精品解析：吉林省实验中学2026-2027学年高一上学期学程性考试(一)数学试题

吉林省实验中学2026-2027学年度上学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，若是的子集，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 设、是中两个子集，定义：，，对于，的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_________． 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域为_________. 14. 已知，，，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若时，求与； （2）若时，全集，求. 16. 已知集合，集合． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 17. 回答下列问题： （1）若，求的最小值； （2）已知，都是正数，且，求证： 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）若，解关于的不等式； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 五、附加题（10分） 20. 设是正实数，则的最大值为__________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2026-2027学年度上学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，若是的子集，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到或，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或，且， 解得或0， 当时，，不符合集合中元素的互异性， 当时，，，，满足题意， 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义所需满足的条件列不等式求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则，更换量词、否定结论且保留原变量取值范围即可求解. 【详解】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题的否定为全称量词命题, 命题“，”的否定是:“”. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质分析判断各选项． 【详解】， ， ，即， ，故A，C错误； ， ， ，即， ，故B正确，D错误． 故选：B． 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，的值域为，A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，由得：，即的定义域为， 当时，，，C正确； 对于D，当时，（当且仅当时取等号），，D错误. 故选：C. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，即对任意的，恒成立， 当时，则有，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 8. 已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】证明，由，即，，结合基本不等式求出，即可得出答案. 【详解】因为，则， 则，即， 又， 因为，所以，所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，即实数的最小值是2. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 又因为，这两个函数的对应法则不一样， A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同， B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 所以函数的定义域为，函数的定义域为或， 这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，， 这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 10. 已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集，结合韦达定理用表示，再逐项求解判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得且方程的两个根为，即，解得， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得，D错误. 故选：ABC 11. 设、是中两个子集，定义：，，对于，的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数、的定义，结合充分条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，任取，则，则，， 此时，故“”“”，A不符合要求； 对于B选项，若，对任意的，则，则，，此时， 对任意的，则，则，，则， 所以“”“”， 所以“”是“”的充分条件，B符合要求； 对于C选项，若，若，由B选项的分析可知“”“”， 若为的真子集，如下图所示： 若，则，此时，，， 若，则，此时，，， 若，则，，此时，，， 综上所述，“”“”， 即“”是“”的充分条件，C符合要求； 对于D选项，若，任取，则，则，， 此时，故“”“”，D不符合要求. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合函数的表达式，列出x需满足的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域是， 故函数需满足， 即函数的定义域为， 故答案为： 14. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值. 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若时，求与； （2）若时，全集，求. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）（2）利用并集、交集、补集的定义直接求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 当时，，， 所以或. 16. 已知集合，集合． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，若，求得；若时，求得，得到当时，所以或，进而求得实数的取值范围； （2）根据题意，转化为，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 17. 回答下列问题： （1）若，求的最小值； （2）已知，都是正数，且，求证： 【答案】（1）12 （2）因为都是正数，且，由基本不等式得：， 两边均为正数， 取倒数得：， 两边同乘正数，不等号方向不变： ，即，原不等式得证. 【解析】 【小问1详解】 因为，所以. 将原式变形凑配：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号. 因此， 若，求的最小值是. 【小问2详解】 略. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）若，解关于的不等式； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【小问1详解】 不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； 【小问2详解】 由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 五、附加题（10分） 20. 设是正实数，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意变形为，再结合基本不等式，令，即可求解. 【详解】， ，， 当，得， 则，得， 得或（舍）， 所以 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，并根据基本不等式，结合分子每一项的比值，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $