江西高三数学上学期一轮复习北师大版第六章第二节《立体几何中的计算》截面的画法课时作业设计

高三一轮复习第六章第二节《立体几何中的计算》截面的画法课时作业设计 作业类型： ☐新授课配套 ☑ 复习课配套 预计完成时长：60分钟 主备人：_____ 审核人：_____ 使用教材：北师大版（2019）一轮复习　　适用年级：高三（第一课时） 一、作业目标 本课时作业依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》“立体几何初步”主题的内容要求及数学学科核心素养（直观想象、逻辑推理、数学运算）设计，围绕多面体截面的作法与相关计算，达成以下目标： 1．理解并掌握多面体截面的概念与基本作图原理，能依据三个基本事实及推论、面面平行的性质定理等基本事实，正确作出简单多面体的截面，发展直观想象素养。 2．掌握作截面的常用方法（延长线法、平行线法、延展法等），能根据题设条件合理选择方法作出较为复杂多面体的截面，提升逻辑推理与空间想象能力。 3．能综合运用截面作法、空间向量及面积、周长公式，解决截面图形的周长、面积及平面与平面夹角等计算问题，强化数学运算与综合应用能力。 二、作业内容 （一）作业设计说明 本作业围绕“截面的作法”设计，共7道题，题型分布为：单选题2道（第1、2题）、填空题3道（第3、4、5题）、解答题（问答题）2道（第6、7题），预计完成时长60分钟。 题目按“作截面（方法）—算截面（周长、面积）—用截面（综合）”三个层次递进：第1、3题侧重截面作图的基本方法（平行线法、延展法、）；第2题侧重用空间向量确定截面形状并计算面积（平行线法+延展法、三垂线定理+投影法）；第4、5题侧重截面周长计算与线面、面面垂直关系的综合运用（第4题延展法。第5题可以分别用平面向量坐标法、延展法、平行线法三种方法处理此问题）；第6题侧重空间向量法与截面参数的综合应用；第7题侧重外接球背景下截面周长与二面角的综合求解。作业覆盖截面作图、线面垂直、面面垂直、空间向量、外接球等核心考点，突出对直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养的考查。 一．单选题 1．（必做题）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2（提升题）．已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 二．填空题 3．（必做题）已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为______．    4.（提升题）已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________． 5．（提升题）在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 三．解答题（问答题） 6．（必做题）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.过点作四棱锥的截面，分别交，，于点，，，且，. (1)若为的中点，求实数的值； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 7．（拓展题）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点． (1)求棱AB的长； (2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 三、作业实施建议 （一）时间安排 本作业预计完成时长60分钟，建议时间分配为：单选题与填空题约30分钟，解答题约25分钟，检查约5分钟；可根据班级实际学情适当调整。 （二）分层实施 面向全体学生：第1、3、6题必做，夯实截面作图基本方法；中等及以上学生：加做第2、4题，强化空间向量法与截面周长计算；学有余力的学生：挑战第5、7题，综合运用垂直关系、向量法与外接球知识。对基础薄弱学生，可先复习“三个基本事实及推论”“线面、面面平行与垂直的判定”后再作答。 （三）批改要求 批改时关注作图的规范性（关键点、交线的标注）与解题过程的关键步骤；选择题、填空题重点核对答案及方法选择，解答题按步骤给分；对典型错误（如截面顶点确定错误、交线作法不规范）集中归类记录，便于讲评。 （四）讲评策略 讲评时以第1、3题为载体，总结截面作图的常用方法（延长线法、平行线法、延展法）；以第2、6题为载体，示范空间向量法建系、设点、确定截面及计算的完整流程；以第7题为载体，示范外接球背景下截面周长与二面角的综合求解。针对错误率较高的题目，采用“展示错解—分析错因—规范正解”的方式，帮助学生形成作截面的通用策略。 （五）评价反馈 依据本设计第五部分“作业评价标准”，从知识掌握、方法运用、过程规范、思维品质四个维度进行评价，及时向学生反馈等级与改进建议；对未达标学生安排针对性变式练习，并在后续课时中追踪回访。 四、作业答案与解析 （一）答案速查表 题号 题型 答案 难度 1 单选题 C 0.85 2 单选题 C 0.4 3 填空题 0.75 4 填空题 0.55 5 填空题 0.5 6 解答题（问答题） (1)；(2) 0.65 7 解答题（问答题） (1)2；(2)；(3) 0.15 （二）逐题【答案】【解析】 1．第1题　【答案】C　【解析】利用延长线法：延长AE与DC的延长线交于一点，再依据面面平行的性质定理确定截面与各棱的交点，连接各交点得五边形截面，故选C。 2．第2题　【答案】C　【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量确定截面与正方体各面的交线，判断截面为五边形，进而计算其面积，故选C。 3．第3题　【答案】见“（一）答案速查表”　【解析】延长侧棱与相应棱的延长线相交，确定截面为五边形，利用相似比求各边边长并求和，得截面周长。 4．第4题　【答案】见“（一）答案速查表”　【解析】利用线面垂直、面面垂直的判定定理确定截面为五边形，结合三角形中位线定理与勾股定理计算截面周长。 5．第5题　【答案】见“（一）答案速查表”　【解析】以AP的平行线为轴、BC与BA分别为轴建立空间直角坐标系，设E、F、G在侧棱上的参数，利用菱形条件建立方程求解。 6．第6题　【答案】见“（一）答案速查表”　【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量共面定理或法向量求解参数；(2)用向量法求两平面所成角的余弦值，进而得正弦值。 7．第7题　【答案】见“（一）答案速查表”　【解析】(1)由三棱柱外接球半径与底面外接圆半径的关系求得棱AB的长；(2)用延长线法作出截面四边形并求其周长；(3)建立空间直角坐标系，用向量法求两平面夹角的余弦值。 （三）详解 （每题可以多种方法，下面每题只提供其中一种方法。） 1．C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 2．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法：截面的定点在几何体的棱上；平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线法：延长交线法得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.平面向量法：用平面向量坐标处理。投影法。 3． 【分析】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，则平面截正四棱锥所得的截面为五边形，即可求解． 【详解】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点， 则平面截正四棱锥所得的截面为五边形， 如图所示：    易知，， ， 所以五边形的周长为． 故答案为： 4． 【分析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面与直三棱柱所得截面为五边形，再运用勾股定理，计算所求值. 【详解】如图， 取的中点，连接，取的中点，连接，， 取的中点，连接，连接，并延长与交于，取的中点，连接，交于，连接、，可得，，，即有， 又，可得，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，因为，所以平面，平面，由面面垂直的判定定理，可得平面平面，则平面即为平面，由，，，，，可得所得截面周长为． 故答案为：． 5． 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 6．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共面定理或利用法向量可得解； （2）利用向量法可得两平面所成角的余弦值，进而可得正弦值. 【详解】（1） 过在平面内作，使， 又平面， 所以以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴作空间直角坐标系， 则，，，，， 又为的中点， 则，，，，， ，， ，， 即，， 方法一：由向量，，在同一平面内， 则满足，即，解得； 方法二：设平面的法向量， 则，令，得， 所以，解得； （2）当时，，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面所成角为， 则， 所以. 7．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据正三棱柱外接球可得，又，代入数据即可求解棱AB的长； （2）由（1）可得，延长交于点，连接交于点，得到四边形为所求截面，进而求得截面图形的周长； （3）以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图，三棱柱外接球球心为，三角形外接圆圆心为， 由正三棱柱中，，则，且， 因为三棱柱外接球半径为，则， 因为为正三角形，又底面正的外接圆的半径为， 所以， 又 则， 解得. （2）因为点分别为棱，的中点，可得， 如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面， 取的中点， 则，所以， 在中，由余弦定理得，所以可得， 所以截面图形的周长为. （3）以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 则 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 取的中点，因为为等边三角形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又由，可得， 所以平面的一个法向量为， 设两个平面所成角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值． 五、作业评价标准 （一）四维评价量表 评价维度 评价要点 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提高） 知识掌握 截面概念清晰，公理、定理运用准确 概念理解准确，定理条件与结论运用无误 概念基本清晰，定理运用偶有疏漏 概念理解不完整，定理运用需提示 概念模糊，定理运用存在明显错误 方法运用 能根据题意合理选择截面作法 方法选择恰当，作图步骤完整高效 方法基本合理，个别步骤欠妥 方法选择迟疑，需引导完成 方法不当，作图无法推进 过程规范 作图规范，推理严谨，书写规范 作图、推理、书写均规范完整 基本规范，个别符号或步骤不严谨 过程不完整，关键步骤缺失 过程混乱，缺乏必要的推理依据 思维品质 能综合运用知识，思路灵活，善于反思 思路清晰灵活，能一题多解或优化 思路较清晰，能完成常规求解 依赖模仿，缺乏独立分析 思维受阻，难以形成有效思路 （二）评定办法 1．等级评定：依据上表，从“知识掌握、方法运用、过程规范、思维品质”四个维度分别按A（4分）、B（3分）、C（2分）、D（1分）计分，四维合计12～16分为“优秀”，8～11分为“良好”，4～7分为“合格”，4分以下为“待提高”。 2．结果运用：评定结果用于诊断学生截面作图的薄弱环节（方法选择、作图规范或计算能力），作为讲评重点与分层辅导的依据；对“待提高”学生安排变式练习并在一周内复查，对“优秀”学生可提供截面相关的拓展探究题。 3．动态调整：评价量表可根据教学实际调整评价要点与权重，确保评价与作业目标保持一致。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $