17.2 用公式法分解因式 同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各选项中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 5．与相等的是（   ） A． B． C． D． 6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 二、填空题 9．已知，，则________． 10．已知，则的值为__________． 11．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 12．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 13．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 三、解答题 14．分解因式： (1)； (2)． (3)． 15．阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 16．阅读理解题 在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解， 基本式子为：， 例如：分解因式，，， 按此排列：    交叉相乘，乘积相加等于， 得到，这就是十字相乘法． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先分解因式，再求值：，其中． 17．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 18．阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． (3)______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B C B A B 1．【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是因式分解，符合题意； 选项B：等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 选项C：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意； 选项D：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意． 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用 【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0， ∴，， 解得：，， 根据三角形三边关系，得：， 即， ∵是正整数 ∴ ∴的周长为：． 8．【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 9．【答案】3 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 10．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查代数式化简与整体代入思想．熟悉代数式化简的方法，利用整体代入思想代入已知条件求得代数式的值，是解题的关键． 首先去括号将多项式化简，再根据完全平方公式进行因式分解，最后代入已知式子的值即可． 【详解】解：将原式展开并整理， 得：， 已知，代入得：， ∴原式的值为． 故答案为：． 11．【答案】①② 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 12．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．【答案】(1) (2)，45 【知识点】十字相乘法 【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解． 【详解】（1）解：； （2） 当时，原式． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 18．【答案】(1)． (2)，；阴影部分的面积是． 【知识点】列代数式、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】（）按照题中提供的解法思路进行求解即可； （）根据正方形的边长为，即可表示出与； 由题意得，则阴影部分的面积为，设，，则，，再求出，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， 所以； （2）解：由题意可知，， 故答案为：，； 由题意，得， 阴影部分的面积为， 设，， 则，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因此，阴影部分的面积是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $