼的总利润刚好为1980元？ 17．某文创店将一款新开发的文创产品放到网上销售，上市时定价为62.5元/件，因活动促销，经过连续两次降价后售价降至40元/件，此时平均每月销售量为500件． (1)求该款文创产品平均每次降价的百分率． (2)为回馈顾客，该文创店计划再次降价，市场调查发现售价每降价元，销售量就会增加件，已知该款文创产品成本价为20元/件，若该文创店想在尽快减少库存的情况下销售该款文创产品，且每月获利10800元，求n的值． 18．中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． (1)若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； (2)为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 19．综合与实践 背景 圈圈馍作为运城特色美食，因文旅带动成为热门打卡商品，外地游客购买意愿强烈． 素材1 国庆节期间，运城东湖早市的13号圈圈馍店，10月1日当天的销售量为6000个，凭借香酥的口感，前来购买的游客越来越多，10月3日的销售量达到8640个． 素材2 该店因常有外地游客电话订购，特推出圈圈馍礼盒，以便邮寄．已知一盒圈圈馍的生产成本为12元．经过一段时间的销售观察，发现当礼盒售价定为18元/盒时，平均每天可售出300盒；若售价每降低0.1元，则平均每天多售出10盒．该店计划通过下调售价，使平均每天的礼盒销售总利润达到2000元． 问题解决 (1)任务1：根据素材1，求从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率． (2)任务2：根据素材2，该店为了尽可能多地减少库存，求下调后每个礼盒的售价． 【一元二次方程与动态几何问题】 20．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ (3)的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 21．综合与探究 如图，已知，为坐标轴正半轴上的两点，且满足，点P从点O开始在线段上向点A以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B开始在线段上向点O以每秒1个单位的速度运动如果P、O同时出发，运动时间为t（秒）．    (1)求a，b的值； (2)填空：斜边上的高________； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)连接，请探究：能否成为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由． 22．已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为． (1)若矩形的面积为，求的值； (2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由； (3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由． 23．在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 24．如图，在矩形中，，点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点后，运动立即停止．设点，运动的时间为秒（）． (1)用含的式子表示：___________，___________； (2)当的长为时，求的值； (3)淇淇说：“在运动的过程中，的面积不可能是25．”你是否同意淇淇的说法？说明理由； (4)取的中点，在运动的过程中，当为直角三角形时，直接写出的值． 【一元二次方程与围栏、盒子问题】 25．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 26．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． (1)这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 27．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (2)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 28．丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，求此时纸盒的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【由一元二次方程的定义及解求参数】 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求解获得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得， ． 2．若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法可得一元二次方程必有一解满足，求解即可． 【详解】整理，得， ∵关于的一元二次方程有一解为， ∴一元二次方程必有一解满足， 解得． 3．已知为一元二次方程的根，那么的值为（     ） A． B． C．0 D．2048 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义可推出，再根据可得答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 4．在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 【利用合适的方法解一元二次方程】 5．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 开平方得或， 解得； （2）解： 这里， ， ， ； （3）解： 或， 解得； （4）解：； 移项得，， 配方得，， ， ， 解得． 6．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 7．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方法： ， ∴，． （2）解：公式法： ， ∴， ∴，． （3）解：因式分解法： ， ∴，． （4）解：移项，平方差公式： ， ， ， 或， ∴，． 【根的判别式与韦达定理的综合应用】 8．关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先表示出根的判别式，再判断其正负即可证明结论； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，， ∴由根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，解得． 9．关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根的判别式，求解即可； （2）利用根与系数关系，完全平方公式的变形计算，解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根 ， ； （2）解：根据题意，得， ， ， ， 整理得： 解得或 方程有两个实数根， ， 故， 舍去， 故符合要求． 10．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． (2)思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． (3)拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． 【答案】(1)1； (2)①5；② (3)1 【分析】（1）由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可； （2）①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分，并代入求值即可；②把所求式子因式分解得到，再代入求值即可； （3）根据题意可证明可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，； （2）解：①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴； ②∵，， ∴； （3）解：∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)记该方程的两个实数根为，，若代数式的值为，求k的值； (3)若，，比较A与B的大小． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到判别式，然后计算即可； （2）首先利用根与系数的关系得到，，然后将化简为，然后整体代入求解即可； （3）化简，然后将，代入后配方成，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得或； 经检验符合题意. （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【配方法的应用及求最值】 12．