第19讲 圆周运动 讲义-2027届高考物理一轮复习

第19讲 圆周运动 考点一遍过 考点1 描述圆周运动的物理量及关系 1 考点2 圆周运动的动力学问题 6 考点3 水平面内圆周运动的临界问题 11 考点4 竖直面内圆周运动的临界问题 16 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 22 考点1 描述圆周运动的物理量及关系 考点一遍过 一、描述圆周运动的物理量及关系 定义、意义 公式、单位 线速度 (v) 1.描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 2.是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 1.v＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:m/s 角速度 (ω) 1.描述物体绕圆心转动快慢的物理量 2.是矢量，但不研究其方向 1.ω＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:rad/s 3.ω与v的关系:v＝ωr 周期(T) 转速(n) 频率(f) 1.周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 2.转速是单位时间内物体转过的圈数 1.T＝(与频率的关系) 2.T的单位:s n的单位:r/s、r/min f的单位:Hz 向心 加速度 (an) 1.描述线速度方向变化快慢的物理量 2.方向指向圆心 1.an＝＝ω2r＝r＝ωv 2.单位:m/s2 【重点突破】 常见的三种传动方式及特点 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 【例1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）如图所示为停车场道闸及其内部控制横杆起落的结构示意图，由三组相同的轮，用皮带传动（始终不打滑），每组轮都由大、小两个轮共轴叠合而成，且大轮半径均为小轮半径的2倍。为组小轮边缘一点，分别为组和组大轮边缘一点。若在电动机的带动下匀速转动，下列说法正确的是（     ） A．、、三点线速度大小之比为1∶1∶2 B．、、三点角速度大小之比为4∶2∶1 C．、、三点向心加速度大小之比为8∶2∶1 D．、、三点周期之比为2∶2∶1 【答案】B 【详解】AB．皮带与各轮之间无相对滑动，取相互连接的轮缘，组小轮与组大轮的线速度相等，组小轮与组大轮的线速度相等，因此有 以及 从而 点的半径为，点和点的半径均为，由得，故A错误，B正确； CD．向心加速度公式为。 代入三点的角速度和半径，得 又由，周期比等于角速度比的倒数，即，故CD错误。 故选B。 1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）连枷是一种农具，由长柄与竹排组成，用于拍打作物使子粒脱落。其运动可简化为：长柄绕点转动，同时竹排绕点转动（如图所示），某时刻连枷处于图中实线位置，，恰好在同一直线上，下列说法正确的是（     ） A．此时点的角速度大小大于点的角速度大小 B．此时点的线速度大小等于点的线速度大小 C．此时点的线速度方向和点的线速度方向相同 D．此后点一定绕点做圆周运动 【答案】C 【详解】A．点与点均在同一长柄上，属于同轴转动，根据同轴转动规律有 即此时点的角速度大小等于点的角速度大小，故A错误； BC．设点绕点转动的线速度大小为，点相对点转动的线速度大小为，由图可知的方向沿垂直方向，的方向沿垂直方向，两者方向相同，根据运动的合成有 根据矢量叠加原理可得此时，故B错误，C正确； D．竹排上点参与了随点绕点的圆周运动以及绕点的圆周运动，其合运动的轨迹是一条复杂的曲线，不是绕点的圆周运动，故D错误。 故选C。 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。杆的点通过铰链固定在滑槽导轨中，点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，杆的点通过铰链固定在滑块上，点通过铰链固定在杆上。某次关闭窗户的过程中，杆绕点匀速转动，则（     ） A．点和点的加速度大小可能相等 B．点的加速度大小始终小于点的加速度大小 C．点和点的速度大小可能相等 D．点的速度大小始终小于点的速度大小 【答案】BC 【详解】AB．杆绕点匀速转动，杆上各点的角速度完全相同。匀速圆周运动的向心加速度公式为 其中是该点到转轴的距离。 由于点到的距离始终小于点到的距离，因此点和点的加速度 ​二者加速度不可能相等。故A错误，B正确； CD．随杆匀速转动，点线速度方向垂直于杆，大小为 点的速度方向始终沿滑槽导轨（水平方向），如图所示 将点速度沿杆、垂直杆分解，由于为刚性杆，杆上两点沿杆方向的分速度必然相等，设为与杆的夹角，为与杆的夹角，则有 当角度关系满足时，即可出现的情况，因此二者速度大小可能相等，并非的速度始终小于的速度，故C正确，D错误。 故选BC。 3．（2026·浙江·模拟预测）如图所示，转轴通过餐桌中心的可旋转圆盘上有一个小碟子（可视为质点）随圆盘一起匀速转动，下列说法错误的是（     ） A．小碟子做匀变速曲线运动 B．圆盘对小碟子有摩擦力 C．小碟子所受的摩擦力方向与小碟子运动方向垂直 D．小碟子所受合外力不为零 【答案】A 【详解】A．小碟子做匀速圆周运动，速度大小不变，但速度和加速度的方向均不断变化，加速度不是恒定的，故A错误； BCD．小碟子相对圆盘静止，竖直方向重力与支持力平衡，水平方向仅受圆盘的静摩擦力，该力指向圆心并提供向心力。小碟子的瞬时速度沿圆周切线，摩擦力与运动方向垂直，关系如图所示。 静摩擦力使小碟子具有指向圆心的非零向心加速度，因此合外力不为零，故BCD正确。 本题选择错误的，故选A。 考点2 圆周运动的动力学问题 考点一遍过 1.匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小 Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv。 (3)方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.匀速圆周运动中向心力的来源 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 3.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 【重点突破】 1．圆锥摆和圆锥筒的分析思路 圆锥摆 (1)向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力FT＝和运动所需向心力也越大，即对于等长摆，越高、越快、越大 圆锥筒 (1)筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小球相连。小球以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，小球所受摩擦力的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理有 可得摩擦力的大小 故选B。 1．（25-26高一下·北京·期中）长为L的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在悬点，让小球在水平面内做匀速圆周运动形成圆锥摆，如图所示，若摆线与竖直方向夹角为，求： (1)请画出小球的受力分析示意图，并求摆线对小球的拉力大小； (2)小球运动的向心加速度大小； (3)生活经验告诉我们，在线长一定的情况下，角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大（小于90度），试结合所学知识证明这个结论。 【答案】(1)， (2) (3)理论依据如角速度公式推导 【详解】（1）摆球的受力分析如图所示： 沿竖直方向受力平衡，有 解得 （2）拉力水平分力提供向心力，即 解得 （3）向心力公式 其中半径 联立解得 容易看出，当夹角小于时，在线长一定的情况下，角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大。 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）如图所示，两个同轴心的玻璃漏斗内表面光滑，两漏斗与竖直转轴的夹角分别是且三个小球在漏斗上做匀速圆周运动，A、B两球在同一漏斗的不同位置，C球在另一个漏斗上且与B球位置等高，下列说法正确的是（　　） A．A球的线速度一定小于B球的线速度 B．A球与B球的向心加速度大小一定相等 C．B球与C球的角速度大小一定相等 D．B球与C球的线速度大小一定相等 【答案】ABD 【详解】B．根据题意可知，球与球均做匀速圆周运动，合力指向圆心提供向心力，分别对两球受力分析，如图所示: 设球做匀速圆周运动的半径为，对球由牛顿第二定律可得 设球做匀速圆周运动的半径为，对球由牛顿第二定律可得 解得，球与球的向心加速度大小一定相等，故B正确； A．由得，、的加速度相同，，则，故A正确； C．设球到圆锥顶点的竖直高度为，对球有 解得 同理解得 已知，则，，球与球的角速度大小一定不相等，故C错误； D． 设球做匀速圆周运动的半径为，，则，球与球的线速度大小一定相等，故D正确。 故选 ABD。 3．（25-26高一下·山东济宁·阶段检测）如图所示，在水平转台上放一个质量M=4kg的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心O的光滑圆筒后悬挂一小球，木块与O点间距离r=0.1m。木块可视为质点，重力加速度g取。 (1)若转台光滑，当角速度时，木块与转台保持相对静止，求此小球的质量m； (2)若转台与木块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使木块与转台间保持相对静止，求转台转动的角速度范围。 【答案】(1)4kg (2) 【详解】（1）转台转动时，木块做圆周运动，小球处于静止，根据平衡条件和牛顿第二定律，对m有 T=mg 对M有 联立解得 m=4kg （2）木块受到的最大静摩擦力 ① 当较小时，木块有近心趋势，静摩擦力沿半径向外有 解得 ② 当较大时，木块有离心趋势，静摩擦力沿半径向里有 解得 为使木块与转台保持相对静止，转台转动的角速度范围为 考点3 水平面内圆周运动的临界问题 考点一遍过 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【重点突破】 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 【例3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）如图所示，质量均为的物块、放在水平转盘上，两物块到转轴的距离均为，与转盘之间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、分别用轻绳系于转盘转轴上的、点，轻绳都刚好拉直。重力加速度为。转盘由静止开始缓慢增大转速直至、脱离圆盘过程中（     ） A．圆盘对两物块的摩擦力都指向圆心 B．圆盘对物块做的功小于对做的功 C．两绳同时出现拉力，且绳较早脱离圆盘 D．物块、同时脱离圆盘，脱离时角速度 【答案】B 【详解】A．转盘由静止开始缓慢增大转速，物块做加速圆周运动，具有切向加速度，摩擦力提供切向力，所以摩擦力方向不指向圆心，故A错误； B．绳子拉力方向始终与速度方向垂直，不做功。根据动能定理，圆盘对物块做的功等于物块动能的增加量，即 物块脱离圆盘时支持力，此时摩擦力 由牛顿第二定律得竖直方向 水平方向 联立解得脱离时的角速度 由图可知，A的悬点较高，绳与竖直方向夹角较小，B的悬点较低，夹角较大，即，所以 脱离时物块的线速度，故，动能，所以圆盘对物块做的功小于对做的功，故B正确； CD．绳子刚出现拉力时，静摩擦力达到最大值，由可知，两绳同时出现拉力。由B选项分析可知，转速增大过程中先达到临界角速度，故先脱离圆盘， 且脱离时角速度，与无关，故CD错误。 故选B。 1．（25-26高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一起，大圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲不打滑转动。两圆盘的半径之比为，两圆盘和小物体、间的动摩擦因数相同。离甲盘圆心点，距乙盘圆心点，当甲缓慢转动且转速慢慢增加时（     ） A．两物块相对盘滑动前，与的线速度之比为 B．物块相对盘滑动前，与的向心加速度之比为 C．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 D．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 【答案】ABD 【详解】A．甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，则有 可得 根据 ，可得物块相对盘开始滑动前，的线速度 的线速度 因此、的线速度比，故A正确； B．物块相对盘开始滑动前，根据向心加速度公式得的向心加速度 的向心加速度 因此向心加速度比，故B正确； CD．物体即将滑动时，最大静摩擦力提供向心力 得临界向心加速度 两物体动摩擦因数相同，因此临界向心加速度相等。 由B选项可知，物块相对盘开始滑动前，在相同转速下 所以随转速慢慢增加，的向心加速度先达到临界向心加速度，先开始滑动，故C错误，D正确。 故选ABD。 2．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，在圆盘上沿半径方向放置物体A和B，质量，它们分居在圆心O点两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离为，A和B中间用细线相连，细线刚好伸直且无张力；A、B与圆盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间的动摩擦因数为，桌面上表面距地面的高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，使圆盘在水平面内做圆周运动。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当细线恰好有张力时，圆盘转动的角速度的大小； (2)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (3)若当圆盘转动的角速度为时，细线突然断裂，求物体A落到地面时落点距O点的水平距离（A落地后不反弹）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）对物体A和B，由最大静摩擦力充当向心力有 解得 由半径关系可知，可判断随着圆盘角速度的增大，物体A先达到最大静摩擦力。当角速度为时，物体A刚好达到最大静摩擦力且细线恰开始有张力，则对A有 解得圆盘转动的角速度为 （2）当角速度为时，因为，所以物体A受到的静摩擦力达到最大值，即物体A所受的摩擦力大小 设此时绳子拉力为T，对A由向心力公式有 对B有 解得物体B所受的摩擦力大小 （3）当圆盘转动的角速度为时，物体A的线速度为 绳断后物体A沿圆周轨迹切线滑至桌面，在桌面上做匀减速直线运动，设滑至桌面边缘时速度为，减速位移 由牛顿第二定律有 解得加速度大小为 由运动学公式可得 物体A离开桌面后做平抛运动，则平抛运动时间为， 平抛运动的水平分位移为 物体A落到地面时距O点的水平距离为 3．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，水平放置的光滑木板正中间有一个光滑的小孔O，一根长为的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球A、B。小球A以角速度在木板上绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，B也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，O点正好是细线的中点。已知小球质量均为，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)细线对小球A的拉力大小； (2)小球B的线速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球A所受的重力和木板的支持力平衡，受力分析如图所示 由绳的拉力提供向心力，有 而O点正好是细线的中点，有 联立解得 （2）对B球受力分析，有 联立解得 考点4 竖直面内圆周运动的临界问题 考点一遍过 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。 3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解题。 4.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg ②恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 【重点突破】 解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 【例4】（河北部分高中2026-2027学年高三上学期10月阶段检测物理试题）（多选）某公司年会的一种娱乐项目的情景如图所示，水平地面上在同一直线上的、点上各固定一处于竖直面内的光滑圆轨道（底部错开），两圆轨道的半径均为，，，要求员工在点给质量为的小物块一个初速度，使其沿水平方向向右滑行，依次通过两个圆轨道后，最终停在、两点之间，即可获得相应的奖品。已知滑块与地面间的动摩擦因数，重力加速度取。若一员工操作后，小物块恰好能停在点，则下列说法正确的是（     ） A．物块的初速度大小为8 m/s B．物块经过第一个圆轨道最高点时的速度大小为6 m/s C．物块经过第二个圆轨道最高点时的速度大小为 D．物块经过第二个圆轨道最高点时对轨道的压力大小为35 N 【答案】ABD 【详解】A．物块从A到D由能量关系可知 解得物块的初速度大小为v0=8 m/s，故A正确； B．物块从A点开始到经过第一个圆轨道最高点时由能量关系可知 解得v1=6 m/s，故B正确； C．物块从经过第一个圆轨道最高点到经过第二个圆轨道最高点时由能量关系 解得，故C错误； D．物块经过第二个圆轨道最高点时，由牛顿第二定律 解得FN=35N 根据牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为35N，故D正确。 故选ABD。 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，四分之三圆轨道ABD（内壁、外壁均光滑）被固定在竖直面内，O为圆心，C是轨道上一点，其中AB部分是光滑圆管，E是圆管上与O等高的位置，AB是竖直直径，OC、OB的夹角为（为未知量）。一质量为m的小球（可视为质点）沿光滑水平面，以向左的速度经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B，接着在B点受到轻微的扰动从B到达C时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为g，不计空气阻力以及圆管粗细。下列说法正确的是（     ） A．圆弧轨道的半径为 B．的余弦值为 C．从E到B的过程中，小球的水平分速度先增大后减小 D．从E到B的过程中，小球受到的弹力先增大后减小 【答案】C 【详解】A．小球恰好到达最高点，由于部分是圆管，小球在点的速度可以为零，即 从到过程，根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的半径，故A错误； B．小球从到的过程，根据机械能守恒定律有 在点刚好脱离轨道，说明轨道对小球的弹力为零，重力的径向分力提供向心力 联立解得，故B错误； C．小球从到的过程中，在点时速度竖直向上，水平分速度为零；在点时速度为零，水平分速度也为零。而在、之间运动时，速度方向斜向右上方，存在水平向右的分速度。因此，小球的水平分速度先增大后减小，故C正确； D．设小球运动到某位置时，半径与竖直方向（）的夹角为（点，点）。根据机械能守恒（以点为零势能面） 需要的向心力 重力沿半径方向的分力 在点（），，，轨道外壁提供指向圆心的弹力 在点（），，，轨道内壁提供背离圆心的弹力 当时，即 解得，此时弹力 所以从到的过程中，弹力大小先由减小到，再由增大到，即先减小后增大，故D错误。 故选C。 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 【答案】C 【详解】A．小球在竖直光滑圆形轨道（管模型）内做圆周运动，通过最高点的最小速度为 根据机械能守恒定律，有 解得，故A错误； B．在最低点，由牛顿第二定律得 解得 在最高点，若，轨道对小球表现为支持力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向下，大小差 若，轨道对小球表现为压力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向上，大小差 由于题目未限定的具体范围，压力大小差不恒等于，故B错误； C．要使轨道离开地面，小球在最高点对轨道必须有竖直向上的弹力，且 根据牛顿第三定律，轨道对小球有竖直向下的弹力 对小球在最高点应用牛顿第二定律 即 由机械能守恒定律 联立解得 即，故C正确； D．当时，小球在最高点速度为0，轨道对小球支持力（向上），小球对轨道压力（向下），此时轨道对地面压力为；在最低点小球对轨道压力为（向下），轨道对地面压力为；在运动过程中存在小球对轨道无作用力的位置（此时轨道对地面压力为）。因此轨道对地面的压力先减小后增大，故D错误。 故选C。 3．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的光滑圆弧轨道，其中轨道端切线水平，小物块通过半径光滑圆弧轨道后滑上与点等高、静止在粗糙水平面的长木板上。滑到点时，对圆弧轨道点的压力为。已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面之间的动摩擦因数，与竖直方向间的夹角，取,。求： (1)小物块在C点的速度大小； (2)A、B两点竖直高度； (3)若长木板长，小物块从木板最左端滑上木板，通过计算判断小物块能否从木板右端滑离木板？若不能，求小物块最终停止时距木板左端的距离？以及从滑上木板到停止运动的总时间？ 【答案】(1)7m/s (2)0.45m (3)不能，3.5m，3s 【详解】（1）小物块滑到点时，对圆弧轨道点的压力为，则在C点时 解得。 （2）从A到C由动能定理 解得 （3）物块滑上木板时做减速运动的加速度大小 木板做加速运动的加速度大小 当物块与木板共速时有 解得t1=1s，v=2m/s 此时物块的位移 木板的位移 则，可知物块不能从木板上滑出，小物块最终停止时距木板左端的距离为3.5m； 共速后两者一起做减速运动，共同加速度大小为 还能运动的时间为 则总时间为t=t1+t2=3s 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 考点一遍过 1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 【例5】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。平板上有一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴NM拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，则倾角的最大值是多少？（重力加速度g取10m/s2） 【答案】30° 【详解】小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力的作用。在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为 小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有 研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有 若恰好能通过最高点，则绳子拉力 联立解得，则 故α的最大值为30°。 1．（24-25高一下·四川甘孜·阶段检测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一长的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，小球通过最高点A时的最小速度为多大（）（     ） A．2m/s B．4m/s C．3m/s D． 【答案】A 【详解】小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有 得 故选A。 2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0，测得细线拉力T的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示，图中F0已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球位于初始位置时的加速度大小为 B．小球通过最高点时速度大小为 C．小球通过最高点时速度大小为 D．小球通过最低点时速度大小为 【答案】C 【详解】A．小球位于初始位置时水平方向的向心加速度为 小球沿斜面向下的加速度为 根据小球的合加速度大小 可知小球位于初始位置时的加速度大于，故A错误； B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力为零，则有 解得小球通过最高点时速度大小为，故B错误； C．小球在初始位置时，有 则小球通过最高点时速度大小为，故C正确； D．根据乙图可知小球通过最低点时细线的拉力为，则有 解得小球通过最低点的速度大小为，故D错误。 故选C。 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上有一长的轻杆，杆一端固定在O点的转轴上，可绕O点自由转动，另一端固定一质量为的小球，小球在斜面上做圆周运动，重力加速度取。小球恰能到达最高点A，则小球在最高点A时杆的弹力是（     ） A．0 N B．0.25 N C．0.5 N D．1 N 【答案】B 【详解】轻杆约束的圆周运动，最高点的最小速度可以为0，小球恰能到达A点时，在A点的速度 设杆对小球的弹力为（沿杆指向O点为正），沿杆方向合力为0，可得 计算得： 负号表示杆对小球的弹力为支持力（背离O点），大小为0.25N 故选B 。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 圆周运动 考点一遍过 考点1 描述圆周运动的物理量及关系 1 考点2 圆周运动的动力学问题 6 考点3 水平面内圆周运动的临界问题 11 考点4 竖直面内圆周运动的临界问题 16 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 22 考点1 描述圆周运动的物理量及关系 考点一遍过 一、描述圆周运动的物理量及关系 定义、意义 公式、单位 线速度 (v) 1.描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 2.是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 1.v＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:m/s 角速度 (ω) 1.描述物体绕圆心转动快慢的物理量 2.是矢量，但不研究其方向 1.ω＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:rad/s 3.ω与v的关系:v＝ωr 周期(T) 转速(n) 频率(f) 1.周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 2.转速是单位时间内物体转过的圈数 1.T＝(与频率的关系) 2.T的单位:s n的单位:r/s、r/min f的单位:Hz 向心 加速度 (an) 1.描述线速度方向变化快慢的物理量 2.方向指向圆心 1.an＝＝ω2r＝r＝ωv 2.单位:m/s2 【重点突破】 常见的三种传动方式及特点 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 【例1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）如图所示为停车场道闸及其内部控制横杆起落的结构示意图，由三组相同的轮，用皮带传动（始终不打滑），每组轮都由大、小两个轮共轴叠合而成，且大轮半径均为小轮半径的2倍。为组小轮边缘一点，分别为组和组大轮边缘一点。若在电动机的带动下匀速转动，下列说法正确的是（     ） A．、、三点线速度大小之比为1∶1∶2 B．、、三点角速度大小之比为4∶2∶1 C．、、三点向心加速度大小之比为8∶2∶1 D．、、三点周期之比为2∶2∶1 1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）连枷是一种农具，由长柄与竹排组成，用于拍打作物使子粒脱落。其运动可简化为：长柄绕点转动，同时竹排绕点转动（如图所示），某时刻连枷处于图中实线位置，，恰好在同一直线上，下列说法正确的是（     ） A．此时点的角速度大小大于点的角速度大小 B．此时点的线速度大小等于点的线速度大小 C．此时点的线速度方向和点的线速度方向相同 D．此后点一定绕点做圆周运动 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。杆的点通过铰链固定在滑槽导轨中，点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，杆的点通过铰链固定在滑块上，点通过铰链固定在杆上。某次关闭窗户的过程中，杆绕点匀速转动，则（     ） A．点和点的加速度大小可能相等 B．点的加速度大小始终小于点的加速度大小 C．点和点的速度大小可能相等 D．点的速度大小始终小于点的速度大小 3．（2026·浙江·模拟预测）如图所示，转轴通过餐桌中心的可旋转圆盘上有一个小碟子（可视为质点）随圆盘一起匀速转动，下列说法错误的是（     ） A．小碟子做匀变速曲线运动 B．圆盘对小碟子有摩擦力 C．小碟子所受的摩擦力方向与小碟子运动方向垂直 D．小碟子所受合外力不为零 考点2 圆周运动的动力学问题 考点一遍过 1.匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小 Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv。 (3)方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.匀速圆周运动中向心力的来源 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 3.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 【重点突破】 1．圆锥摆和圆锥筒的分析思路 圆锥摆 (1)向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力FT＝和运动所需向心力也越大，即对于等长摆，越高、越快、越大 圆锥筒 (1)筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小球相连。小球以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，小球所受摩擦力的大小为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·北京·期中）长为L的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在悬点，让小球在水平面内做匀速圆周运动形成圆锥摆，如图所示，若摆线与竖直方向夹角为，求： (1)请画出小球的受力分析示意图，并求摆线对小球的拉力大小； (2)小球运动的向心加速度大小； (3)生活经验告诉我们，在线长一定的情况下，角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大（小于90度），试结合所学知识证明这个结论。 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）如图所示，两个同轴心的玻璃漏斗内表面光滑，两漏斗与竖直转轴的夹角分别是且三个小球在漏斗上做匀速圆周运动，A、B两球在同一漏斗的不同位置，C球在另一个漏斗上且与B球位置等高，下列说法正确的是（　　） A．A球的线速度一定小于B球的线速度 B．A球与B球的向心加速度大小一定相等 C．B球与C球的角速度大小一定相等 D．B球与C球的线速度大小一定相等 3．（25-26高一下·山东济宁·阶段检测）如图所示，在水平转台上放一个质量M=4kg的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心O的光滑圆筒后悬挂一小球，木块与O点间距离r=0.1m。木块可视为质点，重力加速度g取。 (1)若转台光滑，当角速度时，木块与转台保持相对静止，求此小球的质量m； (2)若转台与木块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使木块与转台间保持相对静止，求转台转动的角速度范围。 考点3 水平面内圆周运动的临界问题 考点一遍过 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【重点突破】 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 【例3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）如图所示，质量均为的物块、放在水平转盘上，两物块到转轴的距离均为，与转盘之间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、分别用轻绳系于转盘转轴上的、点，轻绳都刚好拉直。重力加速度为。转盘由静止开始缓慢增大转速直至、脱离圆盘过程中（     ） A．圆盘对两物块的摩擦力都指向圆心 B．圆盘对物块做的功小于对做的功 C．两绳同时出现拉力，且绳较早脱离圆盘 D．物块、同时脱离圆盘，脱离时角速度 1．（25-26高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一起，大圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲不打滑转动。两圆盘的半径之比为，两圆盘和小物体、间的动摩擦因数相同。离甲盘圆心点，距乙盘圆心点，当甲缓慢转动且转速慢慢增加时（     ） A．两物块相对盘滑动前，与的线速度之比为 B．物块相对盘滑动前，与的向心加速度之比为 C．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 D．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 2．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，在圆盘上沿半径方向放置物体A和B，质量，它们分居在圆心O点两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离为，A和B中间用细线相连，细线刚好伸直且无张力；A、B与圆盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间的动摩擦因数为，桌面上表面距地面的高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，使圆盘在水平面内做圆周运动。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当细线恰好有张力时，圆盘转动的角速度的大小； (2)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (3)若当圆盘转动的角速度为时，细线突然断裂，求物体A落到地面时落点距O点的水平距离（A落地后不反弹）。 3．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，水平放置的光滑木板正中间有一个光滑的小孔O，一根长为的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球A、B。小球A以角速度在木板上绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，B也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，O点正好是细线的中点。已知小球质量均为，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)细线对小球A的拉力大小； (2)小球B的线速度大小。 考点4 竖直面内圆周运动的临界问题 考点一遍过 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。 3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解题。 4.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg ②恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 【重点突破】 解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 【例4】（河北部分高中2026-2027学年高三上学期10月阶段检测物理试题）（多选）某公司年会的一种娱乐项目的情景如图所示，水平地面上在同一直线上的、点上各固定一处于竖直面内的光滑圆轨道（底部错开），两圆轨道的半径均为，，，要求员工在点给质量为的小物块一个初速度，使其沿水平方向向右滑行，依次通过两个圆轨道后，最终停在、两点之间，即可获得相应的奖品。已知滑块与地面间的动摩擦因数，重力加速度取。若一员工操作后，小物块恰好能停在点，则下列说法正确的是（     ） A．物块的初速度大小为8 m/s B．物块经过第一个圆轨道最高点时的速度大小为6 m/s C．物块经过第二个圆轨道最高点时的速度大小为 D．物块经过第二个圆轨道最高点时对轨道的压力大小为35 N 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，四分之三圆轨道ABD（内壁、外壁均光滑）被固定在竖直面内，O为圆心，C是轨道上一点，其中AB部分是光滑圆管，E是圆管上与O等高的位置，AB是竖直直径，OC、OB的夹角为（为未知量）。一质量为m的小球（可视为质点）沿光滑水平面，以向左的速度经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B，接着在B点受到轻微的扰动从B到达C时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为g，不计空气阻力以及圆管粗细。下列说法正确的是（     ） A．圆弧轨道的半径为 B．的余弦值为 C．从E到B的过程中，小球的水平分速度先增大后减小 D．从E到B的过程中，小球受到的弹力先增大后减小 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 3．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的光滑圆弧轨道，其中轨道端切线水平，小物块通过半径光滑圆弧轨道后滑上与点等高、静止在粗糙水平面的长木板上。滑到点时，对圆弧轨道点的压力为。已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面之间的动摩擦因数，与竖直方向间的夹角，取,。求： (1)小物块在C点的速度大小； (2)A、B两点竖直高度； (3)若长木板长，小物块从木板最左端滑上木板，通过计算判断小物块能否从木板右端滑离木板？若不能，求小物块最终停止时距木板左端的距离？以及从滑上木板到停止运动的总时间？ 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 考点一遍过 1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 【例5】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。平板上有一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴NM拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，则倾角的最大值是多少？（重力加速度g取10m/s2） 1．（24-25高一下·四川甘孜·阶段检测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一长的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，小球通过最高点A时的最小速度为多大（）（     ） A．2m/s B．4m/s C．3m/s D． 2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0，测得细线拉力T的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示，图中F0已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球位于初始位置时的加速度大小为 B．小球通过最高点时速度大小为 C．小球通过最高点时速度大小为 D．小球通过最低点时速度大小为 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上有一长的轻杆，杆一端固定在O点的转轴上，可绕O点自由转动，另一端固定一质量为的小球，小球在斜面上做圆周运动，重力加速度取。小球恰能到达最高点A，则小球在最高点A时杆的弹力是（     ） A．0 N B．0.25 N C．0.5 N D．1 N 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $