2.3 用反比例函数解决问题 易错专题讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版2024 · 用反比例函数解决问题 · 第2章 反比例函数 2.3用反比例函数解决问题 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第2章 反比例函数 2.3 用反比例函数解决问题 本专题按易错原因重新聚合题目，而非按知识点顺序罗列：每个易错点配一道精讲例题，标注本题核心易错点与纠错指引，并搭配即时巩固变式；全部易错点学完后，文末统一编排综合过关测试，用于整章掌握情况的集中检验。说明：本批素材解答题占比偏高，选择、填空偏少，可结合课堂练习自行补充。 目录 易错点1：混淆正比例与反比例解析式 易错点2：面积求k后漏判符号 易错点3：几何图形中点坐标求错 易错点4：实物情境转几何条件失败 易错点5：四边形边长条件没用足 易错点6：新定义条件理解不到位 易错点1：混淆正比例与反比例解析式 学习目标 · 能区分正比例与反比例解析式形式 · 会用待定系数法求反比例函数解析式 · 能由图象上一点坐标求k值 纠错指引 先写一般式 y＝k/x（k≠0），再把已知点的横纵坐标相乘得 k＝xy；看到 y＝kx 形式的选项直接排除，并回头用「乘积一定还是比值一定」复核一遍。 精讲例题 例题1．（2026•大理州二模）·【基础】已知y与x成反比例，且当x＝2时，y＝3，则该函数的表达式是（　　） A．y＝6x B．y C．y D．y 【分析】依据题意，设函数的解析式为y，再将x＝2，y＝3代入求得k的值即可得解． 【解答】解：∵y与x成反比例， ∴设该函数的解析式为y， ∵当x＝2时，y＝3， ∴3， ∴k＝6． ∴该函数的解析式为y． 故选：C． 教学提示：板演时把 y＝kx 与 y＝k/x 并列写出，让学生口答「比值一定还是乘积一定」；再把四个选项逐一代入 x＝2 检验，用排除法确认。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把反比例式写成 y＝kx 形式 · 把 k＝xy 误算成 k＝y/x 即时巩固 即时巩固1．（新教材同步题）·【基础】若A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点，则这个反比例函数的解析式为 　 　 ． 【分析】根据图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，得出等式，求出m，继而求出k的值． 【解答】解：∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上， ∴2（m+3）＝3， ∴m＝﹣6， ∴k＝﹣6， ∴y， ∴这个反比例函数的解析式为y． 教学提示：强调「同在一条双曲线上，横纵坐标乘积相等」，让学生先列 2(m＋3)＝3·yB 再解；追问两点在同一支或不同支是否影响列式。 即时巩固2．（2026春•大连期末）·【基础】已知y是x的反比例函数，且其函数图象经过点（﹣3，﹣1）． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当y＝﹣4时，求x的值． 【分析】（1）由于y与x成反比例，设代入（﹣3，﹣1），解得k的值即可； （2）将y＝﹣4代入反比例函数解析式，解得x的值即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为， ∵图象经过点（﹣3，﹣1）， ∴k＝﹣1×（﹣3）＝3， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：； （2）将y＝﹣4代入得到， ∴当y＝﹣4时，． 教学提示：让学生先口述「设式—代入—求k」三步再动笔；重点检查 k＝(－1)×(－3)＝3 的符号处理，避免负负得负。 易错点2：面积求k后漏判符号 学习目标 · 能说出|k|的几何意义 · 会由矩形或三角形面积求k · 能据图象所在象限判断k的正负 纠错指引 用面积求出的只是 |k|，还要看图象落在第几象限：一、三象限 k＞0，二、四象限 k＜0；另外三角形面积是 |k|/2，矩形面积才是 |k|，两者别混用。 精讲例题 例题2．（2025秋•牧野区校级月考）·【提升】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，C．若AB＝2.5，AC＝8，则该反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由当x＜0时，反比例函数的图象在第二象限，则k＜0，又AB＝2.5，AC＝8，则|k|＝AB•AC＝2.5×8＝20，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵当x＜0时，反比例函数的图象在第二象限， ∴k＜0． 又∵AB＝2.5，AC＝8， ∴|k|＝AB•AC＝2.5×8＝20． ∴k＝﹣20． ∴反比例函数为y． 故选：C． 教学提示：先让学生在图上指出图象位于第二象限，追问此时 x、y 的符号，再落笔确定 k 的正负；可追问若图象改在第一象限，答案如何变化。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 求出|k|＝20 便直接选正值 · 忽略图象在第二象限应取负 即时巩固 即时巩固3．（2024秋•湖北校级期末）·【提升】如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为　 　 ． 