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”，并说明理由． 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值___________． 【拓展应用】 (3)已知实数满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由如下： ，且6，2都是整数， 是“和谐数”； (2) (3)时，取得最小值，最小值为1 【分析】（1）利用题中定义判断即可； （2）利用配方法得，则可求得m、n，进而可求解； （3）由已知，结合配方法得到，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴，，则， 当时，； 当时，， 综上，的值为； （3）解：， 对于任意实数，都有， 当，即时，取得最小值，最小值为1． 13．配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）由配方得，求出和的值，再求的值即可； （3）由题意得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：【拓展提高】由题意得：， 则， ∵， ∴， 此时，最大为． 14．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)否 (2)①；②最小值为 【分析】（1）求出方程的根，结合新定义，进行判断即可； （2）①根据新定义把代入方程，进行求解即可；②结合①中的结论，利用配方法求出最小值即可. 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵，方程的根为和， ∴一元二次方程不是“C方程”． （2）解：①∵该方程是“C方程”， 即为方程的解， ， ， ∴， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 15．【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 【答案】（方法理解）③，25 （灵活应用）， ， 或， 能够求出方程的解的图示如下： 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：（方法理解）， ， 能体现方程的解法的是 ③， ， 故答案为：③，25； （灵活应用） 略 【一元二次方程与增长率、销售问题】 16．云南文旅发展整体势头强劲，云南特产鲜花饼备受游客的喜爱．某特产超市七月份鲜花饼的销量为2000箱，八月、九月销售量持续增长，九月份销量达到3380箱． (1)求八、九月份销量的月平均增长率． (2)为迎接国庆节的到来，商家决定做优惠活动，已知鲜花饼的进货价为每箱20元，当每箱的售价为45元时，日销量可达75箱；售价每降低1元，日销量可增加5箱．为尽量减少库存，当鲜花饼每箱降价多少元时，当日卖出鲜花饼的总利润刚好为1980元？ 【答案】(1)八、九月份销量的月平均增长率为30% (2)当鲜花饼每箱降价7元时，当日卖出鲜花饼的总利润刚好为1980元 【分析】（1）设八、九月份销量的月平均增长率为x，根据“七月份鲜花饼的销量为2000箱，九月份销量达到3380箱”列出方程，求解即可； （2）设鲜花饼每箱降价n元，根据“总利润刚好为1980元”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设八、九月份销量的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：八、九月份销量的月平均增长率为． （2）解：设鲜花饼每箱降价n元，根据题意，得 ， 解得，， 当降价越多时，销量越大，库存越少，故． 答：当鲜花饼每箱降价7元时，当日卖出鲜花饼的总利润刚好为1980元． 17．某文创店将一款新开发的文创产品放到网上销售，上市时定价为62.5元/件，因活动促销，经过连续两次降价后售价降至40元/件，此时平均每月销售量为500件． (1)求该款文创产品平均每次降价的百分率． (2)为回馈顾客，该文创店计划再次降价，市场调查发现售价每降价元，销售量就会增加件，已知该款文创产品成本价为20元/件，若该文创店想在尽快减少库存的情况下销售该款文创产品，且每月获利10800元，求n的值． 【答案】(1)该款文创产品平均每次降价的百分率为 (2) 【分析】（1）根据两次降价前后的价格关系列一元二次方程，结合实际意义舍去不合理的根； （2）根据总利润与单件利润、销售量的关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取较大的根． 【详解】（1）解：设该款文创产品平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得，（舍去） 答：该款文创产品平均每次降价的百分率为； （2）解：根据题意得，， 解得，， ∵该文创店想尽快减少库存，需销售量尽可能大， ∴． 答：n的值为８． 18．中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． (1)若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； (2)为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 【答案】(1)销售量的每期平均增长率为 (2)每套灯笼的义卖价格应定为元 【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为x，根据第一期和第三期的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设每套灯笼的义卖价格为y元，根据利润售价成本销售量，结合条件列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售量的每期平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：销售量的每期平均增长率为； （2）解：设每套灯笼的义卖价格为y元， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：每套灯笼的义卖价格应定为元． 19．综合与实践 背景 圈圈馍作为运城特色美食，因文旅带动成为热门打卡商品，外地游客购买意愿强烈． 素材1 国庆节期间，运城东湖早市的13号圈圈馍店，10月1日当天的销售量为6000个，凭借香酥的口感，前来购买的游客越来越多，10月3日的销售量达到8640个． 素材2 该店因常有外地游客电话订购，特推出圈圈馍礼盒，以便邮寄．已知一盒圈圈馍的生产成本为12元．经过一段时间的销售观察，发现当礼盒售价定为18元/盒时，平均每天可售出300盒；若售价每降低0.1元，则平均每天多售出10盒．该店计划通过下调售价，使平均每天的礼盒销售总利润达到2000元． 问题解决 (1)任务1：根据素材1，求从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率． (2)任务2：根据素材2，该店为了尽可能多地减少库存，求下调后每个礼盒的售价． 【答案】(1)从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率为 (2)下调后每个礼盒的售价为元 【分析】（1）设从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率为x，根据平均增长率的公式结合题意列出方程求解； （2）设下调后每个礼盒的售价为y元，根据利润公式（利润单个利润销售量）列出方程，再结合减少库存的要求确定最终售价． 【详解】（1）解：设从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率为x， 根据题意，得 解得：，（不合题意，舍去） 答：从10月1日到10月3日该店销售量的日平均增长率为； （2）解：设下调后每个礼盒的售价为y元，则单个利润为元， 根据题意，得 解得，， ∵尽可能多地减少库存， ∴， 答：下调后每个礼盒的售价为16元． 【一元二次方程与动态几何问题】 20．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ (3)的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)解：不能． 理由如下： 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ， 一元二次方程无实数解， 即的面积不能为． 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可； （3）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程，判断解的情况即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； （2）解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为； （3）略 21．综合与探究 如图，已知，为坐标轴正半轴上的两点，且满足，点P从点O开始在线段上向点A以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B开始在线段上向点O以每秒1个单位的速度运动如果P、O同时出发，运动时间为t（秒）．    (1)求a，b的值； (2)填空：斜边上的高________； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)连接，请探究：能否成为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)1秒或3秒 (4)能， 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性列方程解决即可； （2）借助面积列式计算即可； （3）用含t的式子表示的面积，再列方程解决即可； （4）由题意只能是顶角，此时，则，列方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴，， ∴，； （2）解： 在中，， ∵斜边AB上的高为h， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由已知得，，，，， 当的面积是面积的时， ， 即， 整理得， 解得，， 经检验，这两个解都符合题意， 所以，当的面积是面积的时，t的值是1秒或3秒； （4）解：能成为等腰三角形， 在中，． ∵是的一个外角， ∴， ∴如果是等腰三角形，只能是顶角，此时， ∴， ∴， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 所以，当时，能成为等腰三角形． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、直角三角形性质、等腰三角形性质及一元二次方程的应用，根据题意列出方程解决是关键． 22．已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为． (1)若矩形的面积为，求的值； (2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由； (3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) 能，理由：若为边的中点，根据题意有：， 解得，， 则的坐标为，此时的横坐标为， 则纵坐标为，即， 而，即是中点， 故当时为边的中点同时是中点． (3)能，，正方形的边长为 【分析】（1）用含的代数式表示、，因为矩形的面积，得出含的方程即可； （2）当为边的中点时，即，计算验证此时是否为中点即可； （3）当矩形为正方形，即，用含的代数式表示、建立含方程，求解检验即可． 【详解】（1）解：因为、横坐标分别为，， 所以，， 由矩形的面积为得： 即， 解得：． （2）略 （3）解：若矩形为正方形，则， 因为，， ， 整理得：， ，（舍去）， 故时矩形为正方形， 正方形边长为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键要掌握用代数的方法解决几何问题技巧，把几何问题转化为方程求解问题． 23．在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)或时，的面积为； (2)线段不能将分成面积相等的两部分， 理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意得，， 整理得，， ， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或秒后，的面积为； 【分析】（1）设经过秒后，的面积为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即可； （3）设经过秒后，的面积为，分两种情况，当点在线段上和点在射线上，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积为，， 由题意可得：， 整理得，， 解得，， 或时，的面积为； （2）解：略 （3）解：设经过秒后，的面积为， 点在线段上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得，， 解得， 时，的面积为； 点在射线上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 综上所述，经过秒或秒后，的面积为． 24．如图，在矩形中，，点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点后，运动立即停止．设点，运动的时间为秒（）． (1)用含的式子表示：___________，___________； (2)当的长为时，求的值； (3)淇淇说：“在运动的过程中，的面积不可能是25．”你是否同意淇淇的说法？说明理由； (4)取的中点，在运动的过程中，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； (4)6或 【分析】（1）利用路程速度时间，进一步列代数式即可； （2）利用勾股定理列方程求解即可； （3）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （4）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可得，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解： ∵点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点运动即停止，， ∴，，，． （2）解：四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ∴当的长为时，． （3）略 （4）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为6或． 【一元二次方程与围栏、盒子问题】 25．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)解：饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米． 【分析】（1）设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，解方程即可； （2）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，同时，符合题意， 答：饲养场面积为160平方米时，此时边的长为10米． （2）解：略． 26．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． (1)这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚长10米，宽9米 (2)小路宽度为1米 【分析】（1）设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米，根据计划建造车棚的面积为90平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设小路宽米，根据停放自行车的面积为64平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得，， 当时，此时平行墙长米，墙长只有12米，，舍去； 当时，平行墙长米，，符合题意．     故车棚长10米，宽9米． （2）解：设小路宽米， 由题意得， 整理得， 解得，（舍去） 故小路宽度为1米． 27．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (2)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)车棚的长为，宽为 (2)解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为的自行车车棚， 根据题意得：， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为的自行车车棚． 【分析】（1）车棚的长为，再根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （2）假设能围成面积为的自行车车棚，则可得方程，利用判别式判断方程是否有正实数根即可得到结论． 【详解】（1）解：∵不锈钢栅栏的总长为，左右两侧各开一个的出口，且车棚的宽为， ∴车棚的长为； 根据题意得：， 整理得， 解得， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：车棚的长为，宽为； （2）略 28．丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，求此时纸盒的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：， 整理得， ， ， 解得或， 当时，，则（舍）， 答：此时纸盒的高度为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $