3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2(第二课时) 双曲线的简单几何性质 前情回顾 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图示 标准方程 范围 𝑥≤−𝑎或𝑥≥𝑎,𝑦∈𝐑 𝑦≤−𝑎或𝑦≥𝑎,𝑥∈𝐑 对称性离心率 离心率为：对称轴：轴、轴　对称中心：原点 顶点坐标 渐近线方程 ) 学 习 目 标 1 2 3 了解双曲线的第二定义与双曲线的轨迹方程. 理解直线与双曲线的位置关系并掌握其判断方法. 能运用直线与双曲线的位置关系解决弦长、中点弦问题. 我们一起来探究“双曲线的简单几何性质”吧！ 读教材 阅读课本P124-P126，4分钟后完成下列问题： 1.画出直线与双曲线的位置关系，交点个数及其判断方法？ 2.如何求直线与双曲线相交的弦长？ 新知探究1 问题1 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 求动点的轨迹？ 解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线. 新知探究1 问题2 动点与定点的距离和到定直线的距离的比 是常数，求动点的轨迹？ 解：如图，设是点到直线的距离，根据题意， 动点的轨迹就是集合. 由此得.将左右两边同时平方，并化简，得，即.所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为的椭圆. 概念 椭圆、双曲线的第二定义 椭圆、双曲线的第二定义： 动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 即. 当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线. l 练习巩固 练习1 已知点的坐标分别是(－6, 0)，(6, 0)，直线相交于点， 且它们的斜率之积是试求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状？ 解：设的坐标为(,)，直线相交于点，且它们的斜率之积是， 则，，得， ，即为点的轨迹方程， 所以， 点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为12、虚轴长为的双曲线. 新知探究2 问题3 直线与双曲线有几种位置关系？ ①直线与双曲线相交 ②直线与双曲线相切 ③直线与双曲线相离 0个交点 2个交点 1个切点 2个交点 1个交点 两支之间 交于单支 切于一支 交于两支 与渐近线平行 新知探究2 思考 类比椭圆与直线的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ 联立，， ① 且，即， 直线与双曲线相交于一点 且，方程无解， 直线与双曲线相离 ② ，即， Δ0 直线和双曲线相交，有两个交点 Δ=0 直线和双曲线相切，有一个公共点 Δ0 直线和双曲线相离，无公共点 直线的斜率存在 概念 直线与双曲线的位置关系 联立直线和双曲线的方程，判断直线与双曲线的位置关系： （直线斜率存在且为非渐近线时） 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交(一个交点) 计算判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 相交 相切 相离 一解不一定相切相交不一定两解两解不一定同支 练习巩固 练习2 求下列直线和双曲线的交点坐标： (1) 解：(1)联立，， 解得或，∴直线与双曲线的交点坐标为(6,2)，(,). 练习巩固 练习2 求下列直线和双曲线的交点坐标： (1) 解：(2)联立，， 解得，∴直线与双曲线的交点坐标为(,3). 练习巩固 练习3 直线与双曲线相交于两点，且两点 的横坐标之积为－9，求离心率 解：联立，，设(,)(,) 则. 又，∴. 新知探究3 问题4 当直线与双曲线相交时，如何求弦长？ ①直线与双曲线相交 代数法：(两点间距离公式) 为直线斜率 练习巩固 练习4 已知双曲线直线交于两点， 求弦的长？ 解：联立 由弦长公式， 得，所以. 练习巩固 练习5 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与直线交于 两点，若，求该双曲线的方程？ 解：设等轴双曲线的方程为， 联立得 ，∴ ， .∴该双曲线的方程为. 双曲线性质的应用 题型1 题型探究 例1 求直线与双曲线 的交点个数？ 解：联立直线与双曲线 的方程，得 方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 双曲线性质的应用 题型1 题型探究 例2 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为 (1)求的标准方程； (2)过的右顶点，斜率为2的直线交于两点，求||？ 解：(1)设的方程为即 因为椭圆的焦点坐标为(±5，0)， 依题意9+16=25，解得=1，所以的标准方程为： 双曲线性质的应用 题型1 题型探究 例2 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为 (1)求的标准方程； (2)过的右顶点，斜率为2的直线交于两点，求||？ 解：(2)由方程为：得的右顶点为(3,0)，设(3,0)，()， 又直线的斜率为2，所以直线的方程为， 由得162－9×4(3)2=16×9，整理得52－54+117=0，解得，故. 双曲线的中点弦问题 题型2 题型探究 例3 双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程？ 解：(方法一)由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为， 即，由消去， 整理得. 设，，∴即，解得 当时，满足，符合题意. ∴所求直线的方程为，即 联立+中点公式 双曲线的中点弦问题 题型2 题型探究 例3 双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程？ 解：(方法二)设∵均在双曲线上，∴两式相减，得，∴ ∵点平分弦，∴ ∴.经验证，该直线存在. ∴所求直线的方程为，即 联立+点差法 双曲线的中点弦问题的2种方法 1.方程组法：联立直线与双曲线方程构成方程组，由一元二次方程 根与系数的关系及中点坐标公式求解. 2.点差法：设直线与双曲线的焦点(弦的端点)坐标为， 将这两点代入双曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，利用 ，转化为中点与直线的斜率之间的关系. 方法总结 注意，过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验． 双曲线的中点弦问题 题型2 题型探究 例4 求证：若双曲线不平行于对称轴的弦的中点 为则为定值 解：设∵为的中点， ∴又两点在双曲线上， 则， 两式相减得 于是， 所以，即 双曲线的中点弦问题 题型2 题型探究 例5 若双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为， 过点的直线与双曲线交于两点，且点是的中点 求直线的斜率？ 解：由题意，焦点到渐近线的距离为， 又因为解得， 易证得，则，所以. 双曲线的中点弦问题 题型2 题型探究 例6 已知点在双曲线上，线段的中点为， 为则为定值 解：由为坐标原点 ，因为， 所以 ，则直线的方程为 . 即 .由得， 所以 ，， 则 . 课堂小结 联立，， ① 且，即， 直线与双曲线相交于一点 且，方程无解， 直线与双曲线相离 ② ，即， Δ0 直线和双曲线相交，有两个交点 Δ=0 直线和双曲线相切，有一个公共点 Δ0 直线和双曲线相离，无公共点 直线的斜率存在 联立直线和双曲线的方程，判断直线与双曲线的位置关系： 感谢聆听! $