【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，可得△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，然后根据反比例函数中k的几何意义，即可确定k的值，进而得出反比例函数的解析式． 【解答】解：如图，连接AO， 设反比例函数的解析式为y． ∵AC⊥y轴于点C， ∴AC∥BO， ∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3， 又∵△AOC的面积|k|， ∴|k|＝3， ∴k＝±6； 又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限， ∴k＜0． ∴k＝﹣6． ∴这个反比例函数的解析式为y． 故答案为：y． 教学提示：让学生连接 AO，说明同底等高可把 △ABC 转化成 △AOC；板书对比「矩形面积＝|k|、三角形面积＝|k|/2」，避免两种模型混用。 易错点3：几何图形中点坐标求错 学习目标 · 能在几何图形中正确求出点的坐标 · 会用相似比求面积比 · 会用中心对称求对称点坐标 纠错指引 求点坐标前先确认原点与坐标轴位置；用相似时先算「对应线段与整体的比」，面积比等于相似比的平方；中心对称的两点横、纵坐标都取相反数。 精讲例题 例题3．（2025秋•淇滨区校级月考）·【提升】如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为　 　 ． 【分析】依据题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEGF＝k，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEGF∽矩形OABC，可求相似比为OG：OB＝2：3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEGF＝8，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，即可算选出k的值． 【解答】解：由题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F， ∵G点在双曲线上， ∴S矩形OEGF＝xy＝k， 又∵GB：OG＝1：2， ∴OG：OB＝2：3， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEGF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC＝18， ∴S矩形OEGF＝8， ∴k＝8． ∴函数的解析式是：． .故答案为：． 教学提示：让学生先写出 OG:OB＝2:3 再平方，追问为什么不能直接用 2:1；板书「线段比→相似比→面积比」三步推导，强调中间一步是平方。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 把 OG:GB＝2:1 当成 OG:OB＝2:1 · 面积比忘记用相似比的平方 即时巩固 即时巩固4．（新教材同步题）·【基础】如图，在平面直角坐标系中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边长为8，若反比例函数y的图象经过线段AB的中点，则这个反比例函数的解析式为 　 　 ． 【分析】根据正方形性质求出A（0，4），B（4，0），再根据中点坐标公式求出AB的中点坐标，最后用待定系数法求反比例函数的解析式． 【解答】解：∵点O为正方形ABCD对角线的交点， ∴∠DAC＝∠ABC＝90， ∴∠OAB＝∠ABO＝45°， ∴OA＝OB＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∴AB的中点坐标（2，2）， ∵反比例函数y的图象经过线段AB的中点， ∴k＝22 ＝8， ∴这个反比例函数的解析式为：y； 故答案为：y． 教学提示：让学生先确认 O 是正方形中心，由边长 8 推出 A、B 两点坐标，再用中点公式；同桌互查中点的横、纵坐标是否各自取平均。 易错点4：实物情境转几何条件失败 学习目标 · 能把直尺等实物条件转译为几何关系 · 会由平行关系确定直线解析式 · 会联立方程求交点坐标 纠错指引 见到直尺、刻度尺先找平行边与刻度差：平行边斜率相同，末端读数减去起点读数才是长度；把长度落到坐标上后再设直线解析式并联立求交点。 精讲例题 例题4．（2026•余江区校级一模）·【提升】如图，小明在草稿纸上画出某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面．请根据图中信息，求： （1）反比例函数的表达式； （2）点B的坐标． 【分析】（1）依据题意，设反比例函数表达式为，把点A（3，3）代入可得，则k＝9，从而可以得解； （2）依据题意，设直尺边OA所在直线的关系式为yOA＝mx，边BC所在直线为yOB＝mx+b，把点A（3，3）代入yOA＝mx可得3＝3m，可得m＝1，从而求出yOB＝x+b，再将点（0，4）代入yOB＝x+b可得4＝b，可得yBC＝x+4，最后令，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设反比例函数表达式为， 把点A（3，3）代入可得， ∴k＝9． ∴； （2）设OA所在直线的关系式为yOA＝mx，BC所在直线为yOB＝mx+b， 把A（3，3）代入yOA＝mx，则3＝3m， ∴m＝1． ∴yOB＝x+b． 把（0，4）代入yOB＝x+b，则4＝b， ∴yBC＝x+4． 令， ∴，（舍）． 把代入yBC＝x+4得，， ∴B． 教学提示：先让学生指出直尺两边平行因而斜率相同，再由他们自己设 y＝x＋b 并用点(0,4)求 b，最后联立方程，教师只在关键处纠错。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 看不出直尺两边互相平行 · 求交点时未联立两直线方程 即时巩固 即时巩固5．（2025•晋江市模拟）·【提升】一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为30°，对边经过x轴上点A（2，0）和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 【分析】（1）依据题意，作CH⊥y轴于H，结合∠COH＝30°，求出C的坐标从而可以判断得解； （2）依据题意，由AB∥OC，从而可设直线AB为y＝tan60°x+b，又过A（2，0），从而可得b＝﹣2，进而可得方程x﹣2，最后计算可以判断得解． 【解答】解：（1）如图，作CH⊥y轴于H， ∴∠COH＝30°． ∵OC＝2， ∴CHOC＝1，OH． ∴C（1，）． ∴k＝1． ∴反比例函数为y． （2）∵AB∥OC， ∴直线AB为y＝tan60°x+b． 又∵A（2，0）， ∴2b＝0． ∴b＝﹣2． ∴直线AB为yx﹣2． ∴可得方程x﹣2． ∴x＝1或x＝1（不合题意，舍去）． ∴B（1，）． 教学提示：让学生作 CH⊥y 轴，用 sin30°、cos30° 分别求 CH 与 OH；提醒直尺刻度对应的是线段长度，不是点的坐标数值。 易错点5：四边形边长条件没用足 学习目标 · 能运用菱形四边相等求顶点坐标 · 会用平行四边形对边相等求点坐标 · 会结合勾股定理求边长 纠错指引 菱形四边相等、平行四边形对边平行且相等；先把几何性质转成边长关系或坐标关系（必要时勾股列方程），再代入 y＝k/x 求 k，不要凭图估计坐标。 精讲例题 例题5．（2025春•新野县期末）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，4）、D（3，0）． （1）求经过点C的反比例函数的解析式； （2）设P是（1）中所求函数图象上一点，若△POA的面积是△COB的面积2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式； （2）设出点P的坐标，易得△COB的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，继而可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）由题意得，OA＝4，OD＝3， ∴在Rt△AOB 中，， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝CD＝5， ∴C（3，﹣5）． 设经过点C的反比例函数的解析式为， ∴． ∴k＝﹣15． ∴所求的反比例函数的解析式为． （2）由题意，设P（x，y）， ∵AD＝AB＝5，OA＝4， ∴OB＝1， ∴． ∴S△POA＝2S△COB＝3OA•|x|， ∴|x|． ∴x＝±． ∴此时y＝±10， ∴点P的坐标为（，﹣10）或（，10）． 教学提示：强调面积公式带绝对值，点 P 在双曲线两支上各有一解；提问「为什么会有两个点」，再让全班自查是否漏写其中一个。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 未用菱形四边相等求点C纵坐标 · 面积含绝对值导致点P漏掉一解 即时巩固 即时巩固6．（2026•平桥区一模）·【提升】如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 【分析】（1）依据题意，延长BA交x轴于点H，由AB∥CO，即AB∥y轴，可得BH⊥x轴，又四边形OABC是菱形，从而可设AB＝OA＝a，结合B（4，8），则OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a），又在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42，求出a可得A（4，3），进而可得k的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由M是OA的中点，A（4，3），则M（2，），又MN∥x轴，可得N的纵坐标为，结合N在反比例函数y，进而代入计算可以得解． 【解答】解：（1）如图，延长BA交x轴于点H， ∵AB∥CO，即AB∥y轴， ∴BH⊥x轴． ∵四边形OABC是菱形， ∴可设AB＝OA＝a． 又∵B（4，8）， ∴OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a）． 又∵在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42． ∴a＝5． ∴A（4，3）． ∴k＝4×3＝12． ∴反比例函数的解析式为y． （2）由题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）由题意，∵M是OA的中点，A（4，3）， ∴M（2，）． 又∵MN∥x轴， ∴N的纵坐标为． 又∵N在反比例函数y， ∴N的横坐标为． ∴x＝8． ∴N（8，）． 教学提示：引导学生由菱形四边相等设 AB＝OA＝a，用勾股列 a²＝(8－a)²＋4²；尺规作图环节请一名学生上台演示过已知点作平行线。 易错点6：新定义条件理解不到位 学习目标 · 能读懂新定义并转化为方程 · 能由周长与面积相等列关系式 · 会求函数自变量的取值范围 纠错指引 新定义题先把文字定义写成等式（如周长与面积的数值相等即 2(x＋y)＝xy），再代入坐标化简出函数关系式；最后由实际意义与分母不为零确定自变量取值范围。 精讲例题 例题6．（2025春•淮滨县月考）·【提升】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（2，3）　 　 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　 　 ； 【深入探究】 （2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线，且k为常数）上，则k＝　 　 ； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． x … 3 4 5 6 7 8 … y … … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在图2的平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 　 　 ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点． ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数（x＞0）的图象怎样平移得到？ 【分析】（1）依据题意，直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2x（4+b）＝4b，进行计算即可得到b的值；（2）依据题意，根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；（3）①根据“美好点”的定义可得2（x+y）＝xy化简整理即可得到答案；②先列表然后描点连线即可得到图象；③根据图象逐一判断即可得到答案；④将y2代入到（2﹣x）•（y﹣2）进行计算即可得到答案；⑤由图象观察可知，该图象可由y平移得到． 【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6， ∴点C（2，3）不是“美好点”． ∵点D（4，6）是第一象限内的一个“美好点”， ∴2×（4+b）＝4b． ∴b＝4． 故答案为：不是，4． （2）∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”， ∴2×（m+6）＝6m，∴m＝3． ∴E（3，6）． 将E（3，6）代入双曲线y上， ∴k＝18． 故答案为：18． （3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”， ∴2（x+y）＝xy． ∴y2． ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴．∴x＞2． ∴y关于x的函数表达式为：y2（x＞2）． ②列表如下： x … 3 4 5 6 7 8 … y … 6 4 3 … 作图如下， ③由图象可得： A、图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B、由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D、当x＝10时，y，所以图象经过点（10，），故该选项说法错误，不符合题意； 故选：AB． ④∵y2， ∴（2﹣x）（y﹣2）＝（2﹣x）（2﹣2）＝﹣4． ∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是为定值，定值为﹣4． ⑤该图象可由y向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：y． 教学提示：先让学生把「周长与面积的数值相等」写成 2(x＋y)＝xy，再变形出 y 关于 x 的式子；最后提醒 x≠2 且 x＞0，结合图象说明取值范围。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 把数值相等读成图形全等 · 化简后漏掉自变量取值范围 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•凉州区校级期末）·【提升】如图，矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数y的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为（2，4）． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OEPS矩形ABCD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标（2，4）代入求出k的值即可求出反比例函数解析式，再根据中心对称的性质B（﹣2，﹣4）； （2）根据中心对称的性质得B（﹣2，﹣4），则AB4，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式，先求出矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4240，然后设设P（a，），故S△OEPOE•|yP|28，从而求出a后即可判断得解． 【解答】解：（1）把（2，4）代入得， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为． ∵点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， ∴点A，B关于原点对称， ∴点B的坐标为 （﹣2，﹣4）； （2）根据中心对称的性质得B（﹣2，﹣4）， ∴AB4． ∵对角线AC垂直于x轴， ∴∠AEO＝∠ABC＝90°， ∵∠EAO＝∠BAC， ∴△AOE∽△ACB， ∴， ∴． ∴BC＝2． ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4240． ∴S△OEPS矩形ABCD8． ∵在反比例函数y的图象上， ∴可设P（a，）， ∴S△OEPOE•|yP|28． ∴a＝±1． ∴P（1，8）或（﹣1，﹣8）． 教学提示：先复习双曲线关于原点中心对称，让学生直接写出 B(－2,－4) 而不重新代入计算；面积问题提醒先算矩形面积再按倍数设方程。 2．（2025春•杭州期末）·【提升】在平面直角坐标系中，A（a，﹣3），B（a﹣4，1）是反比例函数y的图象上两个点． （1）求反比例函数解析式； （2）判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由A（a，﹣3），B（a﹣4，1）是反比例函数y的图象上两个点，则k＝﹣3a＝a﹣4，可得a的值，进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）a＝1，则A（1，﹣3），B（﹣3，1），进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵A（a，﹣3），B（a﹣4，1）是反比例函数y的图象上两个点， ∴k＝﹣3a＝a﹣4． ∴a＝1． ∴k＝﹣3a＝﹣3． ∴反比例函数为y． （2）A，B两点不关于原点成中心对称，理由如下： 由（1）a＝1， ∴A（1，﹣3），B（﹣3，1）． ∴A，B两点不关于原点成中心对称． 教学提示：让学生先写出 －3a＝a－4 并口述依据是 k 相等；第二问追问中心对称要求横、纵坐标都相反，用 A(1,－3)、B(－3,1) 逐项验证。 3．（2025•中原区校级三模）·【提升】如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）C点坐标为 　 　 ． （2）求反比例函数的表达式． （3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，继而求得点C的坐标； （2）由反比例函数图象经过点C，待定系数法即可求解； （3）对直角进行分类讨论，点和线段互相转化即可求解． 【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0）， ∴点A与点D、点B与点C的纵坐标相同，AD＝1﹣（﹣2）＝3， ∴BC＝AD＝3， ∵点C在点B的左边， ∴点C（﹣3，2）； （2）∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C（﹣3，2）， ∴， 解得：k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：； （3）设x轴上点E的坐标为（a，0）， ①当∠CED是直角时，CE⊥x轴， 点C与点E的横坐标相同， ∴a＝﹣3， ∴E（﹣3，0）； ②当∠ECD是直角时， 方法一：CE2+CD2＝DE2， ∵点C（﹣3，2），点D（﹣2，0），E（a，0） ∴CE2＝（﹣3﹣a）2+22，CD2＝22+12＝5，DE＝﹣2﹣a， ∴（﹣3﹣a）2+22+5＝（﹣2﹣a）2， 解得：a＝﹣7， ∴E（﹣7，0）； 方法二：设E′（e，0），则EE′＝﹣3﹣e， ∵∠CEE′＝∠DEC＝∠DCE′＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝∠CDE+∠DE′C＝90°， ∴∠DCE＝∠DE′C， ∴△CE′E∽△DCE， ∴，即， ∴EE′＝4， ∴﹣3﹣e＝4， 解得：e＝﹣7， ∴E′（﹣7，0）； 综上，当△DCE是直角三角形时，点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）． 教学提示：题目未指明直角顶点，必须分类讨论；让学生列出 ∠CED、∠ECD、∠CDE 三种情况逐一验证，并说明为何只有其中两解成立。 4．（2024秋•临颍县期末）·【提升】如图，宽为2cm的刻度尺的一边AB与y轴重合，另一边经过反比例函数y（x＞0）的图象上的一点C，与x轴交于点D．C，D两点对应刻度尺上的读数分别为4cm和1cm．（1cm代表1个单位长度） （1）求该反比例函数的解析式． （2）E为该反比例函数图象上异于点C的一点．①若点E的坐标为（4，m），求m的值． ②连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，则阴影部分面积S1，S2的大小关系为S1　 　 S2．（填“＜”“＝”或“＞”）． 【分析】（1）由题意知：C（2，3），将点C坐标代入反比例函数解析式求出k，即可解答； （2）①将点E的横坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值； ②根据反比例系数k的几何意义得S△COD6＝3，S△EOF6＝3，再根据图形得S1＝S△COD﹣S△ODG，S2＝S△EOF﹣S△ODG，即可求解． 【解答】解：（1）由题意知，点C（2，3）． 将点C（2，3）代入，得，解得k＝6， ∴该反比例函数的解析式为． （2）①由条件可知：m． ②∵点C、E在反比例函数图象上， ∴根据反比例系数k的几何意义得：S△COD6＝3，S△EOF6＝3，即S△COD＝S△EOF， 设CD与OE交点为G，如图所示： ∴S1＝S△COD﹣S△ODG，S2＝S△EOF﹣S△ODG， ∴S1＝S2， 故答案为：＝． 教学提示：让学生分别算出 S△COD 与 S△EOF 都等于 |k|/2＝3，再观察两块面积的公共部分；用「同底等高」说明两个三角形面积相等的理由。 苏科版2024 · 用反比例函数解决问题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 用反比例函数解决问题 · 第2章 反比例函数 2.3用反比例函数解决问题 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第2章 反比例函数 2.3 用反比例函数解决问题 班级：________________ 姓名：________________ 本专题按易错原因重新聚合题目，而非按知识点顺序罗列：每个易错点配一道精讲例题，标注本题核心易错点与纠错指引，并搭配即时巩固变式；全部易错点学完后，文末统一编排综合过关测试，用于整章掌握情况的集中检验。说明：本批素材解答题占比偏高，选择、填空偏少，可结合课堂练习自行补充。 目录 易错点1：混淆正比例与反比例解析式 易错点2：面积求k后漏判符号 易错点3：几何图形中点坐标求错 易错点4：实物情境转几何条件失败 易错点5：四边形边长条件没用足 易错点6：新定义条件理解不到位 易错点1：混淆正比例与反比例解析式 学习目标 · 能区分正比例与反比例解析式形式 · 会用待定系数法求反比例函数解析式 · 能由图象上一点坐标求k值 纠错指引 先写一般式 y＝k/x（k≠0），再把已知点的横纵坐标相乘得 k＝xy；看到 y＝kx 形式的选项直接排除，并回头用「乘积一定还是比值一定」复核一遍。 精讲例题 例题1．（2026•大理州二模）·【基础】已知y与x成反比例，且当x＝2时，y＝3，则该函数的表达式是（　　） A．y＝6x B．y C．y D．y 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把反比例式写成 y＝kx 形式 · 把 k＝xy 误算成 k＝y/x 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（新教材同步题）·【基础】若A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点，则这个反比例函数的解析式为 　 　 ． 即时巩固2．（2026春•大连期末）·【基础】已知y是x的反比例函数，且其函数图象经过点（﹣3，﹣1）． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当y＝﹣4时，求x的值． 易错点2：面积求k后漏判符号 学习目标 · 能说出|k|的几何意义 · 会由矩形或三角形面积求k · 能据图象所在象限判断k的正负 纠错指引 用面积求出的只是 |k|，还要看图象落在第几象限：一、三象限 k＞0，二、四象限 k＜0；另外三角形面积是 |k|/2，矩形面积才是 |k|，两者别混用。 精讲例题 例题2．（2025秋•牧野区校级月考）·【提升】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，C．若AB＝2.5，AC＝8，则该反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 求出|k|＝20 便直接选正值 · 忽略图象在第二象限应取负 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固3．（2024秋•湖北校级期末）·【提升】如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为　 　 ． 易错点3：几何图形中点坐标求错 学习目标 · 能在几何图形中正确求出点的坐标 · 会用相似比求面积比 · 会用中心对称求对称点坐标 纠错指引 求点坐标前先确认原点与坐标轴位置；用相似时先算「对应线段与整体的比」，面积比等于相似比的平方；中心对称的两点横、纵坐标都取相反数。 精讲例题 例题3．（2025秋•淇滨区校级月考）·【提升】如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为　 　 ． 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 把 OG:GB＝2:1 当成 OG:OB＝2:1 · 面积比忘记用相似比的平方 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（新教材同步题）·【基础】如图，在平面直角坐标系中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边长为8，若反比例函数y的图象经过线段AB的中点，则这个反比例函数的解析式为 　 　 ． 易错点4：实物情境转几何条件失败 学习目标 · 能把直尺等实物条件转译为几何关系 · 会由平行关系确定直线解析式 · 会联立方程求交点坐标 纠错指引 见到直尺、刻度尺先找平行边与刻度差：平行边斜率相同，末端读数减去起点读数才是长度；把长度落到坐标上后再设直线解析式并联立求交点。 精讲例题 例题4．（2026•余江区校级一模）·【提升】如图，小明在草稿纸上画出某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面．请根据图中信息，求： （1）反比例函数的表达式； （2）点B的坐标． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 看不出直尺两边互相平行 · 求交点时未联立两直线方程 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固5．（2025•晋江市模拟）·【提升】一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为30°，对边经过x轴上点A（2，0）和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 易错点5：四边形边长条件没用足 学习目标 · 能运用菱形四边相等求顶点坐标 · 会用平行四边形对边相等求点坐标 · 会结合勾股定理求边长 纠错指引 菱形四边相等、平行四边形对边平行且相等；先把几何性质转成边长关系或坐标关系（必要时勾股列方程），再代入 y＝k/x 求 k，不要凭图估计坐标。 精讲例题 例题5．（2025春•新野县期末）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，4）、D（3，0）． （1）求经过点C的反比例函数的解析式； （2）设P是（1）中所求函数图象上一点，若△POA的面积是△COB的面积2倍，求点P的坐标． 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 未用菱形四边相等求点C纵坐标 · 面积含绝对值导致点P漏掉一解 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固6．（2026•平桥区一模）·【提升】如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 易错点6：新定义条件理解不到位 学习目标 · 能读懂新定义并转化为方程 · 能由周长与面积相等列关系式 · 会求函数自变量的取值范围 纠错指引 新定义题先把文字定义写成等式（如周长与面积的数值相等即 2(x＋y)＝xy），再代入坐标化简出函数关系式；最后由实际意义与分母不为零确定自变量取值范围。 精讲例题 例题6．（2025春•淮滨县月考）·【提升】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（2，3）　 　 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　 　 ； 【深入探究】 （2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线，且k为常数）上，则k＝　 　 ； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． x … 3 4 5 6 7 8 … y … … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在图2的平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 　 　 ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点． ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数（x＞0）的图象怎样平移得到？ 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 把数值相等读成图形全等 · 化简后漏掉自变量取值范围 错题复盘：我容易在哪里出错？ 本专题错因自查清单 ☐ 混淆正比例与反比例解析式 ☐ 面积求k后漏判符号 ☐ 几何图形中点坐标求错 ☐ 实物情境转几何条件失败 ☐ 四边形边长条件没用足 ☐ 新定义条件理解不到位 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•凉州区校级期末）·【提升】如图，矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数y的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为（2，4）． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OEPS矩形ABCD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2025春•杭州期末）·【提升】在平面直角坐标系中，A（a，﹣3），B（a﹣4，1）是反比例函数y的图象上两个点． （1）求反比例函数解析式； （2）判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由． 3．（2025•中原区校级三模）·【提升】如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）C点坐标为 　 　 ． （2）求反比例函数的表达式． （3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 4．（2024秋•临颍县期末）·【提升】如图，宽为2cm的刻度尺的一边AB与y轴重合，另一边经过反比例函数y（x＞0）的图象上的一点C，与x轴交于点D．C，D两点对应刻度尺上的读数分别为4cm和1cm．（1cm代表1个单位长度） （1）求该反比例函数的解析式． （2）E为该反比例函数图象上异于点C的一点．①若点E的坐标为（4，m），求m的值． ②连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，则阴影部分面积S1，S2的大小关系为S1　 　 S2．（填“＜”“＝”或“＞”）． 苏科版2024 · 用反比例函数解决问题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $