第09讲 圆周运动（复习讲义）（江苏专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理讲义聚焦圆周运动高考核心考点，涵盖运动学性质、传动规律、动力学分析、实验探究及竖直面/水平面计算等内容，按命题趋势、知识框架、考点突破、真题感知逻辑架构知识体系，通过考向拆解、解题范式归纳、真题训练等环节，帮助学生系统构建圆周运动知识网络，突破临界问题等难点。 资料以情境化教学和模型建构为特色，如结合“旋转杯”“水油分离实验”设计新情境题，通过轻绳/杆模型对比培养科学思维，设置基础变式与能力提升分层练习，配合考情分析与得分速记策略，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第09讲 圆周运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知识点1 圆周运动的性质 考向1 圆周运动的性质 考向2 圆周运动传动 知识点2 圆周运动的动力学问题 考向1 向心加速度和向心力 考向2 常见的匀速圆周运动 考向3 离心运动和近心运动 知识点3 定量研究影响向心力大小的因素 考向1 圆周运动实验 考点二 圆周运动计算 知识点1 竖直面内圆周运动 重 考向1 轻绳模型/轨道模型 考向2 杆模型/管道模型 知识点2 水平面/斜面圆周运动 重 考向1 水平面内圆周问题 考向2 斜面圆周运动及临界问题 知识点3 圆周运动的周期性和多解问题 考向1 圆周运动周期性和解节问题 重 考向2 图像问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆周运动 江苏卷第1题，4分 第14题，5分 江苏卷4题,4分； 第15题，5分 江苏卷8题，4分；第11题，4分；第16题，8分 考情分析 题型与考向：24年以制作陶瓷和轻绳蜂鸣器为背景，选择题形式考察，16题考察带电粒子在磁场中的运动，计算题；25年以游乐场“旋转杯”为背景，考选择题，15题法拉第电磁感应定律，计算题；26年第1题考察带电粒子在磁场中的运动，选择题，14题以汽车过桥问题考计算题。 情境与立意：近3年圆周运动取材都有来自生活情境，也有常规考察带电粒子在磁场中的运动以及法拉第电磁感应定律。命题立意在于强调对运动本质的理解而非套用公式，引导学生从真实情境中建立物理模型，体现新课标对科学思维与物理观念核心素养的落实要求。 复习目标 1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。3.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。4.掌握分析判断临界问题的方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知识点1 圆周运动的性质 知●识●解●构 1.匀速圆周运动 (1)物体沿着圆周运动，线速度的大小处处相等。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2.描述圆周运动的物理量 3.圆周运动各物理量之间的关系 4.匀速圆周运动传动 项目 装置 特点 转动方向 规律 同轴转动 A、B两点在同轴的一个圆盘上 A、B两点角速度、周期相同 相同(填“相同”或“相反”) 线速度与半径成正比：＝ 皮带传动 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 A、B两点线速度大小相等 相同(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 齿轮传动 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数 A、B两点线速度大小相等 相反(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：＝＝ 周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：＝＝ 摩擦传动 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点 A、B两点线速度大小相等 相反(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 考●向●破●译✨得分速记 求解传动问题的思路 (1)分清传动特点：若属于皮带传动、齿轮传动或摩擦传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 考向1 圆周运动的性质 例1 （2026·江苏徐州·模拟预测）马年春晚舞蹈《喜雨》技惊四座，舞者头顶斗笠匀速转动时，下列图线中与斗笠边缘的一串串珠实际形态最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当斗笠匀速转动时，每一串串珠会随斗笠一起做匀速圆周运动（同轴转动，角速度相同）。串珠的向心力由重力和绳子拉力的合力提供，即（其中是绳子与竖直方向的夹角，r是串珠到转轴的水平距离） 解得 公式说明越靠下的串珠，圆周运动半径r越大，也越大，即越大。 故选B。 【变式训练1·变载体】（2026·江苏·模拟预测）在水平地面上匀速行驶的自行车前轮直径为0.625m，在行驶过程中的某一时刻，从前轮边缘最高点A处水平飞出一小石子，石子与前轮圆心O等高时二者相距2m，则石子落地时水平方向的位移为（取）（    ） A．m B．4m C．m D．8m 【答案】C 【详解】自行车匀速行驶，设前轮圆心对地速度为，车轮纯滚动时，前轮边缘最高点相对于圆心的线速度大小为，因此点的小石子飞出时相对地的初速度为 石子做平抛运动， 前轮直径，故半径 初始时在正上方，当石子与等高时，石子竖直下落距离 由自由落体公式 解得 此过程中，石子水平位移 圆心水平位移 此时二者等高，距离等于水平位移差，故 解得 因此石子平抛初速度 初始时点离地面高度 由平抛竖直方向规律 解得总下落时间 则总水平位移 故选C。 ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）一种叫“指尖陀螺”的玩具如图。当陀螺绕位于中心A的转轴旋转时，陀螺上B、C两点的周期、角速度及线速度的关系不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．、两点在同一个刚体上绕同一轴转动，属于同轴转动，角速度相等，根据周期公式 可知周期相等，即，故A正确； BD．由图可知，点离转轴的距离大于点离转轴的距离，即转动半径，根据线速度公式 由于相同，可知，即，故B正确，D错误； C．、两点同轴转动，角速度相同，即，故C正确。 本题选不正确的，故选D。 考向2 圆周运动传动 例2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）如图1所示为胶片电影放映机，放完电影后需要倒胶片。图2为倒胶片示意图，将胶片由轮b轮到轮a轮上，P、Q为图示时刻两轮边缘胶片上的两点，主动轮a轮转动的角速度不变，下列说法中正确的是（     ） A．相同时间内b轮的角速度也不变 B．倒到a轮上的胶片线速度越来越小 C．图示时刻P、Q两点的角速度ωP>ωQ D．图示时刻P、Q两点的向心加速度aP=aQ 【答案】C 【详解】A．根据同传送带传送可知，主动轮a、b轮转动的线速度相等，a轮转动的半径增大，边缘线速度变大，b轮转动的半径减小，边缘线速度的大小与a轮边缘线速度大小相等，根据可知，从动轮b轮转动的角速度增大，故A错误； B．主动轮a轮转动的角速度不变，胶片由b轮倒到a轮上，则其半径逐渐增大，根据可知，线速度增大，故B错误； C．图示时刻P、Q两点的线速度大小相等，根据可知ωP>ωQ，故C正确； D．根据向心加速度公式可知aP>aQ，故D错误； 故选C。 【变式训练1·变载体】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图为道闸及其内部控制横杆起落的减速器结构图，a、b、c是三组相同的轮，用皮带传动，每组轮都由两个共轴轮叠合而成，大轮半径是小轮半径的2倍｡在电动机的带动下，a轮转动的角速度为ω，则横杆随c轮共轴转动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】假设大轮半径是，小轮半径，则有， 根据，可得 同理可得 故有 则横杆随c轮共轴转动的角速度为 故选D。 ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）甲图为某一款发动机机械传动装置的示意图，可简化为乙图，连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使活塞在水平横杆上左右滑动。已知AB杆长为L，OB杆长为r，B点绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为，下列说法正确的是（     ） A．活塞做的是匀速直线运动 B．越大，活塞运动的范围越大 C．当时，活塞速度大小为 D．当时，活塞速度大小为 【答案】D 【详解】A．当B处于水平杆O点右侧时，B点速度垂直杆OB向上，活塞速度为零，所以活塞做变速运动，故A错误； B．活塞运动到最远点时，此时B点位于水平直径左端距离O为r的地方，活塞运动到最近点时，此时B点位于水平直径右端距O为r的位置上，由几何关系可知，当OB距离不变时，活塞运动范围为2r，与杆的长度L无关，故B错误； C．当OB⊥AB时，此时B点的速度沿杆方向，大小为 设此时与之间的夹角为，则 活塞沿水平方向运动，将速度分解为沿杆方向和垂直杆方向，则沿杆方向的速度与B点沿杆方向的速度等大，则 联立，解得，故C错误； D．当OB⊥OA时，设此时与之间的夹角为，根据沿杆方向的分速度相等，可知 解得，故D正确。 故选D。 知识点2 圆周运动的动力学问题 知●识●解●构 1.向心力 (1)作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小：Fn=m=mrω2=mr=mωv。 (3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.常见匀速圆周运动模型⚠特别提醒 圆周运动中向心力与合力的关系 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 圆锥摆 水平转台(光滑) 飞车走壁 洗衣机转筒 火车转弯 3.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)离心运动的本质：并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 4．变速圆周运动 (1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。 (2)某一点的向心力仍可用向心力公式：Fn＝＝mω2r求解。 5.一般曲线运动的处理方法 (1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。 ①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大。 ②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。 ✨得分速记 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。 5．解方程求出待求物理量。 考●向●破●译 考向1 向心加速度和向心力 例3 （25-26高三上·江苏常州·期末）水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道。现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 【答案】D 【详解】由题图可知，1、2板处小球需指向2的向心力，必须1板给予弹力；3、4板处小球需指向3的向心力，必须4给予弹力（3板给的支持力指向凸侧，不满足运动需求）；5、6板处小球需指向6的向心力，需5板给予弹力，故可以取走的是2、3、6板。 故选D。 【变式训练1·变考法】（25-26高二上·江苏连云港·学业考试模拟）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则小球的向心力（     ） A．由重力提供 B．由支持力提供 C．由重力和支持力的合力提供 D．始终不变 【答案】C 【详解】小球在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和内壁的支持力两个力作用，其合力方向沿水平方向指向圆心，提供小球做圆周运动的向心力。 故选C。 ▶新情境◀【变式训练2·变考法】（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图甲所示，翻滚过山车越高速度越慢、越低速度越快。小明所坐的过山车正在上行中，小明位置的简化图如图乙所示，则小明此时所做的运动性质、所受合力的可能方向为（　　） A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向 C．减速圆周运动、沿方向 D．加速圆周运动、沿方向 【答案】C 【详解】该同学所坐的翻滚过山车正在上行中，根据题意他正在做减速圆周运动，合力切向的分力应与速度方向相反，使速度减小，所以合力沿方向。 故选C。 ▶新情境◀【变式训练3·时事热点与学科知识结合】（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）中国航天员在空间站太空舱内演示了“水油分离”实验如图所示，瓶子中装有水和油混合物，用细绳系住瓶口，航天员手持细绳的另一端，使瓶子做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．空间站内完全失重状态，绳子的张力等于零 B．某时刻断开细绳，瓶子仍能继续做圆周运动 C．瓶子要做完整圆周运动，其速度必须大于某一值 D．一段时间后密度大的水将聚集在瓶子底部的位置 【答案】D 【详解】AC．瓶子所受万有引力全部用来提供围绕地球做圆周运动的向心力，瓶子在空间站中处于完全失重状态，瓶子在空间站内做圆周运动的向心力由绳子的拉力提供，故无论瓶子速度多大都能通过圆周的最高点，故AC错误； B．航天员在某时刻断开绳子，以空间站为参考系，瓶子所受合力为零，故瓶子将做匀速直线运动，故B错误； D．根据 密度大的物质所需向心力越大，越容易发生离心现象而沉积在瓶子底部，一段时间后密度大的水将聚集在瓶子底部的位置，故D正确。 故选D。 考向2 常见的匀速圆周运动 例4（25-26高一下·江苏南京·期末）如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 【答案】D 【详解】A．小球做匀速圆周运动，则所受到的合外力不为0，A错误； B．小球受到细绳的拉力和重力的合力提供向心力，使小球偏离竖直位置，B错误； C．小球做圆周运动的向心力为，C错误； D．根据，可得 则缓慢增大时，也逐渐变大，D正确。 故选D。 【变式训练1·变考法】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球P在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球P改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），金属块Q在桌面上始终保持静止。后一种情况与原来相比较，不计小孔与绳的摩擦，下面的判断中正确的是（　　） A．细线张力变小 B．小球P运动的角速度变大 C．金属块Q受到桌面的静摩擦力变大 D．金属块Q受到桌面的支持力变大 【答案】A 【详解】ABC．设桌面下方细线与竖直方向的夹角为θ、拉力大小为FT、长度为L。P球做匀速圆周运动时，由重力和细线拉力的合力提供向心力，如图所示 则有 根据牛顿第二定律，有mgtan θ=mω2Lsin θ 解得角速度ω= 使小球改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ减小，cos θ增大，则细线拉力FT减小，角速度减小，对Q由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力变小，故A正确，BC错误； D．金属块 Q 在桌面上始终保持静止，对Q进行分析有 可知，金属块 Q 受到桌面的支持力不变，故D错误。 故选A。 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω>ω'，则以下描述 运动时相比匀速转动时（     ） A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球合外力的大小一定变大 【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为，对小球，在竖直方向上，根据平衡条件有 根据胡克定律，可得弹力 可知为定值，T不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，故AB错误； C．在水平方向上，当转速较小时，杆对小球的弹力背离转轴，根据牛顿第二定律有 解得 当转速较大时，指向转轴，根据牛顿第二定律有 解得 因ω>ω'，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，故C错误； D．根据牛顿第二定律有 可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，故D正确。 故选D。 考向3 离心运动和近心运动 例5 （25-26高一下·江苏南京·期末）2026年3月29日，中国制造商张雪机车的赛车夺得冠军。这是中国摩托车品牌首次打破日本和欧洲品牌在该赛事中长达数十年的垄断，创造了历史。比赛中，若车手驾驶赛车通过一水平弯道时，采取了“压弯”技巧，车身与地面形成一定倾角，关于此过程，下列说法正确的是（     ） A．赛车匀速率过弯时，合外力不做功 B．赛车匀速率转弯时加速度为0 C．赛车受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 D．若保持车身倾角不变，过弯速率突然增大，则车做近心运动 【答案】A 【详解】A．赛车匀速率过弯时，因动能不变，则合外力不做功，A正确； B．赛车匀速率转弯时，因做曲线运动，则加速度不为0，B错误； C．赛车受到重力、支持力、摩擦力的作用，三个力的合力充当向心力，C错误； D．若保持车身倾角不变，过弯速率突然增大，则合力不足以提供做圆周运动的向心力，则车做离心运动，D错误。 故选A。 【变式训练1·变考法】（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，则（　　） A．衣物在最高点A时脱水效果最好 B．匀速转动过程中衣物受到的合力做功为零 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 【答案】B 【详解】AD．对衣物分析，若衣物受到筒壁的作用力为N，那么在A点有 在B点有 由以上两式可知N2＞N1。衣物在其他位置时，作用力的值在N1和N2之间，所以衣物在最低点B时脱水效果最好，故AD错误； B．匀速转动过程中衣物的动能不变，根据动能定理可知，受到的合力做功为零，B正确； C．衣物在A、B两点时的加速度大小相同，但方向相反，C错误。 故选B。 【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（24-25高一下·江苏无锡·期中）2022年3月23日，航天员王亚平、叶光富在中国空间站开设“天宫课堂”，课堂中演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳一端系住装有水和油的瓶子，叶光富手持细绳另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，已知水的密度大于油的密度。在飞船参考系中，下列说法正确的是（    ） A．只有瓶子速度大于一定值（不为0）才能通过圆周运动的最高点 B．瓶子的角速度一定时，油和水分离的难易程度与绳长有关 C．油水分离后，油在外侧，水在内侧 D．瓶子的角速度一定时，油水分离过程中，绳子张力大小不变 【答案】B 【详解】A．瓶子所受万有引力全部用来提供围绕地球做圆周运动的向心力，瓶子在空间站中处于完全失重状态，瓶子在空间站内做圆周运动的向心力由绳子拉力提供，无论瓶子速度多大都能做完整的圆周运动，故A错误； B．根据，可知瓶子的角速度一定，绳子越长，所需向心力越大，油和水越容易分离，故B正确； C．水的密度大于油的密度，在混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液体小球，水球的质量大，根据可知，水球需要的向心力更大，故当向心力不足时，水球更容易做离心运动水会向瓶底移动，圆周运动让试管里的水和油产生了离心现象，密度较大的水将集中于外部，故C错误； D．根据，可知瓶子的角速度一定时，油水分离过程中，绳子张力大小发生变化，故D错误。 故选B。 知识点3 定量研究影响向心力大小的因素 知●识●解●构 1．实验器材及原理 (1)匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3匀速转动，思考通过两变速塔轮控制两侧圆周运动角速度的原理； (2)两塔轮分别与长槽4和短槽5同轴转动，槽内的小球转动角速度关系如何判定？ (3)小球做匀速圆周运动的向心力由谁提供？ 考●向●破●译 考向1 圆周运动实验 例6 （2026·江苏泰州·三模）某同学利用如图甲所示的装置来完成“用单摆测量重力加速度”实验，其部分实验步骤如下： ①取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小球，另一端用夹子固定在铁架台上； ②用毫米刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，求出摆长l； ③将小球拉离平衡位置一较小角度后由静止释放，用停表记录单摆做N次全振动的时间t，计算出周期T； ④改变细线长度，多次重复实验，测得多组摆长l与对应的周期T的数据，并在坐标纸上作出l-T2的图像如图丙所示。 回答下列问题： (1)有四名同学的仪器安装与操作过程如下列四幅图所示，其中正确的是（　　） A． B． C． D． (2)该班级还有几名同学实验操作过程中有以下几种做法，其中正确的是（　　） A．测量单摆周期时，摆球在经过最低点时开始计时 B．测量单摆周期时，摆球每经过最低点一次计为一个周期 C．测量单摆摆长时，将小球用摆线悬挂起来，用米尺测量悬挂点到摆球上端点间的长度计为摆长 (3)由图乙可读出小球的直径D=___________mm； (4)由图丙可得重力加速度g=___________m/s2（结果保留三位有效数字）； (5)某次实验中，小球没有严格在同一竖直平面内运动，由此求出的重力加速度数值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】(1)D(2)A(3)18.85(4)9.86(5)偏大 【详解】（1）A．图中单摆的最大摆角为，摆角过大，不能近似满足单摆周期公式，故A错误； B．图中沿切向推动摆球，使摆球具有初速度，摆球应从较小偏角处由静止释放，故B错误； C．图中摆球做圆锥摆，没有在同一竖直平面内往复摆动，故C错误； D．悬点固定，摆角较小，摆球由静止释放并在同一竖直平面内摆动，故D正确。 故选D。 （2）A．摆球经过最低点时速度最大，位置容易准确判断，在最低点开始和停止计时可减小计时误差，故A正确； B．摆球在一个周期内两次经过最低点，相邻两次经过最低点所用时间为，只有同方向连续两次经过最低点才对应一个周期，故B错误； C．单摆的摆长是悬点到摆球球心的距离，设摆线长为，摆球直径为，则摆长为，悬点到摆球上端点的距离仅为摆线长，故C错误； 故选A。 （3）游标卡尺上有20个分度，其分度值为 设主尺读数为，与主尺对齐的游标刻线序号为，则直径为 由图可知，游标卡尺第17条刻线与主尺刻线对齐，代入解得 换算为国际单位制有。 （4）在图像中，斜率为 根据单摆周期公式有 整理得 比较图像斜率解得 由图线取点，解得 代入最终表达式解得 （5）小球没有严格在同一竖直平面内运动时，会出现绕竖直方向运动的分量，可近似看成圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹角为，摆球做圆周运动的角速度为、半径为，根据竖直方向平衡和水平方向向心力公式分别有， 又有 联立解得 圆锥摆的周期为 由于，故测得的周期小于相同摆长单摆的周期，按单摆公式计算得到 因此测得的重力加速度偏大。 【变式训练1·变考法】（25-26高二上·浙江杭州·期末）用如图甲所示的实验装置来探究向心力F的大小与质量m、角速度和半径r之间的关系。转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。挡板对球的支持力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力计下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为，图甲中左右两侧的变速轮塔从上到下都有三层，每层左右半径之比分别为、和，传送带从上到下一共有三种放置方式，分别是第一层、第二层、第三层。 (1)为了研究向心力F大小与质量m之间的关系，选用体积相同质量不相等的钢球和铝球对照研究，将选好的铝球放到短槽C处，钢球应该放在长槽________（选填“A”或“B”）处；这时应该调整皮带，将其放置在第________层组装变速轮塔； (2)在探究向心力F与角速度的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为________ A． B． C． D． (3)为验证做匀速圆周运动物体的向心力的定量表达式，实验组内某同学设计了如图乙所示的实验装置，电动机带动转轴匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中AB是固定在竖直转轴上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。 实验步骤： ①测出挡光片与转轴的距离为L； ②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为r； ③启动电动机，使凹槽AB绕转轴匀速转动； ④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间。 （a）小钢球转动的角速度________（用L、d、表示）； （b）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出图像如图丙所示，若忽略小钢球所受摩擦且小钢球球心与转轴的距离为，则小钢球的质量________kg（结果保留两位有效数字）。 【答案】(1) A 一(2)B(3) 0.45 【详解】（1）[1][2]根据控制变量法的原理可知，为了研究向心力大小与质量之间的关系，则两球运动的半径和角速度要相同，故将选好的铝球放到短槽C处，钢球应该放在长槽A处；两变速轮塔通过皮带传动，故线速度相同，所以要保证两小球的角速度相同，则两变速轮塔转动的半径要相同，故调整皮带时应将其放置在第一层组装变速轮塔 （2）在探究向心力与角速度的关系时，则小球的质量和半径相同，由题知，图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则角速度之比为1:3，两变速轮塔通过皮带传动，故线速度相同，根据 可知与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比与角速度成反比，即为3:1。 故选B。 （3）[1]由题可知线速度为 根据 联立解得 [2]根据向心力公式 可知图像的斜率为 解得 【变式训练2·变考法】（2026·江苏南通·三模）某实验小组利用智能手机及力传感器，探究圆周运动的向心力大小与质量、角速度及轨道半径的关系。实验装置如图甲所示，将手机放在水平粗糙转台边缘，不可伸长的细线一端连接手机，另一端连在固定在竖直转轴上的力传感器上，测得细线伸直时的长度为L。 (1)本实验用到的物理学研究方法是 。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)打开手机的角速度测量功能，让装置在电机带动下绕轴匀速转动，记录角速度和力传感器示数；改变电机转速，记录多组和对应的数据，作出的关系图像如图乙所示，根据图像________（选填“能”或“不能”）说明向心力与成正比，图像纵截距的绝对值表示 ________。 (3)该实验还能粗略测量手机的质量，若图乙中图像的斜率为，则手机质量 ________ （用 、表示）。 (4)上述方案中手机质量的测量值________真实值（选填“大于”、“等于”、“小于”），理由 ________。 【答案】(1)C(2) 能 手机与转台间最大静摩擦力的大小(3)(4) 大于 细线长度小于手机做圆周运动的半径 【详解】（1）探究向心力大小与多个物理量（质量、角速度、轨道半径）的关系时，需要控制部分变量不变，研究向心力与单个变量的关系，该方法是控制变量法。 故选C。 （2）[1][2]对手机受力分析，向心力由细线拉力和转台的静摩擦力共同提供，设静摩擦力大小为（方向始终指向圆心，当拉力不为零时，静摩擦力已达最大，大小恒定），可得 整理得 可知与为线性关系，说明向心力 因此可以说明向心力与成正比，图像纵截距为，其绝对值就是手机受到转台的静摩擦力大小。 （3）由可知， 图像的斜率 因此解得手机质量 （4）[1][2]由于细线伸直时的长度并非手机做圆周运动的半径，满足 故图像的斜率用进行计算时，代入的小于真实的圆周半径，导致手机质量的测量值，故手机质量的测量值大于真实值。 考点二 圆周运动计算 知识点1 竖直面内圆周运动 知●识●解●构 一、轻绳(过山车)模型 如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 二、轻杆(管道)模型 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2．小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 考●向●破●译✨得分速记 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 考向1 轻绳模型/轨道模型 例7 （24-25高一下·江苏徐州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑圆弧轨道，半径OA水平、OB和OC竖直。质量为m，可视为质点的滑块从A的正上方P点由静止下落，在A点内侧进入轨道后，到达轨道的最高点B，若重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．物体运动到B点时速度大小一定等于 B．物体从B点飞出后，一定落在圆弧轨道外侧 C．物体在B、C两点对轨道的压力差∆F与h有关，h越大，∆F越大 D．h最小值为R 【答案】B 【详解】A．物体运动到B点时，如果重力刚好提供向心力，则物体经过B点具有最小速度，根据牛顿第二定律可得 解得 即物体运动到B点时速度，故A错误； B．物体从B点飞出后做平抛运动，则有， 联立解得 可知物体从B点飞出后，一定落在圆弧轨道外侧，故B正确； C．设物体在B、C两点受到轨道的支持力大小为FB，FC，根据牛顿第二定律可得， 根据机械能守恒可得 由牛顿第三定律，可知物体在B、C两点对轨道的压力大小为， 联立可得 可知物体在B、C两点对轨道的压力差恒定与h无关，故C错误； D．物体从P点到B点的过程，根据动能定理可得 解得，故D错误。 故选B。 【变式训练1·变考法】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，接触点A点与地面相切，轨道的半径为R。一个光滑的质量为m的小球，以某一初速度从轨道A点冲上半圆形轨道，最终落回地面上，不考虑小球的反弹，重力加速度为g ，求： (1)若小球恰能到达轨道最高点B，求小球在A点初速度的大小； (2)若小球在A点的初速度为，求小球在与圆心等高点C对轨道的压力大小； (3)若小球在A点的初速度为，求小球落回地面前，距地面的最大高度H 。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球恰能到达轨道最高点B，则 从最高点到最低点满足机械能守恒定律，则 小球在A点初速度的大小 （2）小球到达与圆心等高点C的过程中，由机械能守恒 则由牛顿第二定律 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为 （3）设小球脱离轨道时的位置与圆心连线与竖直方向的夹角为θ，则 由机械能守恒定律 解得 脱离轨道后做斜抛运动，还能上升的高度为 则距地面的最大高度 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，一个质量为m的小球通过长为L的轻绳与悬点O连接。初始时刻，将小球从水平位置A点由静止释放，到达最低点B时速度为，绳恰好断裂。已知B点到水平地面的距离为L，，重力加速度为g。 (1)求小球落地点距B点的水平位移大小x； (2)求轻绳能承受的最大拉力大小； (3)若将小球从A处以一定初速度竖直下抛，当其运动到C处时绳子恰好断裂，此时绳与竖直方向夹角为，求从此时起经时间t小球距地面的高度H（小球未落地）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）绳恰好断裂后小球做平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则根据自由落体运动的位移公式有 解得小球从点落到地面的时间为 又因为小球水平方向做的是匀速直线运动，则有 解得小球落地点距B点的水平位移大小为 （2）对小球在B点时进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得轻绳能承受的最大拉力大小为 （3）对小球在C点进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 C点距地面的高度为 对小球在C点的速度进行分解，如图所示： 可得 小球离开C点后在竖直方向做匀加速直线运动，则根据匀变速直线运动的位移公式可知，小球下落的距离为 所以从绳子断裂时起经时间t小球距地面的高度为 考向2 杆模型/管道模型 例8 （25-26高一下·江苏·期中）竖直放置的四分之三圆管半径为R，在管口A正上方3R处由静止释放一质量为m的小球，小球落入管中并从C点飞出后，恰好又落回到A点，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球（　　） A．通过C点时的速度大小为 B．克服圆管的摩擦力做功为 C．通过C点时对圆管的压力大小为mg，方向竖直向下 D．通过C点时对圆管的压力大小为，方向竖直向上 【答案】B 【详解】A．小球通过点后做平抛运动，则， 解得通过C点时的速度大小为，故A错误； B．根据动能定理 解得小球克服圆管的摩擦力做功为，故B正确； CD．假设小球通过点时管壁对小球有向上的支持力，则 可得，假设成立，根据牛顿第三定律，此时小球对圆管的压力大小为，方向竖直向下，故CD错误。 故选B。 【变式训练1·变考法】（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做半径为的圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线，已知重力加速度为g。则小球（　　） A．经最高点的最小速度为 B．经最高点的速度越大，对管壁的弹力一定越大 C．在ab上方运动时，对内侧管壁可能有作用力 D．在ab下方运动时，对内侧管壁可能有作用力 【答案】C 【详解】AB．在最高点，当速度时，内壁对小球有支持力，根据牛顿第二定律可得，解得 当速度越大时，支持力越小，结合牛顿第三定律可知，对管壁的弹力越小。 当时，速度有最小值0，故AB错误； C．小球在过圆心的水平线上方运动时，小球的速度如果比较小，靠重力和内侧管壁的支持力提供向心力，C正确； D．在下方运动时，受到的向心力指向圆心，而重力沿半径方向的分力背离圆心，故小球还必须受到外壁的支持力，对内侧管壁没有作用力，D错误。 故选C。 【变式训练2·变考法】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的水平距离是多少？ 【答案】 【详解】球A在最高点C由牛顿第二定律有 球B在最高点C由牛顿第二定律有 解得， 小球离开最高点后做平抛运动，由平抛运动知识有，， 联立解得球A、B落地点间的水平距离为 知识点2 水平面/斜面圆周运动 知●识●解●构 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 ⚠特别提醒 与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm=，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3.斜面上圆周运动 （1）特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 （2）方法：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 考●向●破●译 考向1 水平面内圆周问题 例9（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，绕竖直轴转动的水平圆盘上放有物块A、B、C，质量分别为m、2m、2m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知B、C与圆盘间的动摩擦因数均为μ，A、B间动摩擦因数为2μ。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始缓慢加速，且均未发生相对滑动，则下列说法不正确的是（　　） A．当角速度时，细线开始出现拉力 B．当角速度时，圆盘对B的摩擦力为 C．当A、B间的摩擦力达到最大时，角速度 D．当圆盘对C的摩擦力为0时，角速度 【答案】D 【详解】A．对AB整体，由牛顿第二定律 解得 对C由牛顿第二定律 解得 因为，所以当角速度时，细线开始出现拉力，故A正确； BC．当A、B间的摩擦力达到最大时，对A由牛顿第二定律 解得A、B刚要滑动时的角速度为 因为 所以当角速度时，圆盘对B的摩擦力为 故BC正确； D．当圆盘对C的摩擦力为0时，假设AB间不发生滑动，对AB整体，由牛顿第二定律 对C由牛顿第二定律 联立可得 假设成立，故D错误。 本题选错误的，故选D。 【变式训练1·变考法】（25-26高三上·江苏·阶段检测）A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心在转轴上，两环始终在同一竖直面内，当两环绕竖直轴匀速转动后，套在两环上的a、b两小环最终稳定在环上的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．小环在圆环上由支持力与重力的合力提供向心力，有 其中 解得，h是小环到圆环圆心的竖直距离 两圆环绕竖直轴匀速转动，则角速度相等，根据公式可知，h也应该相同，故A不可能，B可能； CD．当，即小环b位于最低点时，小环b的角速度达到最小值 当，即小环a位于最低点时，小环a的角速度达到最小值 则当时，稳定后将会出现图C中情形， 当时，稳定后将会出现图D中情形，故CD可能。 该题选不可能选项，故选A。 【变式训练2·新情境】（25-26高一上·江苏无锡·期末）三百六十行，行行出状元。最近一段服务员快速摆餐盘的视频火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，增大转盘转动角速度，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为r，忽略空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．餐盘质量越大，从转盘边缘飞出时速度越小 B．餐盘落到餐桌上瞬间的速度大小为 C．转盘加速转动过程中，餐盘受到的摩擦力始终指向转盘中心 D．