专题04反比例函数的图象与性质、用反比例函数解决问题 同步培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题04反比例函数的图象与性质、用反比例函数解决问题 同步培优讲义 ✺知识框架 1.图象特征：双曲线形状、渐近特点、双重对称性、象限分布 2.函数性质：比例系数 k 的几何意义、图象位置、象限内增减规律 3.几何模型：k 的定值面积结论（矩形、三角形面积） 4.实际应用：建立反比例函数模型，解决工程、行程、几何、压强等实际问题 ✺学习目标 1.掌握双曲线图象特征与对称性，能依据k的符号判断图象位置与象限内增减性。 2.掌握k的几何意义，会求解相关定值面积问题。 3.能建立反比例函数模型解决实际问题，合理确定自变量取值范围。 4.熟记常见易错点，规范函数解题表述。 ✺知识梳理 知识点一、反比例函数图象的绘制 重要特征：反比例函数图象是双曲线，由两支曲线组成；图象无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 知识点二、反比例函数图象特征与性质 1.图象形态：反比例函数图象是双曲线，由两支独立曲线构成。 2.渐近特征：双曲线无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 3.对称性（1）中心对称：图象关于原点中心对称；（2）轴对称：图象关于直线 y=x、y=-x 对称。 4.性质：当k＞0，图象分布在第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当k＜0，图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 知识点三、比例系数k的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，得到的直角三角形的面积等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点四、实际问题与反比例函数 ▲利用反比例函数解决实际问题的步骤： 1.审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； 2.建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； 3.计算求解：利用解析式求解对应变量的值； 4.规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 ▲反比例函数应用中常见的基本关系： 行程类问题：路程=速度×时间。 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。 等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变。 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式来解题。 易错点提醒 1.增减性必须带 “在每一象限内”，缺少条件属于表述错误。 2.不可跨象限用增减性比较函数值，正负区间优先判断符号。 3.面积计算必须带绝对值，面积恒为正数。 4.双曲线永不交轴，x、y均不为 0。 5.实际应用题必须限定自变量取值范围。 6.反比例函数判定必须满足：k≠0、无常数项、自变量x的次数为-1。 ✺题型精讲 题型1.判断（画）反比例函数图象 1．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 题型2.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型3.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 3．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 题型4.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着x值的增大，y值（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大 2．已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 3．下列函数在其图象所在的各象限内，哪些是y的值随x的值的增大而增大的？ （1）；（2）；（3）． 题型5.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 2．反比例函数的图象位于第______象限． 3．画出反比例函数和的图象，并分别指出它们位于平面直角坐标系的哪两个象限内． 题型6.已知反比例函数的增减性求参数 1．反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 2．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 3．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 题型7.比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 2．若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 3．反比例函数的图象如图所示． (1)判断k是正数还是负数． (2)如果和为这个函数图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？ 题型8.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 3．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 题型9.求反比例函数解析式 1．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．6 C． D． 2．已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 3．已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 题型10.反比例函数与几何综合 1．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 2．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 3．如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标． 题型11.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 3．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 题型12.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 2．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？ 题型13.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 题型14.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 题型15.实际问题与反比例函数 1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 2．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 3．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 1．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 2．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 3．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ ✺分层练习 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 3．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 6．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 7．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 三、解答题 8．一个重的物体放在地面上． (1)写出用这块物体的受力面积表示它对地面的压强的函数表达式． (2)画出这个函数的图象． (3)如果这个物体是长方体形的，长、宽、高分别为，和，求放置方式不同时，这个物体对地面的压强分别是多大．（结果保留整数） 9．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 10．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04反比例函数的图象与性质、用反比例函数解决问题 同步培优讲义 ✺知识框架 1.图象特征：双曲线形状、渐近特点、双重对称性、象限分布 2.函数性质：比例系数 k 的几何意义、图象位置、象限内增减规律 3.几何模型：k 的定值面积结论（矩形、三角形面积） 4.实际应用：建立反比例函数模型，解决工程、行程、几何、压强等实际问题 ✺学习目标 1.掌握双曲线图象特征与对称性，能依据k的符号判断图象位置与象限内增减性。 2.掌握k的几何意义，会求解相关定值面积问题。 3.能建立反比例函数模型解决实际问题，合理确定自变量取值范围。 4.熟记常见易错点，规范函数解题表述。 ✺知识梳理 知识点一、反比例函数图象的绘制 重要特征：反比例函数图象是双曲线，由两支曲线组成；图象无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 知识点二、反比例函数图象特征与性质 1.图象形态：反比例函数图象是双曲线，由两支独立曲线构成。 2.渐近特征：双曲线无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 3.对称性（1）中心对称：图象关于原点中心对称；（2）轴对称：图象关于直线 y=x、y=-x 对称。 4.性质：当k＞0，图象分布在第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当k＜0，图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 知识点三、比例系数k的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，得到的直角三角形的面积等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点四、实际问题与反比例函数 ▲利用反比例函数解决实际问题的步骤： 1.审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； 2.建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； 3.计算求解：利用解析式求解对应变量的值； 4.规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 ▲反比例函数应用中常见的基本关系： 行程类问题：路程=速度×时间。 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。 等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变。 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式来解题。 易错点提醒 1.增减性必须带 “在每一象限内”，缺少条件属于表述错误。 2.不可跨象限用增减性比较函数值，正负区间优先判断符号。 3.面积计算必须带绝对值，面积恒为正数。 4.双曲线永不交轴，x、y均不为 0。 5.实际应用题必须限定自变量取值范围。 6.反比例函数判定必须满足：k≠0、无常数项、自变量x的次数为-1。 ✺题型精讲 题型1.判断（画）反比例函数图象 1．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 2．在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的图象位于一、三象限可知直线的图象过一、三象限，进而可得答案． 【详解】解：双曲线的图象位于一、三象限， 若直线与双曲线有公共点， 则直线的图象过一、三象限， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数和双曲线的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 3．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 题型2.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（3，4）， ∴另一个交点的坐标是（-3，-4）． 故填（-3，-4）． 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，掌握正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称成为解答本题的关键． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 题型3.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 2．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 3．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案. 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． （2）解：当时，函数为， 当时，. 题型4.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着x值的增大，y值（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：在中，， ∴随着x值的增大，y值减小， 故选：B． 2．已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 3．下列函数在其图象所在的各象限内，哪些是y的值随x的值的增大而增大的？ （1）；（2）；（3）． 【答案】（3）满足函数在其图象所在的各象限内，是y的值随x的值的增大而增大的． 【详解】解：（1）对于函数， ∵该函数是反比例函数，且比例系数， ∴在其图象所在的每一象限内，随的增大而减小，不符合要求． （2）对于函数， ∵该函数是正比例函数，且比例系数， ∴随的增大而减小，不符合要求． （3）对于函数， ∵该函数是反比例函数，且比例系数， ∴在其图象所在的每一象限内，随的增大而增大，符合要求． 综上，符合条件的函数是（3）． 题型5.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 2．反比例函数的图象位于第______象限． 【答案】三 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号确定图象的所有可能象限，再结合的限定判断最终位置． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数的图象整体位于第一、三象限， 时，， 该函数的图象位于第三象限． 3．画出反比例函数和的图象，并分别指出它们位于平面直角坐标系的哪两个象限内． 【答案】 由图可得，的图象位于第一、三象限；的图象位于第二、四象限． 【分析】先画出函数图象，再根据图像作答即可． 【详解】略 题型6.已知反比例函数的增减性求参数 1．反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， ∵选项中只有， ∴选A． 2．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 3．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， 解得 即m的取值范围为． 题型7.比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 2．若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， 点，，在反比例函数的图象上，且， ． 3．反比例函数的图象如图所示． (1)判断k是正数还是负数． (2)如果和为这个函数图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？ 【答案】(1)是正数 (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的位置可直接判断的符号，图象分布在第一、三象限，则为正数． （2）利用时反比例函数在第三象限的增减性，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：由图可知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ，即是正数． （2）解：， 当时，随的增大而减小， ，且，都在函数图象上， ． 题型8.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解． 【详解】解：如图：点为与轴的交点， 则，， ∵，， 故，， ∴的面积． 3．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2) 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴. 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2） 略 题型9.求反比例函数解析式 1．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】将点代入即可求解． 【详解】解：由题意得：． 2．已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 3．已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为； （3） 解：当时，． 题型10.反比例函数与几何综合 1．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设反比例函数解析式为，根据得出反比例函数解析式，从而求解点坐标，最终求得底部直径的长为倍的点横坐标． 【详解】解：根据题意可知，设反比例函数解析式为， 将代入，可得， 反比例函数解析式为． ， 当时，， ． 故答案为：C． 2．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 3．如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标． 【答案】 【分析】设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，轴，，， ∴，，， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， ∴． 题型11.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 2．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 3．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴． 题型12.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 2．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 3．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？ 【答案】(1)，； (2)张老师最多可以讲14.5分钟． 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将代入即可求解．求出点A的坐标，设的表达式为，将，代入求解即可； （2）分别在函数与函数中，令，求出自变量x的值，它们的差即为所求． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为． 将代入得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，， ∴， ∴． 设的表达式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式． （2）解：在函数中，当时，． 解得． 在函数中，当时，则， 解得：． ∴． 答：张老师最多可以讲分钟． 题型13.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，得出，把代入，求出，即可得出答案； （2）把代入求出，把代入求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是线段上的点，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点纵坐标为， ∵反比例函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∴． 题型14.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．求解，，设，利用中点坐标公式可得的坐标，再代入反比例函数解析式建立方程求解即可． 【详解】解： ∵直线与坐标轴交于A、B两点， ∴将代入，得，将代入，得， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∵点C在上， ∴． ∴， ∵反比例函数图像在第一、三象限， ∴． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 题型15.实际问题与反比例函数 1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 2．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解． 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 3．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 1．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 2．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 3．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． ✺分层练习 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 3．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 二、填空题 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 6．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积为，结合图象所在象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵点B在反比例函数图象上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支在第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 7．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 【答案】 12 【分析】先计算蓄水池总蓄水量，再根据总水量、每小时排水量、排空时间的关系推导函数解析式，最后根据要求的排空时间计算最低每小时排水量． 【详解】∵原排水管平均排水量为每小时立方米，小时可以排空满池水， ∴蓄水池的总蓄水量为立方米． 根据总蓄水量=每小时排水量×排空总时间，可得， 整理得与的函数解析式为． 若要在小时内排完，即满足， 代入解析式得， ∵为排水量，， ∴不等式两边同乘，不等号方向不变，可得， 解得， 即平均每小时排水量至少为立方米． 三、解答题 8．一个重的物体放在地面上． (1)写出用这块物体的受力面积表示它对地面的压强的函数表达式． (2)画出这个函数的图象． (3)如果这个物体是长方体形的，长、宽、高分别为，和，求放置方式不同时，这个物体对地面的压强分别是多大．（结果保留整数） 【答案】(1) (2)函数图象如下： (3)放置方式不同时，对地面的压强分别约为，， 【分析】（1）根据题意得出函数表达式即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象即可； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：列表： 3 5 6 10 10 6 5 3 描点，连线，作出函数图象：略 （3）解：①底面： ②底面： ③底面： 9．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 10．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】(1)，， (2) ①结合表格数据画图如下： ②不存在，理由： 所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； (3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ②根据所画的图象交点情况分析即可； （3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 ②略 （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $