第9章 第9节 二项分布与超几何分布-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二项分布与超几何分布”核心考点，依据新课标要求梳理了条件概率、独立事件、n次独立重复试验模型及两种分布的概念与应用，结合考情分析明确二项分布与实际问题结合、超几何分布简单应用为高频考点，题型以解答题为主，构建了“定义-公式-分布列-期望方差”的完整知识体系。 课件亮点在于“真题情境+题型归类+素养提升”的备考设计，如以2024东北四市调研“手机应用选择”为典例，通过“独立重复试验识别-二项分布参数确定-分布列与期望计算”三步法，培养学生数学建模和数学运算素养。针对易错点设置“二项分布与超几何分布辨析”专题，结合母题与子题变式训练，帮助学生熟练掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第9节 二项分布与超几何分布 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 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计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 3．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养． 2．相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养． 3．独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养． 4．超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养 　　新高考中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布与超几何分布是高考考查的重点之一.2025年的高考预计对独立重复试验与二项分布及超几何分布的应用的考查有所突破．题型多以解答题为主，难度不会太大，属于中档题型 一、二项分布 1．n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 2．二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1，…，n， 因此X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … n P Ceq \o\al(0,n)p0qn Ceq \o\al(1,n)p1qn－1 … Ceq \o\al(k,n)pkqn－k … Ceq \o\al(n,n)pnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \o\al(0,n)p0qn＋Ceq \o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \o\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 二、超几何分布 1．定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布． 2．记法：X～H(N，n，M)． 3．分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P eq \f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N)) eq \f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N)) … eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N)) … eq \f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N)) 1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B. 2．A，B都发生的事件为AB. 3．A，B都不发生的事件为eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)). 4．A，B恰有一个发生的事件为(Aeq \o(B,\s\up16(－)))∪(eq \o(A,\s\up16(－))B)． 5．A，B至多一个发生的事件为(Aeq \o(B,\s\up16(－)))∪(eq \o(A,\s\up16(－))B)∪(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　　) (2)某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝Ceq \o\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq \f(4,9).(　　) (5)如果随机变量X的分布列由下表给出： X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从二点分布．(　　) (6)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　 (5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　 ) A．0　　　B.eq \f(1,2)　　　C.eq \f(1,3)　　　D.eq \f(2,3) 解析：C　[设失败率为p，则成功率为2p，X的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功． ∴由p＋2p＝1，得p＝eq \f(1,3)，故应选C.] 2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[事件A＝“正面向上”发生的次数ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，由题设Ceq \o\al(k,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝Ceq \o\al(k＋1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，所以k＋k＋1＝5，所以k＝2.] 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(8,15) C.eq \f(14,15) D．1 解析：A　[方法一：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq \f(1,15).所以E(X)＝1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5)；方法二：从10产品中任取一件为次品的概率是p＝eq \f(3,10)，由于X服从超几何分布，故E(X)＝np＝2×eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).] 4．(2024·石家庄市模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为　________　. 解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq \f(27,220). 答案：eq \f(27,220) 5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝　________　. 解析：有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.96 　相互独立事件同时发生的概率(迁移点) [母题]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各自能否被选中互不影响． (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率． [解]　记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C， 则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3). (1)3人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10). (2)3人中有2人被选中的概率 P2＝P(ABeq \x\to(C)∪Aeq \x\to(B)C∪eq \x\to(A)BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60). 3人中只有1人被选中的概率 P3＝P(Aeq \x\to(B) eq \x\to(C)∪eq \x\to(A)Beq \x\to(C)∪eq \x\to(A) eq \x\to(B)C)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12). 故3人中至少有1人被选中的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(23,60)＋eq \f(5,12)＝eq \f(9,10). [子题1]　在母题条件不变下，求三人均未被选中的概率． 解：法一：三人均未被选中 P＝P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,10). 法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为eq \f(9,10)， ∴P＝1－eq \f(9,10)＝eq \f(1,10). [子题2]　若母题条件“3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为eq \f(11,20)，两人都被选中的概率为eq \f(3,10)，丙被选中的概率为eq \f(1,3)”，求恰好有2人被选中的概率． 解：设甲被选中的概率为P(A)， 乙被选中的概率为P(B)， 则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝eq \f(11,20)，　① P(A)P(B)＝eq \f(3,10)，　② 由①②知P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)， 故恰有2人被选中的概率 P＝P(ABeq \o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(23,60). 1．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法； 2．已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有 事件 表示 概率 A、B恰有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) A、B中至少有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B)∪(AB) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＋P(A)P(B) A、B中至多有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B)∪(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) ) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＋P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B)) 　独立重复试验与二项分布(重难点) [典例]　(2024·苏北四市调研)为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP应用，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择“农场”、“音乐”、“读书”的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,6).现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行安装． (1)求三人所选择应用互不相同的概率； (2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数，求ξ的分布列和期望． 解：记第i名用户选择的应用是“农场”、“音乐”、“读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3. 由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝eq \f(1,2)，P(Bi)＝eq \f(1,3)，P(Ci)＝eq \f(1,6). (1)他们选择的应用互不相同的概率P＝6· P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝eq \f(1,6). (2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η， 由已知得η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,6)))，且ξ＝3－η， 所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3＝eq \f(1,216)， P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq \f(5,6)＝eq \f(15,216)， P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2＝eq \f(75,216)， P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3＝eq \f(125,216). 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(1,216) eq \f(15,216) eq \f(75,216) eq \f(125,216) E(ξ)＝0×eq \f(1,216)＋1×eq \f(15,216)＋2×eq \f(75,216)＋3×eq \f(125,216)＝eq \f(5,2). 二项分布的期望与方差 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 第57届世界乒乓球锦标赛于2023年5月20日至28日在南非德班国际会议中心举办．现在甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分． (1)已知某局比赛中双方比分为8∶8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为eq \f(3,5)，乙发球时乙得分的概率为eq \f(1,2)，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11∶9获胜的概率． (2)已知在某场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为eq \f(2,3)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)，用每局比赛的结果相互独立．两人又进行了X局比赛后比赛结束，求X的分布列与数学期望． 解：(1)设事件A＝“该局比赛甲以11∶9获胜”则P(A)＝2×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(21,100). (2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5，则P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＋Ceq \o\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(13,81)，P(X＝5)＝Ceq \o\al(1,4)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)， 所以随机变量X的分布列为 X 2 3 4 5 P eq \f(4,9) eq \f(8,27) eq \f(13,81) eq \f(8,81) 所以E(X)＝2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(8,27)＋4×eq \f(13,81)＋5×eq \f(8,81)＝eq \f(236,81). 　超几何分布(迁移点) [母题]　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)． [解]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M)＝eq \f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,18). (2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(10,21)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42). 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) X的数学期望是 EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×eq \f(5,21)＋2×eq \f(10,21)＋3×eq \f(5,21)＋4×eq \f(1,42)＝2. [子题1]　母题条件不变，用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列． 解：由题意可知X的取值为1,2,3,4,5，则 P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(10,21)， P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42). 因此X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) [子题2]　母题条件不变，用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列． 解：由题意知X可取的值为3,1，－1，－3，－5， 则P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝－1)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(3,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(10,21)， P(X＝－3)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(4,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝－5)＝eq \f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42)， 因此X的分布列为 X 3 1 －1 －3 －5 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) 1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如下的2×2列联表： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 (1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ (2)在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)2×2列联表补充如下： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 合计 60 40 100 零假设为H0：选科分类与性别无关联， 因为χ2＝eq \f(100×35×25－25×152,60×40×50×50)＝eq \f(25,6)≈4.167>3.841， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为1∶1， 因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名． 所以随机变量X的取值为1,2,3. P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(1,5)， 所以随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 所以E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2. $