精品解析：山东省九五高中协作体2027届高三上学期10月学习质量综合评估数学试题

高三年级10月学习质量综合评估 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角和均以为始边，它们的终边关于原点对称．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，均为正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 8. 若对任意的，总存在使得，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. ，为奇函数 B. 对，，使得 C. 且，的最小值为 D. 若方程有唯一实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为_____． 13. 函数，则的解集为_____． 14. 已知二次函数、的二次项系数均为，且满足，则的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设：实数满足，其中；：实数满足． （1）写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； （2）是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的图象过点． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和． 17. 已知函数（且）． （1）若，解不等式； （2）若存在使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，，，． （1）当时，求的单调区间； （2）证明：对任意，均有； （3）若，且，求证：． 19. 给定正整数，集合，若集合，，⋯，是的个二元子集，记为，满足，且对于，有，则称是的一个“配对划分”．给定函数，，配对划分满足，，则称为的一个“非等和划分”． （1）若，，试写出的一个“非等和划分”； （2）若（且）， （ⅰ）当时，证明：所有的配对划分都是的非等和划分； （ⅱ）证明：至少存在两个，且，对于每个都存在一个“配对划分”，使得它不是“非等和划分”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月学习质量综合评估 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推关系将自变量转化到已知解析式的区间内计算即可. 【详解】. 3. 在平面直角坐标系中，角和均以为始边，它们的终边关于原点对称．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先列出和的关系，再根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简求值. 【详解】由条件可知，，，则， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故CD错误. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 所以． 5. 已知，，均为正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 当且时，，所以； 若，则， 因为，，均为正数，所以，即. 所以 当，，均为正数时，“”是“”的充要条件. 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称． 对任意，有． 由于且，偶函数条件等价于， 由指数函数的单调性得，此式对任意成立当且仅当． 7. 集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 若，则或.， 则时，；时，则. 所以为集合中的元素； 若，由， 当时，又，所以，此时成立， 所以，，，都是集合中的元素； 当时，又，所以或，此时，，不成立， 所以满足的点不是该集合的元素. 综上，该集合有5个元素：，，，，. 8. 若对任意的，总存在使得，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解的区间并计算其长度，再根据“任意滑动区间内必存在满足的点”等价于区间长度不小于该反面区间长度，进而求得的取值范围. 【详解】根据余弦函数的图像与性质，的解为， 余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 反之，的解集为， 每个满足的区间，长度均为， 题目“对任意，总存在使得”，等价于无论取何值，区间都不能完全落在的区间内. 若存在某个让整个区间都满足，就不存在符合条件的，与题意矛盾. 区间的长度为， 要让任意长度为的区间，都无法完全放进长度为的区间内，必须满足， 解得，即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式即可判断AB，利用两角和与差的正弦公式即可判断C，利用两角和的余弦公式即可判断D. 【详解】对于A，由题意得：，故A错误； 对于B，由为锐角，又，所以， 所以，故B正确； 对于C，由为锐角，所以， 所以，故C错误； 对于D，由题意得， 又，所以，所以，故D正确. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将指数式转化，得到，推出；再借助对数运算、完全平方变形和基本不等式，逐个判断四个选项. 【详解】对于A： ，A 正确； 对于B：由题：， . 所以， ，B正确； 对于CD： ， 由选项A可知，则，得，当且仅当时取等号， 因为，所以，所以D正确，， 所以，所以，C错误. 11. 已知函数，则（ ） A. ，为奇函数 B. 对，，使得 C. 且，的最小值为 D. 若方程有唯一实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用奇函数的性质即可判断A；取即可判断B；由对勾函数的性质即可判断C；由关于对称，唯一根必在对称轴上即可判断D. 【详解】对于A，若为奇函数，则其定义域必须关于原点对称，的定义域为， 要使定义域关于原点对称，必须满足：若定义域的“挖去点”，则也必须是“挖去点”， 已知挖去点是和，的相反数是，所以只需的相反数也是挖去点，即或，这都得出， 当时，，定义域为， 此时，所以是偶函数，不是奇函数， 因此，不存在使得为奇函数，故A错误； 对于B，取，则， 所以， 所以对，，使得，故B正确； 对于C，由B可知，， 令，，则，所以，等号成立当且仅当同时成立， 由于 ， ， 若 ；或 （排除）； 若 （排除）；或 ， 当时，在处，，此时均合法（）， 此时，所以最小值为，故C正确； 对于D，由B可知，关于对称， 因此，若方程有唯一实数根，则唯一根必在对称轴上， 所以 ， 又因为的两端趋向于无穷大，且在对称轴处有，所以必须是函数的最小点， 当时，，对称轴为，此时， 由于，，这说明存在，使得，不符合题意； 当时，，对称轴为，此时， 由于，，这说明存在，使得，不符合题意； 当时，，对称轴为，此时， ①当时，，，此时， ②当时，由于，，所以， 由于二次函数在时取最小值，所以在时取最小值，最小值为，即，当且仅当时取等号； ③当时，，，此时， 因此，当时，方程有唯一实数根，符合题意；同理，由奇偶对称性，也符合题意； 综上所述，若方程有唯一实数根，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，根据自变量的范围，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】已知函数，当时，， 因为正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 故. 13. 函数，则的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分、两类，代入对应分段表达式写出、，分别解不等式，再合并解集. 【详解】当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 综上所述，解集为. 14. 已知二次函数、的二次项系数均为，且满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由得，设，即，进而求解. 【详解】由得：， 所以， 设，则为二次函数，其首项系数为，且和为的两根， 所以， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设：实数满足，其中；：实数满足． （1）写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； （2）是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），（注：答案不唯一，只需为的真子集即可） （2）． 【解析】 【小问1详解】 命题：，解得， 所以命题的一个充分不必要条件为：； （注：答案不唯一，只需为的真子集即可）； 【小问2详解】 命题：， 若，；若，； 命题：， 因为是的必要不充分条件， 当时，则，当时，则． 综上：实数的取值范围是． 16. 已知函数的图象过点． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和． 【答案】（1），单调递增区间为，． （2） 【解析】 【分析】（1）由题设易得，可得，再根据正弦函数的单调性求解即可； （2）先根据平移得到，再根据结合余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由的图象过点，得， 所以，，解得，， 又，故，因此， 由，得，， 故的单调递增区间为，． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度， 得， 方程，即， 所以或，， 即或，， 在内：，无满足条件的解； ，取，2，3，得三个实根，，， 所以， 故方程在内所有实数根的和为． 17. 已知函数（且）． （1）若，解不等式； （2）若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性，解不等式即可； （2）由题设可得在上有解，进而求解即可. 【小问1详解】 函数在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由，则， 因为，且，故在上有解， 则在上有解， 因为，所以在上的值域为． 所以，又因为，所以，则实数的取值范围为． 18. 已知函数，，，． （1）当时，求的单调区间； （2）证明：对任意，均有； （3）若，且，求证：． 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）证明：设，，则，故在上单调递增， 因为，所以，即， 所以． （3）证明：若，则，所以在上递增， 不可能存在使得，矛盾，因此． 不妨设，由，得， 整理得， 即① 由（2）问知， 又，故， 结合①式得，即② 下面证明． 设，，， 故在上单调递增．所以，即， 令代入，整理得， 因此③ 联立②③，得，两边开方，得，证毕． 【解析】 【分析】（1）将代入并求导，根据及余弦函数的性质可得，即可得到的单调区间； （2）设，利用导数性质即可得出结论； （3）先证明存在，，根据（2）中结论得到，要证，即证明，即证明，两边同时除以再取倒数，得到，又，且，令，有，即证在有恒成立. 【小问1详解】 当时，，， 因为，且，故， 所以在上单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 19. 给定正整数，集合，若集合，，⋯，是的个二元子集，记为，满足，且对于，有，则称是的一个“配对划分”．给定函数，，配对划分满足，，则称为的一个“非等和划分”． （1）若，，试写出的一个“非等和划分”； （2）若（且）， （ⅰ）当时，证明：所有的配对划分都是的非等和划分； （ⅱ）证明：至少存在两个，且，对于每个都存在一个“配对划分”，使得它不是“非等和划分”． 【答案】（1），，，，⋯，是的一个非等和划分： （2）（ⅰ）当时，先证明若，，，是互不相等的正整数，那么． 若存在， 不妨设是中的最大值，则，， 那么 ， 从而若，，，是互不相等的正整数，那么． 故对配对划分，，，，， 故当时，所有配对划分都是非等和划分． （ⅱ）先证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”． 当时，令， 注意到，而， 故存在，使得，故， 两边同乘得； 故对于，包含，的配对划分不是非等和划分． 再证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”． 令，注意到，， 故存在，当时，单调递减，从而存在； 取，则，而， 故存在，，即， 两边同乘得， 故对于，包含，的配对划分不是非等和划分． 显然，不相同，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）（ⅰ）先证明若，，，是互不相等的正整数，那么，进而分析求证即可； （ⅱ）先证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”，再证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”，进而分析求证即可． 【小问1详解】 ，即，，，⋯，是的一个非等和划分： 注意到在单调递增，令，则是递增数列， 从而互不相等． 故，，，⋯，是的一个非等和划分． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $