数列求和专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列求和 1.探索并掌握等差、等比数列的前n项和公式及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的求和方法. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系，并选用恰当的求和方法解决相应的问题. 考法1　分组求和与并项求和 重点考法突破 3 (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n， 则a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＝________. 重点考法突破 4 （2）已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，2a6成等比数列，则数列{(－1)n＋1an}的前2025项和为(　　) A.－1013 B.－505 C.505 D.1013 解析：设数列{an}的首项为a1，因为a3，a5＋1，2a6成等比数列，所以(a5＋1)2＝a3×2a6，则(a1＋5)2＝(a1＋2)×2(a1＋5)，解得a1＝1或a1＝－5.当a1＝－5时，a6＝0，此时与a3，a5＋1，2a6成等比数列矛盾，故排除；当a1＝1时，an＝1＋n－1＝n，此时令bn＝(－1)n＋1an＝(－1)n＋1n，其前2025项和为1－2＋3－4＋…－2024＋2025＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2023－2024)＋2025＝1012×(－1)＋2025＝1013.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 重点考法突破 6 考法2　裂项相消法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2. (1)求数列{an}的通项公式； 重点考法突破 7 重点考法突破 8 重点考法突破 9 重点考法突破 10 重点考法突破 11 重点考法突破 12 重点考法突破 13 考法3　错位相减法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1. (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 重点考法突破 14 重点考法突破 15 　　　　　　错位相减法求和的具体步骤 若{an}为等差数列，{bn}为公比q≠1的等比数列，且cn＝an·bn. 提醒：{cn}的前n项和为(An＋B)·qn－B的形式(其中q为{bn}的公比). 重点考法突破 16 考法4　倒序相加法求和 重点考法突破 17 倒序相加法的使用策略 重点考法突破 18 (1)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1，n为奇数，,2n，n为偶数，))则数列{an}的前n项和S10＝(　　) A.107 B.1409 C.1414 D.112 解析：因为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1，n为奇数，,2n，n为偶数，)) 所以S10＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10) ＝eq \f(5×（1＋17）,2)＋eq \f(4×（1－45）,1－4)＝1409.故选B. 解析：因为数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1 ＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n－2＋a2n－1) ＝1＋22＋24＋26＋…＋22n－2 ＝1＋eq \f(22（1－4n－1）,1－4) ＝eq \f(4n－1,3). eq \f(4n－1,3) 1.分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和. (2)若an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，))且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 2.并项求和的常见类型 (1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，可采用并项求和法求数列{an}的前n项和. (2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，可采用并项求和法求数列{an}的前n项和. (2)从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}的前n项和Tn. ① ；②bn＝2,n)eq \f(n,aaeq \o\al(2,n＋1)) ；③bn＝eq \f(1,\r(an)＋\r(an＋1))； ④bn＝eq \f(2n＋3,anan＋1×2n＋1). 注：考试中如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n-1，当n＝1时，an＝2n－1成立，所以an＝2n－1. (2) 若选②bn＝2,n)eq \f(n,aaeq \o\al(2,n＋1)) ， 则bn＝eq \f(n,（2n－1）2（2n＋1）2)＝eq \f(1,8) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（2n－1）2)－\f(1,（2n＋1）2)))， 所以Tn＝eq \f(1,8) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,12)－\f(1,32)＋\f(1,32)－\f(1,52)＋…＋\f(1,（2n－1）2)－\f(1,（2n＋1）2)))＝eq \f(1,8) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,（2n＋1）2))). 若选③bn＝eq \f(1,\r(an)＋\r(an＋1))， 则bn＝eq \f(1,\r(2n－1)＋\r(2n＋1)) ＝eq \f(\r(2n＋1)－\r(2n－1),（\r(2n－1)＋\r(2n＋1)）（\r(2n＋1)－\r(2n－1)）) ＝eq \f(1,2)(eq \r(2n＋1)－eq \r(2n－1))， 所以Tn＝eq \f(1,2)(eq \r(3)－eq \r(1)＋eq \r(5)－eq \r(3)＋…＋eq \r(2n＋1)－eq \r(2n－1)) ＝eq \f(1,2)(eq \r(2n＋1)－1). 若选④bn＝eq \f(2n＋3,anan＋1×2n＋1)， 则bn＝eq \f(2n＋3,（2n－1）（2n＋1）×2n＋1)＝eq \f(1,（2n－1）×2n)－eq \f(1,（2n＋1）×2n＋1)， 所以Tn＝eq \f(1,1×21)－eq \f(1,3×22)＋eq \f(1,3×22)－eq \f(1,5×23)＋…＋eq \f(1,（2n－1）×2n)－eq \f(1,（2n＋1）×2n＋1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,（2n＋1）×2n＋1). 1.利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项. (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq \f(1,anan＋2)＝eq \f(1,2d) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))). 2.常见的裂项技巧 (1)分式型：eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))， eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))， eq \f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n（n＋1）)－\f(1,（n＋1）（n＋2）)))等. (2)指数型：eq \f(2n,（2n＋1－1）（2n－1）)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)， eq \f(n＋2,n（n＋1）·2n)＝eq \f(1,n·2n－1)－eq \f(1,（n＋1）·2n)等. (3)根式型：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))等. (4)对数型：logmeq \f(an＋1,an)＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1， 所以a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， 即an＝2an－1， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)知an＝2n－1， 所以bn＝(2n－1)×2n－1， Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，① 2Tn＝ 1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，② ①－②，得－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n ＝1＋2×eq \f(2×（1－2n－1）,1－2)－(2n－1)×2n ＝(3－2n)×2n－3， 所以Tn＝(2n－3)×2n＋3. 例4：已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，数列{an}满足 an＝f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)，则数列{an}的通项公式为________. 解析：∵f(x)＋f(1－x)＝1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＝1， 又an＝f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)　 ①， ∴an＝f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋f(0)　②， ①＋②，得2an＝n＋1，∴an＝eq \f(n＋1,2)， ∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n＋1,2). an＝eq \f(n＋1,2) 策略一 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项和公式的推导即用此方法) 策略二 和对称性有关求和时可用倒序相加，比如函数图象关于点对称，组合数中Ceq \o\al(k,n)＝Ceq \o\al(n－k,n) $ 姓 名： 2026-2027学年 第一学期 国庆节胶囊课2数列求和 1.探索并掌握等差、等比数列的前n项和公式及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的求和方法. 姓 名： 2026-2027学年 第一学期 国庆节胶囊课2数列求和 姓 名： 2026-2027学年 第一学期 晚练 组题人：李佳 审题人：高三数学组 使用时间： 2026.9.20-9.24 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系，并选用恰当的求和方法解决相应的问题. 谦恭 卓越 谦恭 卓越 学科网（北京）股份有限公司 考法1　分组求和与并项求和 (1)已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}的前n项和S10＝(　　) A.107 B.1409 C.1414 D.112 (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＝________. (3)已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，2a6成等比数列，则数列{(－1)n＋1an}的前2025项和为(　　) A.－1013 B.－505 C.505 D.1013 考法2　裂项相消法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，. (1)求数列{an}的通项公式； (2)从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}的前n项和Tn. ①；②bn＝； ③bn＝；④bn＝. 注：考试中如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 考法3　错位相减法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1. (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 考法4　倒序相加法求和 已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，则数列{an}的通项公式为________. 谦恭 卓越 学科网（北京）股份有限公司 $