期中真题重组卷（全国通用，人教A版选必一第1～3章第1节：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）高二数学上学期模拟卷

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. -2 14. 或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得，（5分） 所以高所在直线的方程为，即．（6分） （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为；（9分） ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为．（12分） 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，，（4分） 根据点到直线的距离公式可知，解得，.（7分） （2）当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切；（9分） 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，,（12分） 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或.（15分） 17．（15分） 【解析】(1)证明：因为且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；（5分） （2）因为，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则，（7分） 设，则，设， 则，解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则，（14分） 平方化简得，解得，（16分） 综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时.（17分） 18．（17分） 【解析】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以.（4分） （2）因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，（8分） 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.（10分） （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则，（14分） 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故， 所以椭圆，代入，解得， 故椭圆的方程为.(4分) (2)（i）设，则， 所以， 由，知 故， 故为定值．（8分） （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， . 故由韦达定理.（11分） 联立，整理得：， ， 故由韦达定理. 故， ， 故.（15分） 当且仅当时取等号； 此时，故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为．（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该直线的倾斜角为，且， 由直线，可得直线的斜率为，即，所以. 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 5．（25-26高二上·福建福州·期中）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 6．（26-27高二上·重庆九龙坡·期中）在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 7．【数学文化】（23-24高二上·山东·期中）战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为， 则反射光线经过点，且与圆相切， 若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，反射光线所在直线的斜率存在， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：， 即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即， 解得：或， 故选：A. 8．（2026·高二上安徽合肥·期中）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误；故选：BC. 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．当时，的面积为 B．的周长为 C．当时，中 D．椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 【答案】ABD 【解析】根据椭圆方程可得，，．对于A，当时，设，， 则有所以，，则的面积，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，当时，由，解得， 的边，故C错误；对于，设，， 当时，则有，解得，此时点为上下顶点， 当时，有两个点，当时，有两个点， 所以一共有6个点，使得为直角三角形，故D正确． 11．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（     ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A，，A正确； 对于选项B，当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即 时，平面 ，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，，由等边三角形的性质，易得 ， 在 中， ， ，， 由余弦定理，得 ， ， ．同理， ． 又 ，平面 ，平面 ，平面 ，存在点与直线，使得平面 ,B正确； 对于选项C，，则 ，即，同理，则， 根据，，三点共线有，，当且仅当时等号成立． C错误； 对于选项D，设为的中点，则 ， ，，三点共线， ，同理，，． 设 ， ， ，则， ，，，四点共面， ， 又 ，， ，即 ，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．（26-27高二上·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 【答案】 【解析】两直线 与 之间的距离， 即两条直线与 之间的距离，为. 13．（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【解析】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意，当时，；当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （25-26高二上·河北·期中）中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【解析】（1）因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得，（5分） 所以高所在直线的方程为，即．（6分） （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为；（9分） ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为．（12分） 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（13分） 16．（15分） （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 【解析】（1）设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，，（4分） 根据点到直线的距离公式可知，解得，.（7分） （2）当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切；（9分） 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，,（12分） 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或.（15分） 17．（15分） （25-26高三上·北京昌平·期中）如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】(1)证明：因为且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；（5分） （2）因为，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则，（7分） 设，则，设， 则，解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则，（14分） 平方化简得，解得，（16分） 综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时.（17分） 18．（17分） （26-27高二上·河南平顶山·期中）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【解析】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以.（4分） （2）因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，（8分） 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.（10分） （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则，（14分） 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.（17分） 19．（17分） （25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 【解析】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故， 所以椭圆，代入，解得， 故椭圆的方程为.(4分) (2)（i）设，则， 所以， 由，知 故， 故为定值．（8分） （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， . 故由韦达定理.（11分） 联立，整理得：， ， 故由韦达定理. 故， ， 故.（15分） 当且仅当时取等号； 此时，故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为．（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第1~3章3.1（空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建福州·期中）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆九龙坡·期中）在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．【数学文化】（23-24高二上·山东·期中）战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 8．（2026·高二上安徽合肥·期中）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．当时，的面积为 B．的周长为 C．当时，中 D．椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 11．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（     ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．（26-27高二上·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 13．（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （25-26高二上·河北·期中）中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 17．（15分） （25-26高三上·北京昌平·期中）如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分） （26-27高二上·河南平顶山·期中）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 19．（17分） （25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $