湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

高二数学 时量：120分钟 满分：150分 得分_________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A． B． C． D． 3．（★）已知直线和直线，则“或”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为第二象限角，且，则 A． B． C． D． 5．（★）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则r的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（★）已知圆，，P是圆C上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 A． B． C． D． 7．在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为 A． B． C． D． 8．已知函数，的定义域均为R，且，．若是偶函数，，则 A．0 B．2 C．4 D．6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（★）已知直线，圆，点，则 A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离 10．已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是 A． B．在上的投影向量为 C．的最小值为 D．的最大值 11．（★）如图，在棱长为4的正方体中，M，N分别为，的中点，P为线段上动点（包括端点），点Q在平面内，则下列说法中正确的是 A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．若，则点Q的轨迹长度为 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆被直线截得的弦长为2，则所有满足条件的实数b的和为________． 13．椭圆（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为________． 14．（★）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） （★）已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）在边上的中线所在直线的方程； （2）的平分线所在直线的方程． 16．（本小题满分15分） 如图1，是半径为2的圆O的直径，点D，B在圆上，且，． 如图2，将圆O沿翻折，E为线段上的一点，连接，，，． （1）若，E为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 过圆上的动点M向x轴作垂线，垂足为D，动点N满足． （1）（★）求动点N的轨迹E的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线l与E相交于A，B两点，点，求面积的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知圆，，， （1）（★）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知定义域为R的函数为偶函数，它的图象是连续的曲线．任取，定义． （1）已知，求； （2）若任取，都有，求证：函数，为周期函数； （3）若任取，只要存在，且，都有．证明：函数在上不存在单调递减区间． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 4 6 > 10 11 答案 B B C D C BC BCD ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. -6 5 13.2 14.10 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)因A,),B(2,3),C3,0),设AB中点为B,则 E 的斜率为 0-24 333 2 路y=-）.4+3y-12=0 则直线的方程为 。。。。。。。。。。。。。 8=ec-爱酱5后房) 1 故∠B1C的平分线所在直线的斜车为3.4的方程为”专（-1)+ ,即x-3y+2=0 16.【解析】(1)证明：取BC的中点F,连接EF,OF. E,O分别为DB,AC的中点，.EFIDC,OFI∥AB」 又AC是圆o的直径，AB⊥BC,∴OF⊥BC. .BC⊥DC,EFIDC,∴.EF⊥BC, 又：EF∩OF=F,EF,OFc平面OEF,BC⊥平面OEF OEC平面OEF,.BC⊥OE. (2)平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,AB=BC,故AB=BC, 又O为AC的中点，所以OB⊥AC,又OBC平面ABC,所以OB⊥平面ADC,… 故以O为坐标原点，分别以OB,OC所在直线为x,y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. .AD=2DC,∠D0C=60° 则4(0，-2,0）.B(20,0).D(0,15.0(0,00) AB=(22,0）.D=(0,35),0A=(0,-2,0) 设平面ABD的法向量为元=(：，少，2). AB.n=0「2x+2y=0 则(ADi=0“ 3y+V5z=0 令x=1,则y=-1,z=5,i=(山-山，3) 设直线OA与平面ABD所成的角为C, 04. sina= 0x1+(-2)x(+0x5_ OA 2W5 5 则 17.【解析1(1)设M(,),V(x,),则D(,0), 所以D丽=(x-),W=(G-x%-y), 又DN=2NM,所以(x-,y)=(2x,-2x,2%-2y), xo=x x-x=2x0-2x 3 即(y=2-2y 2 又点M在圆O上，所以 x2 y2 =1 故动点N的轨迹E的方程为94 (2)由题可设I:x=少-4，A(,）.B(,) x=y-4 2+=1 联立94消去x整理得(4r+9)y2-320+28=0 a=(旷-4w+9j160er-小0，m. 32t 28 所以+%4+9,44+9. 5eu=内m-5g小x7-子x4习m三 2 4t2+9 4t2+9 S△OAB= 42m 6是科 m2+16m+ 84 令m=V42-7,则4=m2+7, m (m=4时取等号)， 21 故△QAB面积的最大值为4.… 18.【解析】(1)设圆心M到直线1的距离为d则2V7=2V9-d,故d=V2, d=上k+1+2=N2 由 V1+k2 得k=1或k=-7, 故直线1的方程为y=x+2或y=-7x+2. VCCCC00........ (2)(i)设圆M与圆N交点分别为P,Q,圆H面积最小时，圆H是以PQ为直径的圆， M:(x++(0+=9,即x2+y2+2x+2y-7=0,O 圆N:(x-2y+(0y-2y=15,即2+y2-4x-4y-7=0,② ①-②得公共弦P9所在直线方程：x+y=0, 2+1=1 因M心M(-L-).圆N圆心N22),两点连线的幸w=2+1 所以直线MN:y=x,直线MN垂直平分P吧，故圆心H就是直线MN与PO的交点， y=x 联立x+y=0解得H(0,0) 将y=-x代入(x+1)+(y+=9. 每+I0+(x+=9即x=2所以HP=+严二22 所以圆H的方程为X2十y2=7. (i)假设存在点E,使得y轴平分∠CED,满足kc+ke=0,设E(0,),C(,乃)，D(x,y) -t+h-1=0 则名，将y=+2,片=，+2代入， @+2=4+,+2=1=02k+(2-)+=0 得x 2 ,即 XX2 .(*) y=kx+2 联立r+y=7得1+)r+4x-3=0,△=28x2+12>0. 根据根与系数的关系，得 5+4 、1+k2五=1+2 +龙=4秋 2达+2-05 所以3，代入(*)式， =0 =0 2+8-4=0 恒成立，所以3 7 7 t= E0, 解得2，因此存在定点 2)满足条件. 19.【解析】1)已知/()=x,a=2,则f(a)=f(2)=24=16,U,={x≥16) 解得x≤-2或x≥22，故0，=(-0，-2]U[2,+o∞) (2)已知f()是偶函数，故对任意x∈R,f()=f() 由题知任取aeR,都有a+2reU。,故对任意a∈R,f(a+2n)≥f(a), 取a=x,得f(x+2)2f()o: 取a=-x,得f(-x+2)≥f（-,即f(2r-)=f(x-2)≥f(-x)=f(x). 整理得f(x-2)≥f(x),令t=x-2π，则x=1+2m,代入得/0≥f+2m)@. 结合①@可得对任意1∈R,，f+2m)=f0,故f(x)是以2元为周期的周期函数。 得证.… (3)假设f(~在(-0,0]上存在单调递减区间D,则对任意，。∈D,,<,≤0有f(G)>f(:), 取a=5,-a=-5,m.=/()2f},定义知a=xeU, 而f(x)为偶函数，故f(x)=f(),故a=-x∈U。,可知，x]sU., 而<，≤0，故eU.,根据题千定义可知。={df()2f(a},故f)2fa)=f(s),与 假设矛盾，因此假设不成立， 故(x)在（0,0]上不存在单调递减区间.