落到餐桌上的餐盘到转盘中心的水平距离为 【答案】D 【详解】A．当餐盘要从转盘边缘飞出时，有 可知飞出的速度与餐盘的质量无关，故A错误； B．餐盘飞出时做平抛运动，根据动能定理有 代入数据后可得落到餐桌上的速度为，故B错误； C．转盘在加速的过程中，餐盘受到的摩擦力要提供指向圆心的向心加速度使餐盘一起做圆周运动，同时在切线方向上提供切向加速度使餐盘的速率增大，故摩擦力方向不指向圆心。故C错误； D．餐盘抛出后做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上位移大小为 所以离圆心的距离为，故D正确。 故选D。 考向2 斜面圆周运动及临界问题 例10 （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大 D．倾斜圆盘角速度的最大值为5rad/s 【答案】A 【详解】A．物块在最高点时，重力沿盘面向下的分力 最大静摩擦力 物块随圆盘做匀速圆周运动，最容易发生相对滑动的位置在最低点。在最低点，摩擦力指向圆心，重力分力背离圆心，由牛顿第二定律得 当时角速度最大，即 解得 在最高点，重力分力指向圆心，由于 故摩擦力方向沿盘面向上，当最大时，最小，即 解得摩擦力最小值为，故A正确； B．物块做匀速圆周运动，合外力指向圆心。除最高点和最低点外，重力沿盘面的分力有切向分量，摩擦力必须有切向分量与之平衡，故摩擦力方向不始终指向圆心，故B错误； C．由A项分析可知，在最高点 在允许的运动范围内，越大，越小，故C错误； D．由A项分析可知，圆盘角速度的最大值由最低点决定，满足N 解得，故D错误。 故选A。 【变式训练1·变考法】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图，水平轻杆的左端通过光滑铰链固定在竖直转轴上，右端固定一个小球，小球通过轻绳与转轴上的O点连接。现通过转轴带动小球由静止开始极其缓慢加速做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．随角速度增大，杆对球的弹力越来越大 B．随角速度增大，杆对球的弹力先变小后变大 C．随角速度增大，轻绳拉力逐渐变小 D．随角速度增大，轻绳拉力逐渐变大 【答案】B 【详解】AB．对小球进行受力分析，小球受到重力、轻绳的拉力和杆的弹力。 在竖直方向上，小球受力平衡，有 由于杆水平，绳长、杆长及点位置固定，几何结构不变，夹角保持不变，因此轻绳拉力保持不变。 在水平方向上，小球做圆周运动，合力提供向心力。设杆对球的弹力指向圆心（水平向左）为正方向，根据牛顿第二定律有 解得 当时， 负号表示杆对球的弹力方向背离圆心（水平向右，为支持力），大小为 随着角速度增大，增大，的代数值逐渐增大。即杆对球的弹力先表现为支持力，大小随增大而减小；当 弹力为零；随后表现为拉力，大小随增大而增大。所以，杆对球的弹力先变小后变大。故A错误，B正确。 CD．由竖直方向平衡方程 可知，随角速度增大，不变，则轻绳拉力大小不变。故C、D错误。 故选B。 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏常州·期末）我国高速铁路运营里程居世界首位。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v0转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、轨道的支持力和向心力 B．火车以速度小于v0时，车轮轮缘受到内轨的侧向压力 C．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 D．当火车上乘客增多时，若列车仍以v0的速度通过该圆弧轨道，内轨会受到轮缘的侧向挤压 【答案】B 【详解】A．向心力是效果力，火车不受向心力，即火车转弯时受到重力、轨道的支持力，故A错误； D．火车以速度v0转弯时，对火车受力分析，如图所示 根据牛顿第二定律可得 解得 可知规定行驶的速度与质量无关，当火车质量改变时，规定的行驶速度不变，故D错误； C．当火车以规定的行驶速度v0转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，效果最好，故C错误； B．火车转弯速度小于时，内轨对车轮轮缘有压力，故B正确。 故选B。 考向3 图像问题 例11 （25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（     ） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，当时，小球速度为零，向心力为零，杆对小球的支持力与重力平衡，即 当时，，此时重力完全提供向心力，根据牛顿第二定律有 联立解得，故A错误； B．由 可得当地重力加速度大小，故B错误； C．当时，由图可知，此时 重力不足以提供向心力，杆对小球表现为拉力，方向向下，故C错误； D．当时，，杆对小球表现为拉力，根据牛顿第二定律有 又因为 联立解得 即小球受到的弹力大小与重力大小相等，故D正确。 故选D。 【变式训练1·变考法】（2026·江苏·二模）如图所示，一小球从固定的四分之一光滑圆弧顶端静止释放，从释放到最低点的过程中，小球的向心加速度与时间t的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向心加速度的定义为其中R是圆弧半径，恒定不变，因此的变化规律和完全一致。 小球下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有其中 为小球所在位置与水平方向的夹角，从 0 到 90°）可得 代入向心加速度公式 所以随增大而增大，在最低点时最大，这一点四个选项都满足。 进一步分析与时间t的关系图像的斜率，对求导 其中是角速度，又因、 可得 当时，代入可得斜率为 0。 下滑过程中：一开始很小，但很小，斜率小；随着增大，快速增大，斜率快速变大（图像变陡）。 接近最低点时，接近 90°，趋近于 0，虽然最大，但趋近于 0，所以斜率会变小（图像变缓）。 因此，小球的向心加速度与时间t的关系图像的斜率是先增大、后减小。 故选D。 【变式训练2·变考法】（25-26高一下·江苏淮安·期末）如图甲所示，长的水平轨道与半径的竖直光滑半圆轨道在处平滑连接，为该半圆轨道圆心，点与圆心等高，点在圆心的正上方。在水平向右的外力作用下，质量的滑块（可视为质点）从处由静止开始沿向右运动，外力与滑块位移的关系图像如图乙所示，滑块到达点时撤去外力，接着沿半圆轨道内侧上滑，恰好到点时与轨道脱离，在空中运动。已知与间的夹角为，，，取，轨道均固定，不计空气阻力。求滑块： (1)从到过程，水平外力对它做的功； (2)经点时，对圆轨道的压力大小； (3)运动至最高点时，与点间的高度差。 【答案】(1)28J (2) (3) 【详解】（1）图像的面积表示外力做功 由图乙可得 （2）滑块在D点脱离轨道，轨道弹力为0，重力沿半径方向分力提供向心力 解得 B 到 D 机械能守恒 由几何关系可得 解得 滑块在B点，根据牛顿第二定律 解得。 由牛顿第三定律，滑块对轨道的压力 （3）D点速度沿切线方向，由几何关系得竖直分速度 ，滑块从D到斜抛最高点，竖直方向上升高度： D点相对B点的高度： 因此最高点相对B点的高度差 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 2．（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【详解】根据题意可知跳绳的转动角速度为 故每分钟跳绳的圈数为 故选C。 3．（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度与M在竖直方向的分速度大小相等， 设M做匀速圆周运动的角速度为，半径为r，其竖直方向分速度 即 则D正确，ABC错误。 故选D。 4．（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 【答案】B 【详解】A．A点运动为A点绕的圆周运动和相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误； B．根据题意固定在底盘上，故可知围绕O点做匀速圆周运动，故B正确； CD．杯上A点与、恰好在同一条直线上且在延长线上时，点和点运动运动方向相同，又A点相对点做圆周运动，故此时A的速度大于的速度，故CD错误。 故选B。 5．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 【答案】D 【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定，故为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内。故ABC错误，故D正确。 故选D。 6．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为，根据胡克定律有 插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力 对卷轴有 联立解得 故选A。 7．（2024·吉林·高考真题）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 【答案】D 【详解】D．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确； A．由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为 故A错误； B．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为 故B错误； C．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为 故C错误。 故选D。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 圆周运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知识点1 圆周运动的性质 考向1 圆周运动的性质 考向2 圆周运动传动 知识点2 圆周运动的动力学问题 考向1 向心加速度和向心力 考向2 常见的匀速圆周运动 考向3 离心运动和近心运动 知识点3 定量研究影响向心力大小的因素 考向1 圆周运动实验 考点二 圆周运动计算 知识点1 竖直面内圆周运动 重 考向1 轻绳模型/轨道模型 考向2 杆模型/管道模型 知识点2 水平面/斜面圆周运动 重 考向1 水平面内圆周问题 考向2 斜面圆周运动及临界问题 知识点3 圆周运动的周期性和多解问题 考向1 圆周运动周期性和解节问题 重 考向2 图像问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆周运动 江苏卷第1题，4分 第14题，5分 江苏卷4题,4分； 第15题，5分 江苏卷8题，4分；第11题，4分；第16题，8分 考情分析 题型与考向：24年以制作陶瓷和轻绳蜂鸣器为背景，选择题形式考察，16题考察带电粒子在磁场中的运动，计算题；25年以游乐场“旋转杯”为背景，考选择题，15题法拉第电磁感应定律，计算题；26年第1题考察带电粒子在磁场中的运动，选择题，14题以汽车过桥问题考计算题。 情境与立意：近3年圆周运动取材都有来自生活情境，也有常规考察带电粒子在磁场中的运动以及法拉第电磁感应定律。命题立意在于强调对运动本质的理解而非套用公式，引导学生从真实情境中建立物理模型，体现新课标对科学思维与物理观念核心素养的落实要求。 复习目标 1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。3.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。4.掌握分析判断临界问题的方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知识点1 圆周运动的性质 知●识●解●构 1.匀速圆周运动 (1)物体沿着圆周运动，线速度的大小处处相等。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2.描述圆周运动的物理量 3.圆周运动各物理量之间的关系 4.匀速圆周运动传动 项目 装置 特点 转动方向 规律 同轴转动 A、B两点在同轴的一个圆盘上 A、B两点角速度、周期相同 相同(填“相同”或“相反”) 线速度与半径成正比：＝ 皮带传动 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 A、B两点线速度大小相等 相同(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 齿轮传动 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数 A、B两点线速度大小相等 相反(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：＝＝ 周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：＝＝ 摩擦传动 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点 A、B两点线速度大小相等 相反(填“相同”或“相反”) 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 考●向●破●译✨得分速记 求解传动问题的思路 (1)分清传动特点：若属于皮带传动、齿轮传动或摩擦传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 考向1 圆周运动的性质 例1 （2026·江苏徐州·模拟预测）马年春晚舞蹈《喜雨》技惊四座，舞者头顶斗笠匀速转动时，下列图线中与斗笠边缘的一串串珠实际形态最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】（2026·江苏·模拟预测）在水平地面上匀速行驶的自行车前轮直径为0.625m，在行驶过程中的某一时刻，从前轮边缘最高点A处水平飞出一小石子，石子与前轮圆心O等高时二者相距2m，则石子落地时水平方向的位移为（取）（    ） A．m B．4m C．m D．8m ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）一种叫“指尖陀螺”的玩具如图。当陀螺绕位于中心A的转轴旋转时，陀螺上B、C两点的周期、角速度及线速度的关系不正确的是（     ） A． B． C． D． 考向2 圆周运动传动 例2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）如图1所示为胶片电影放映机，放完电影后需要倒胶片。图2为倒胶片示意图，将胶片由轮b轮到轮a轮上，P、Q为图示时刻两轮边缘胶片上的两点，主动轮a轮转动的角速度不变，下列说法中正确的是（     ） A．相同时间内b轮的角速度也不变 B．倒到a轮上的胶片线速度越来越小 C．图示时刻P、Q两点的角速度ωP>ωQ D．图示时刻P、Q两点的向心加速度aP=aQ 【变式训练1·变载体】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图为道闸及其内部控制横杆起落的减速器结构图，a、b、c是三组相同的轮，用皮带传动，每组轮都由两个共轴轮叠合而成，大轮半径是小轮半径的2倍｡在电动机的带动下，a轮转动的角速度为ω，则横杆随c轮共轴转动的角速度为（　　） A． B． C． D． ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）甲图为某一款发动机机械传动装置的示意图，可简化为乙图，连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使活塞在水平横杆上左右滑动。已知AB杆长为L，OB杆长为r，B点绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为，下列说法正确的是（     ） A．活塞做的是匀速直线运动 B．越大，活塞运动的范围越大 C．当时，活塞速度大小为 D．当时，活塞速度大小为 知识点2 圆周运动的动力学问题 知●识●解●构 1.向心力 (1)作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小：Fn=m=mrω2=mr=mωv。 (3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.常见匀速圆周运动模型⚠特别提醒 圆周运动中向心力与合力的关系 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 圆锥摆 水平转台(光滑) 飞车走壁 洗衣机转筒 火车转弯 3.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)离心运动的本质：并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 4．变速圆周运动 (1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。 (2)某一点的向心力仍可用向心力公式：Fn＝＝mω2r求解。 5.一般曲线运动的处理方法 (1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。 ①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大。 ②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。 ✨得分速记 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。 5．解方程求出待求物理量。 考●向●破●译 考向1 向心加速度和向心力 例3 （25-26高三上·江苏常州·期末）水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道。现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 【变式训练1·变考法】（25-26高二上·江苏连云港·学业考试模拟）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则小球的向心力（     ） A．由重力提供 B．由支持力提供 C．由重力和支持力的合力提供 D．始终不变 ▶新情境◀【变式训练2·变考法】（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图甲所示，翻滚过山车越高速度越慢、越低速度越快。小明所坐的过山车正在上行中，小明位置的简化图如图乙所示，则小明此时所做的运动性质、所受合力的可能方向为（　　） A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向 C．减速圆周运动、沿方向 D．加速圆周运动、沿方向 ▶新情境◀【变式训练3·时事热点与学科知识结合】（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）中国航天员在空间站太空舱内演示了“水油分离”实验如图所示，瓶子中装有水和油混合物，用细绳系住瓶口，航天员手持细绳的另一端，使瓶子做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．空间站内完全失重状态，绳子的张力等于零 B．某时刻断开细绳，瓶子仍能继续做圆周运动 C．瓶子要做完整圆周运动，其速度必须大于某一值 D．一段时间后密度大的水将聚集在瓶子底部的位置 考向2 常见的匀速圆周运动 例4（25-26高一下·江苏南京·期末）如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 【变式训练1·变考法】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球P在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球P改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），金属块Q在桌面上始终保持静止。后一种情况与原来相比较，不计小孔与绳的摩擦，下面的判断中正确的是（　　） A．细线张力变小 B．小球P运动的角速度变大 C．金属块Q受到桌面的静摩擦力变大 D．金属块Q受到桌面的支持力变大 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω>ω'，则以下描述 运动时相比匀速转动时（     ） A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球合外力的大小一定变大 考向3 离心运动和近心运动 例5 （25-26高一下·江苏南京·期末）2026年3月29日，中国制造商张雪机车的赛车夺得冠军。这是中国摩托车品牌首次打破日本和欧洲品牌在该赛事中长达数十年的垄断，创造了历史。比赛中，若车手驾驶赛车通过一水平弯道时，采取了“压弯”技巧，车身与地面形成一定倾角，关于此过程，下列说法正确的是（     ） A．赛车匀速率过弯时，合外力不做功 B．赛车匀速率转弯时加速度为0 C．赛车受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 D．若保持车身倾角不变，过弯速率突然增大，则车做近心运动 【变式训练1·变考法】（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，则（　　） A．衣物在最高点A时脱水效果最好 B．匀速转动过程中衣物受到的合力做功为零 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（24-25高一下·江苏无锡·期中）2022年3月23日，航天员王亚平、叶光富在中国空间站开设“天宫课堂”，课堂中演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳一端系住装有水和油的瓶子，叶光富手持细绳另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，已知水的密度大于油的密度。在飞船参考系中，下列说法正确的是（    ） A．只有瓶子速度大于一定值（不为0）才能通过圆周运动的最高点 B．瓶子的角速度一定时，油和水分离的难易程度与绳长有关 C．油水分离后，油在外侧，水在内侧 D．瓶子的角速度一定时，油水分离过程中，绳子张力大小不变 知识点3 定量研究影响向心力大小的因素 知●识●解●构 1．实验器材及原理 (1)匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3匀速转动，思考通过两变速塔轮控制两侧圆周运动角速度的原理； (2)两塔轮分别与长槽4和短槽5同轴转动，槽内的小球转动角速度关系如何判定？ (3)小球做匀速圆周运动的向心力由谁提供？ 考●向●破●译 考向1 圆周运动实验 例6 （2026·江苏泰州·三模）某同学利用如图甲所示的装置来完成“用单摆测量重力加速度”实验，其部分实验步骤如下： ①取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小球，另一端用夹子固定在铁架台上； ②用毫米刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，求出摆长l； ③将小球拉离平衡位置一较小角度后由静止释放，用停表记录单摆做N次全振动的时间t，计算出周期T； ④改变细线长度，多次重复实验，测得多组摆长l与对应的周期T的数据，并在坐标纸上作出l-T2的图像如图丙所示。 回答下列问题： (1)有四名同学的仪器安装与操作过程如下列四幅图所示，其中正确的是（　　） A． B． C． D． (2)该班级还有几名同学实验操作过程中有以下几种做法，其中正确的是（　　） A．测量单摆周期时，摆球在经过最低点时开始计时 B．测量单摆周期时，摆球每经过最低点一次计为一个周期 C．测量单摆摆长时，将小球用摆线悬挂起来，用米尺测量悬挂点到摆球上端点间的长度计为摆长 (3)由图乙可读出小球的直径D=___________mm； (4)由图丙可得重力加速度g=___________m/s2（结果保留三位有效数字）； (5)某次实验中，小球没有严格在同一竖直平面内运动，由此求出的重力加速度数值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【变式训练1·变考法】（25-26高二上·浙江杭州·期末）用如图甲所示的实验装置来探究向心力F的大小与质量m、角速度和半径r之间的关系。转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。挡板对球的支持力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力计下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为，图甲中左右两侧的变速轮塔从上到下都有三层，每层左右半径之比分别为、和，传送带从上到下一共有三种放置方式，分别是第一层、第二层、第三层。 (1)为了研究向心力F大小与质量m之间的关系，选用体积相同质量不相等的钢球和铝球对照研究，将选好的铝球放到短槽C处，钢球应该放在长槽________（选填“A”或“B”）处；这时应该调整皮带，将其放置在第________层组装变速轮塔； (2)在探究向心力F与角速度的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为________ A． B． C． D． (3)为验证做匀速圆周运动物体的向心力的定量表达式，实验组内某同学设计了如图乙所示的实验装置，电动机带动转轴匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中AB是固定在竖直转轴上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。 实验步骤： ①测出挡光片与转轴的距离为L； ②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为r； ③启动电动机，使凹槽AB绕转轴匀速转动； ④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间。 （a）小钢球转动的角速度________（用L、d、表示）； （b）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出图像如图丙所示，若忽略小钢球所受摩擦且小钢球球心与转轴的距离为，则小钢球的质量________kg（结果保留两位有效数字）。 【变式训练2·变考法】（2026·江苏南通·三模）某实验小组利用智能手机及力传感器，探究圆周运动的向心力大小与质量、角速度及轨道半径的关系。实验装置如图甲所示，将手机放在水平粗糙转台边缘，不可伸长的细线一端连接手机，另一端连在固定在竖直转轴上的力传感器上，测得细线伸直时的长度为L。 (1)本实验用到的物理学研究方法是 。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)打开手机的角速度测量功能，让装置在电机带动下绕轴匀速转动，记录角速度和力传感器示数；改变电机转速，记录多组和对应的数据，作出的关系图像如图乙所示，根据图像________（选填“能”或“不能”）说明向心力与成正比，图像纵截距的绝对值表示 ________。 (3)该实验还能粗略测量手机的质量，若图乙中图像的斜率为，则手机质量 ________ （用 、表示）。 (4)上述方案中手机质量的测量值________真实值（选填“大于”、“等于”、“小于”），理由 ________。 考点二 圆周运动计算 知识点1 竖直面内圆周运动 知●识●解●构 一、轻绳(过山车)模型 如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 二、轻杆(管道)模型 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2．小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 考●向●破●译✨得分速记 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 考向1 轻绳模型/轨道模型 例7 （24-25高一下·江苏徐州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑圆弧轨道，半径OA水平、OB和OC竖直。质量为m，可视为质点的滑块从A的正上方P点由静止下落，在A点内侧进入轨道后，到达轨道的最高点B，若重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．物体运动到B点时速度大小一定等于 B．物体从B点飞出后，一定落在圆弧轨道外侧 C．物体在B、C两点对轨道的压力差∆F与h有关，h越大，∆F越大 D．h最小值为R 【变式训练1·变考法】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，接触点A点与地面相切，轨道的半径为R。一个光滑的质量为m的小球，以某一初速度从轨道A点冲上半圆形轨道，最终落回地面上，不考虑小球的反弹，重力加速度为g ，求： (1)若小球恰能到达轨道最高点B，求小球在A点初速度的大小； (2)若小球在A点的初速度为，求小球在与圆心等高点C对轨道的压力大小； (3)若小球在A点的初速度为，求小球落回地面前，距地面的最大高度H 。 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，一个质量为m的小球通过长为L的轻绳与悬点O连接。初始时刻，将小球从水平位置A点由静止释放，到达最低点B时速度为，绳恰好断裂。已知B点到水平地面的距离为L，，重力加速度为g。 (1)求小球落地点距B点的水平位移大小x； (2)求轻绳能承受的最大拉力大小； (3)若将小球从A处以一定初速度竖直下抛，当其运动到C处时绳子恰好断裂，此时绳与竖直方向夹角为，求从此时起经时间t小球距地面的高度H（小球未落地）。 考向2 杆模型/管道模型 例8 （25-26高一下·江苏·期中）竖直放置的四分之三圆管半径为R，在管口A正上方3R处由静止释放一质量为m的小球，小球落入管中并从C点飞出后，恰好又落回到A点，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球（　　） A．通过C点时的速度大小为 B．克服圆管的摩擦力做功为 C．通过C点时对圆管的压力大小为mg，方向竖直向下 D．通过C点时对圆管的压力大小为，方向竖直向上 【变式训练1·变考法】（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做半径为的圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线，已知重力加速度为g。则小球（　　） A．经最高点的最小速度为 B．经最高点的速度越大，对管壁的弹力一定越大 C．在ab上方运动时，对内侧管壁可能有作用力 D．在ab下方运动时，对内侧管壁可能有作用力 【变式训练2·变考法】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的水平距离是多少？ 知识点2 水平面/斜面圆周运动 知●识●解●构 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 ⚠特别提醒 与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm=，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3.斜面上圆周运动 （1）特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 （2）方法：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 考●向●破●译 考向1 水平面内圆周问题 例9（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，绕竖直轴转动的水平圆盘上放有物块A、B、C，质量分别为m、2m、2m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知B、C与圆盘间的动摩擦因数均为μ，A、B间动摩擦因数为2μ。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始缓慢加速，且均未发生相对滑动，则下列说法不正确的是（　　） A．当角速度时，细线开始出现拉力 B．当角速度时，圆盘对B的摩擦力为 C．当A、B间的摩擦力达到最大时，角速度 D．当圆盘对C的摩擦力为0时，角速度 【变式训练1·变考法】（25-26高三上·江苏·阶段检测）A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心在转轴上，两环始终在同一竖直面内，当两环绕竖直轴匀速转动后，套在两环上的a、b两小环最终稳定在环上的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·新情境】（25-26高一上·江苏无锡·期末）三百六十行，行行出状元。最近一段服务员快速摆餐盘的视频火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，增大转盘转动角速度，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为r，忽略空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．餐盘质量越大，从转盘边缘飞出时速度越小 B．餐盘落到餐桌上瞬间的速度大小为 C．转盘加速转动过程中，餐盘受到的摩擦力始终指向转盘中心 D．落到餐桌上的餐盘到转盘中心的水平距离为 考向2 斜面圆周运动及临界问题 例10 （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大 D．倾斜圆盘角速度的最大值为5rad/s 【变式训练1·变考法】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图，水平轻杆的左端通过光滑铰链固定在竖直转轴上，右端固定一个小球，小球通过轻绳与转轴上的O点连接。现通过转轴带动小球由静止开始极其缓慢加速做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．随角速度增大，杆对球的弹力越来越大 B．随角速度增大，杆对球的弹力先变小后变大 C．随角速度增大，轻绳拉力逐渐变小 D．随角速度增大，轻绳拉力逐渐变大 【变式训练2·变考法】（25-26高一上·江苏常州·期末）我国高速铁路运营里程居世界首位。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v0转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、轨道的支持力和向心力 B．火车以速度小于v0时，车轮轮缘受到内轨的侧向压力 C．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 D．当火车上乘客增多时，若列车仍以v0的速度通过该圆弧轨道，内轨会受到轮缘的侧向挤压 考向3 图像问题 例11 （25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（     ） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【变式训练1·变考法】（2026·江苏·二模）如图所示，一小球从固定的四分之一光滑圆弧顶端静止释放，从释放到最低点的过程中，小球的向心加速度与时间t的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变考法】（25-26高一下·江苏淮安·期末）如图甲所示，长的水平轨道与半径的竖直光滑半圆轨道在处平滑连接，为该半圆轨道圆心，点与圆心等高，点在圆心的正上方。在水平向右的外力作用下，质量的滑块（可视为质点）从处由静止开始沿向右运动，外力与滑块位移的关系图像如图乙所示，滑块到达点时撤去外力，接着沿半圆轨道内侧上滑，恰好到点时与轨道脱离，在空中运动。已知与间的夹角为，，，取，轨道均固定，不计空气阻力。求滑块： (1)从到过程，水平外力对它做的功； (2)经点时，对圆轨道的压力大小； (3)运动至最高点时，与点间的高度差。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 3．（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 5．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 6．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·吉林·高考真题）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 圆周运动 考点一 圆周运动的运动学问题 知识点1 圆周运动的性质 考向1 圆周运动的性质 例1 【答案】B 【变式训练1·变载体】【答案】C ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】【答案】D 考向2 圆周运动传动 例2【答案】C 【变式训练1·变载体】【答案】D ▶新情境◀【变式训练2·时事热点与学科知识结合】【答案】D 知识点2 圆周运动的动力学问题 考向1 向心加速度和向心力 例3【答案】D 【变式训练1·变考法】【答案】C ▶新情境◀【变式训练2·变考法】【答案】C ▶新情境◀【变式训练3·时事热点与学科知识结合】【答案】D 考向2 常见的匀速圆周运动 例4【答案】D 【变式训练1·变考法】【答案】A 【变式训练2·变考法】【答案】D 考向3 离心运动和近心运动 例5 【答案】A 【变式训练1·变考法】【答案】B 【变式训练2·时事热点与学科知识结合】【答案】B 知识点3 定量研究影响向心力大小的因素 考向1 圆周运动实验 例6 【答案】(1)D(2)A(3)18.85(4)9.86(5)偏大 【变式训练1·变考法】【答案】(1) A 一(2)B(3) 0.45 【变式训练2·变考法】【答案】(1)C(2) 能 手机与转台间最大静摩擦力的大小(3)(4) 大于 细线长度小于手机做圆周运动的半径 考点二 圆周运动计算 知识点1 竖直面内圆周运动 考向1 轻绳模型/轨道模型 例7【答案】B 【变式训练1·变考法】【答案】(1)(2)(3) 【变式训练2·变考法】【答案】(1)(2)(3) 考向2 杆模型/管道模型 例8 【答案】B 【变式训练1·变考法】【答案】C 【变式训练2·变考法】 【答案】 知识点2 水平面/斜面圆周运动 考向1 水平面内圆周问题 例9【答案】D 【变式训练1·变考法】【答案】A 【变式训练2·新情境】【答案】D 考向2 斜面圆周运动及临界问题 例10【答案】A 【变式训练1·变考法】【答案】B 【变式训练2·变考法】【答案】B 考向3 图像问题 例11 【答案】D 【变式训练1·变考法】【答案】D 【变式训练2·变考法】【答案】(1)28J(2)(3) 真题溯源·考向感知 1．（2025·江西·高考真题）【答案】C 2．（2025·河北·高考真题）【答案】C 3．（2025·安徽·高考真题）【答案】D 4．（2025·江苏·高考真题）【答案】B 5．（2024·江苏·高考真题）【答案】D 6．（2024·广东·高考真题）【答案】A 7．（2024·吉林·高考真题）【答案】D 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $