第五单元 第3课时 圆的周长（二）（教学设计）数学北京版六年级上册 （新教材）

第五单元 第3课时 圆的周长（二） 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·北京版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上学期 单 元 第五单元 圆 课 题 第3课时 圆的周长（二） 教学目标： 1.知识技能：掌握已知圆的周长求直径或半径的方法，理解并会计算半圆及常见含圆组合图形的周长。 2.素养能力：在解决真实情境与组合图形问题的过程中，发展几何直观、模型意识与推理能力。 重点难点： 1.教学重点：圆的周长公式的反向应用；半圆周长与运动场等组合图形周长的计算方法。 2.教学难点：辨析“半圆周长”与“圆周长一半”的区别；准确提取组合图形中圆的周长部分与线段部分，避免漏算或重复计算。 教学流程 一、情景导入 【设计意图】通过回顾上节课核心公式激活已有经验，同时以“古槐有多粗”“运动场跑道”“水池边”“捆管子”等现实与图形情境制造认知冲突，明确本节课“反向运算”与“组合图形”的学习任务，激发探究欲望。 出示或课件呈现一个圆形实物 提问：上节课我们认识了圆的周长，一起说圆的周长公式是什么？（指名学生回答） 追问：如果老师告诉你一个圆的周长大约是3.96米，你能反过来想想它有多粗，也就是直径是多少米吗？生活中，运动场的跑道、半圆形水池边、捆扎圆管用的绳子，它们的长度又该怎样计算呢？今天我们就继续研究圆的周长——反向求直径半径，以及半圆和组合图形的周长。（板书课题） 二、探究新知 学习任务一：圆的周长公式逆用 【设计意图】承接上节课圆的周长正向计算内容，建立公式正逆双向运用的完整认知，借助生活情境体会数学知识解决实际问题的价值，渗透转化思想，培养学生逆向推理能力，为后续组合图形周长计算打下基础。同时区分顺向已知半径、直径求周长，逆向已知周长求解其他量，完善圆的周长知识体系。 1、情境呈现 展示教材中古槐的情境 问题：这棵古槐的直径大约是多少米？结果保留一位小数。 2、公式梳理 回顾圆的周长计算公式C＝πd、C＝2πr。 已知圆的周长C，要求直径d，对公式进行等价变形，由C＝πd推导得出d＝C÷π； 如果要求半径r，推导得出r＝C÷π÷2。 3、分步计算 取π≈3.14，代入数值计算，d＝3.96÷3.14≈1.2627m。 题目要求保留一位小数，观察百分位数字6，根据四舍五入法向十分位进1，最终结果约等于1.3m。 4、变式巩固 给出圆的周长C＝12.56m，学生独立完成半径计算，r＝12.56÷3.14÷2＝2m。 5、小结：（引导学生归纳方法） 已知周长求直径，直接用周长除以π；求半径，先用周长除以π得到直径，再除以2。 计算时注意题目对结果取近似值的要求，分清保留几位小数。 学习任务二：半圆与含圆组合图形的周长 【设计意图】以教材运动场、半圆形水池为载体重构问题链，打破“套公式”的惯性，引导学生把组合图形拆成“曲线部分（圆的周长或一半）＋直线部分”，特别关注半圆周长必须含直径，培养几何直观与严谨性。 （一）半圆形鱼塘篱笆长度——明确“封闭半圆”的边界构成 1、情境呈现，明确问题 出示例题：刘老板有一个半圆形鱼塘，鱼塘的直径是24米。要在鱼塘四周围上篱笆，至少需要准备多少米的篱笆？（π取3.14） 引导学生观察图形（半圆形鱼塘） 提问：“四周”指的是哪些边？围篱笆需要覆盖鱼塘的哪些部分？ 学生通过观察发现：半圆形鱼塘的“四周”包含弯曲的半圆弧和底部的直线直径（直径将鱼塘与地面分隔，是鱼塘边界的一部分）。 2、拆解边界，推导公式 第一步：区分“圆周长一半”与“半圆周长”​ 圆周长的一半：仅指半圆的弧长（曲线部分），计算公式为：πd（或πr）。 半圆周长：作为封闭图形的周长，必须包含“半圆弧”和“直径”（直线部分），因此公式为： C半圆＝半圆弧长＋直径＝πd＋d（或πr＋2r） 第二步：代入数值计算​ 已知直径 d＝24米 半圆弧长：×3.14×24＝37.68（米） 加上直径：37.68＋24＝61.68（米） 3、验证与总结 检验：若篱笆长61.68米，其中弧长37.68米（占圆周长的一半），直径24米（封闭图形的底边），符合“四周围满”的要求。 关键结论：半圆（封闭图形）的周长必须包含直径，不能仅算弧长；计算时需先明确“哪些是外围边线”，再分别求和。 （二）运动场组合图形周长探究——拆分图形，化曲为直 1、情境呈现，识别边界 出示例题： 提出问题：绕着这个运动场走一圈，至少有多少米？走一圈的路线对应图形的什么？ 引导学生明确：所求即运动场的外围周长，只有暴露在外的边线才需要计入，图形内部的虚线（长方形的两条宽，即半圆的直径所在线段）不属于行走路线，不能计入周长。 2、 拆分要素，分类推导 带领学生将外围边界拆解为两部分： ①曲线部分：左右两个半圆弧。因为两个半圆完全相同，直径都等于76.5 m，所以两个半圆弧合起来正好是一个直径为76.5 m的完整圆的周长。 依据圆的周长公式，这部分长度为C圆＝πd＝3.14×76.5。计算得 3.14×76.5＝240.21（m）。 ②直线部分：运动场上下两条笔直的边，它们分别是长方形的两条长，每条长80 m，且都在外围。因此直线部分总长度为 80×2＝160（m）。 长方形的两条宽在图形内部，是半圆与长方形的衔接线，不在外围，故不计算。 3、综合计算，归纳模型 将两部分长度相加，得到运动场一圈的周长： 240.21＋160＝400.21（m） 答：绕着这个运动场走一圈至少有400.21米。 引导学生回顾思考过程，提炼方法： 对于由半圆和长方形组合而成的运动场类图形，计算外围周长时，可以先看曲线——两个半圆能拼成一个整圆，用圆的周长公式计算；再看直线——只取长方形在外围的边（此处是两条长），内部线段不计入。即：组合图形周长＝可拼合的圆的周长＋外围直线段长度之和。 4、方法迁移意识 强调“不重不漏”原则：拆分时要确认每一段边线是否真的属于外围；能拼整圆的先拼整圆，简化计算；直线段要数清条数。这一分析策略同样适用于后续绳捆圆柱、跑道等类似含圆组合实际问题。 三、课堂练习 【设计意图】通过填表巩固半径、直径、周长三者互求；通过捆圆管、走水池边等变式，强化“外包装/绳长＝圆弧+切线段”的模型；通过多圈行走体会周长的实际累加，提炼“公式逆用、拆分组合、半圆别忘直径”的解题技巧与考点。 教材P66第1题 解析：直径d＝2×r，周长C＝π×d＝2×π×r（默认π取3.14） 已知半径求直径/周长：直接乘2、乘3.14即可 已知直径求半径/周长：半径除以2，周长乘3.14 已知周长求直径/半径：直径＝周长÷3.14，半径再除以2 教材P66第2题 解析：外围绳子的长度＝所有外露圆弧长度和＋所有外露直线段长度和 教材P66第3题 点睛：先算单圈周长，再乘圈数，最后按要求取近似 四、课堂总结 师：今天这节课我们学习了什么？ ①会“倒着用”圆周长公式：知道周长，用d＝C÷π、r＝C÷π÷2求直径或半径。 ②半圆周长是“圆弧＋直径”，不是只有弯弯的弧。 ③组合图形（如运动场、绳捆圆管）的周长，要会“拆”：曲线部分凑成整圆或几分之几圆，直线部分只算露在外面的边。 计算时注意π的取值、保留小数和实际意义。 五、板书设计 圆的周长（二） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 一、已知周长求直径/半径 C＝πd d＝C÷π C＝2πr r＝C÷π÷2 例2： 3.96÷3.14≈1.3（m） 二、半圆周长（封闭） 圆周长的一半：仅指半圆的弧长（曲线部分），计算公式为：πd（或πr）。 半圆周长：“半圆弧”和“直径”（直线部分） 公式为：C半圆＝半圆弧长＋直径 ＝12πd＋d（或πr＋2r） 例：半圆弧长：12×3.14×24＝37.68（米） 加上直径：37.68＋24＝61.68（米） 三、组合图形周长 思路：拆分→曲线（拼圆/半圆弧）＋直线（外围线段） 例：C＝π×76.5＋80×2 ＝400.21（m） 注意：半圆要加直径！组合图形不重不漏！ $