2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测常考题型考前强化训练卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 4．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 5．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 7．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是___________． 12．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 13．已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则__度．    14．关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为________． 15．如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为_____． 16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1) (2) 18．在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 19．如图，在中，点O为边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 20．如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 21．如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 22．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． (1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ (2)求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ (3)若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 23．阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 24．已知矩形，点E为直线上的一个动点（点E不与点B重合），连接，以为一边构造矩形（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接． (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，分别取线段，的中点M，N，连接，，，若，，请直接写出的面积． 参考答案 1．D 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 2．A 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3．C 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 4．B 【详解】解：将代入，得， ， ， 故选B． 5．D 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 6．A 【详解】解：分类讨论： ①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根； ②当，即时，此时方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 故选：A． 7．D 【详解】根据题意，得， 故选D． 8．C 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： ， 整理得：， 解得（舍去） 所以参加这次会议的有12人． 故选：C． 9．B 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．B 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）， ， ， ， 故（2）正确； （3）如下图所示，过点作，分别交、于、点， 为的中点，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故（3）正确； （4）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故（4）正确； 综上所述，正确的个数有个． 故选：B ． 11． 【详解】解：依题意得：时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根， 时，一元二次方程有实数根，， 解得． 综上所述：， 故答案是：． 12．2 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 13．112.5 【详解】解：， ， 四边形是正方形，为正方形的对角线， ，， ， ， ， 故答案为：． 14． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 15．. 【详解】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠， 由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC， ∵DC∥AB， ∴∠BAC＝∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， 在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2， 解得，EC＝ ∴重叠部分的面积＝××4＝， 故答案为． 16． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 17．【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）， ， 解得． 18．(1)解：如图：P即为所画； (2)解：如图：即为所画； （3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限， 的坐标为，的坐标为， 故答案为：，； （4）解：与的位似比为2：1， 它们的面积比为， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 19．(1)证明：∵点O为边的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴是矩形； （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 是的中位线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 在中，， 即的长为． 20．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由可知四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ， 如下图所示，过点作于点， 则， ， ， 解得：， 在中，， ， 在中，， 的长度是． 22．【详解】（1）解：天， 答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元； （2）解： 元， 答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得（舍去）或． 23．【详解】（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴x， ∴正方形的边长为； （2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD60（cm）， 分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3， 由阅读理解的结论可得： 解得：y1，y2，y3＝80， 故答案为：，，80； ∴， ∴yn+160； ②当n＝1时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈13（个）， 当n＝2时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈10（个）， 当n＝3时，隔板长80cm， ∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个）， 当n＝4时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈5（个）， 当n＝5时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈2（个）， 当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 24．【详解】（1），理由如下： 由题意得：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ； (2) ，，理由如下： 由（1）得：， ， ， ，， ， ， ； （3）如图， 当在线段上时， 作于， ， 设，， 在中， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， 由（2）得：，， ， ， 在和中，点是的中点，点是的中点， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 如图， 同上可得：， ， ， ， 综上所述：的面积是或． 学科网（北京）股份有限公司 $